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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的数量积与平面向量应用举例教

时间:2013-12-02


平面向量的数量积与平面向量应用举例

[知识能否忆起] 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角. 2.范围 向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ ≤180°,a 与 b 同向时,夹角 θ =0°;a 与 b 反向时, 夹角 θ =180°. 3.向量垂直 如果向量 a

与 b 的夹角是 90°,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、平面向量数量积 1.已知两个非零向量 a 与 b,则数量|a||b|?cos θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a?b, 即 a?b=|a||b|cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定 0?a=0. 当 a⊥b 时,θ =90°,这时 a?b=0. 2.a?b 的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a. 2.a⊥b?a?b=0. 3.a?a=|a| ,|a|= a?a.
2

??? ?

??? ?

a?b 4.cos θ = .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b|
5.|a?b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1.交换律:a?b=b?a. 2.分配律:(a+b)?c=a?c+b?c. 3.对 λ ∈R,λ (a?b)=(λ a)?b=a?(λ b). 五、数量积的坐标运算
1

设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a?b=a1b1+a2b2. 2.a⊥b?a1b1+a2b2=0. 3.|a|= a1+a2.
2 2

a?b a1b1+a2b2 4.cos θ = = 2 .(θ 为 a 与 b 的夹角) 2 |a||b| a1+a2 b2+b2 1 2

[小题能否全取] 1.已知向量 a,b 和实数 λ ,下列选项中错误的是( A.|a|= a?a C.λ (a?b)=λ a?b )

B.|a?b|=|a|?|b| D.|a?b|≤|a|?|b|

解析:选 B |a?b|=|a|?|b||cos θ |,只有 a 与 b 共线时,才有|a?b|=|a||b|, 可知 B 是错误的. 2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120°,则 b 在 a 方向上的投影为( A.2 C.-2 B. 3 2 )

3 D.- 2

3 解析:选 D |b|cos θ =3cos 120°=- . 2 3. (2012?重庆高考)设 x∈R, 向量 a=(x,1), =(1, b -2), a⊥b, a+b|=( 且 则| A. 5 C.2 5 B. 10 D.10 )

解析:选 B ∵a⊥b,∴a?b=0,即 x-2=0,∴x=2. ∴a=(2,1),∴a =5,b =5,|a+b|= ?
2 2

a+b?

2

= a +2a?b+b = 5+5= 10.

2

2

4.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量 积 a?b=________. 解析:a?b=2? 3? 答案:3 5.已知|a|=1,|b|=6,a?(b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角 θ =________. 解析:∵a?(b-a)=a?b-a =2,∴a?b=2+a =3. ∴cos θ =
2 2

3 =3. 2

a?b 3 1 π = = .∴向量 a 与 b 的夹角为 . |a|?|b| 1?6 2 3

2

π 答案: 3

1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时, 表示两向量的有向线段所形成的角, 若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角. (2)两向量夹角的范围为[0,π ],特别当两向量共线且同向时,其夹角为 0,共线 且反向时,其夹角为 π . (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.向量运算与数量运算的区别 (1)若 a,b∈R,且 a?b=0,则有 a=0 或 b=0,但 a?b=0 却不能得出 a=0 或 b =0. (2)若 a,b,c∈R,且 a≠0,则由 ab=ac 可得 b=c,但由 a?b=a?c 及 a≠0 却 不能推出 b=c. (3)若 a, , ∈R, a(bc)=(ab)c(结合律)成立, b c 则 但对于向量 a, , , a?b)?c b c 而( 与 a?(b?c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的. (4)若 a,b∈R,则|a?b|=|a|?|b|,但对于向量 a,b,却有|a?b|≤|a||b|, 等号当且仅当 a∥b 时成立.

平面向量数量积的运算

典题导入 [例 1] (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)?c=30,则 x= ( ) A.6 C.4 B.5 D.3

(2) (2012?浙江高考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC = ________. [自主解答] (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)?c=(6,3)?(3,x)=30. 即 18+3x=30,解得 x=4.

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3

(2) 如图所示,∵ AB = AM + MB , AC = AM +MC― →=

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???? ???? ? AM - MB , ? ??? ? ??? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? 2 ? ∴ AB ? AC = ( AM + MB )?( AM - MB ) = AM - ???? 2 ???? 2 ???? 2 ? MB =| AM | -| MB | =9-25=-16.
[答案] (1)C (2) -16 由题悟法 平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量 a,b 的模及夹角 θ ,利用公式 a?b=|a||b|?cos θ 求解; (2)已知向量 a,b 的坐标,利用数量积的坐标形式求解. 以题试法 1.(1)(2012?天津高考)在△ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足 AP = λ AB , AQ =(1-λ ) AC ,λ ∈R.若 BQ ? CP =-2,则 λ =(

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)

A. C.

1 3 4 3

2 B. 3 D.2

解析: B 由题意可知 BQ = AQ - AB =(1-λ ) AC - AB ,CP = AP - AC 选

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=λ AB - AC ,且 AB ? AC =0,故 BQ ? CP =-(1-λ ) AC -λ AB =-2.又

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??? 2 ?

??? 2 ?

??? ? ??? ? 2 | AB |=1,| AC |=2,代入上式解得 λ = . 3
π (2)(2011?江西高考)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2= 3 3e1+4e2,则 b1?b2=________. 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2, 则 b1?b2=(e1-2e2)?(3e1+4e2)=3e1-2e1?e2-8e2. π 又因为 e1,e2 为单位向量,夹角为 , 3 1 所以 b1?b2=3-2? -8=3-1-8=-6. 2 答案:-6
2 2

两平面向量的夹角与垂直

4

典题导入 [例 2] (1)(2012?福州质检)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120°,a+b+c ) B.90° D.30°

=0,则 a 与 c 的夹角为( A.150° C.60°

(2)(2011?新课标全国卷)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a +b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. [自主解答] (1)∵a?b=1?2?cos 120°=-1,c=-a-b,∴a?c=a?(-a-b) =-a?a-a?b=-1+1=0,∴a⊥c. ∴a 与 c 的夹角为 90°. (2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)?(ka-b)=0, 即 ka +ka?b-a?b-b =0. ∴k-1+ka?b-a?b=0. 即 k-1+kcos θ -cos θ =0(θ 为 a 与 b 的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ )=0.又 a 与 b 不共线, ∴cos θ ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1
2 2

若本例(1)条件变为非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,试求 a 与 b 的夹 角. 解:设|a|=m(m>0),a,b 的夹角为 θ ,由题设知(a+b) =c ,即 2m +2m cos θ =m , 1 得 cos θ =- .又 0°≤θ ≤180°,所以 θ =120°,即 a,b 的夹角为 120°. 2
2 2 2 2 2

由题悟法 1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角 为直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求得 a?b 及|a|,|b|或得出它们的 关系. 以题试法 2.(1)设向量 a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件是
5

(

) A.x=0 或 2 C.x=1 B.x=2

D.x=±2 )

(2)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=a+λ b(λ ∈R),向量 d 如图所示,则(

A.存在 λ >0,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ >0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C.存在 λ <0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30° D.存在 λ >0,使得向量 c 与向量 d 共线 解析:(1)选 B a=(x-1,1),a-b=(x-1,1)-(-x+1,3)=(2x-2,-2),故 a⊥ (a-b)?2(x-1) -2=0?x=0 或 2,故 x=2 是 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件.
2

? 3 ? (2)选 D 由图可知 d=4a+3b=4?a+ b?,故 D 正确;对于 A,由图知若向量 c 与向量 ? 4 ?
d 垂直,则有 λ <0;对于 B,若 λ >0,则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60°;对于 C,
若 λ <0,则向量 c 与向量 d 夹角大于 30°.

平面向量的模

典题导入 [例 3] 设向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 3,a?(a-b)=0,则|2a+b|=( A.2 C.4 B.2 3 D.4 3
2

)

[自主解答] 由 a?(a-b)=0,可得 a?b=a =1, 由|a-b|= 3,可得(a-b) =3,即 a -2a?b+b =3,解得 b =4. 故(2a+b) =4a +4a?b+b =12,故|2a+b|=2 3. [答案] B 由题悟法 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)|a| =a =a?a; (2)|a±b| =(a±b) =a ±2a?b+b ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

(3)若 a=(x,y)则|a|= x +y . 以题试法 1? ? 3.(2012?聊城质检)已知向量 a=(sin x,1),b=?cos x,- ?. 2? ? (1)当 a⊥b 时,求|a+b|的值; (2)求函数 f(x)=a?(b-a)的最小正周期. 解:(1)由已知得 a?b=0, |a+b|= ? =

2

2

a+b?

2

= a +2a?b+b = a +b

2

2

2

2

1 3 2 2 sin x+1+cos x+ = . 4 2

1 2 2 (2)∵f(x)=a?b-a =sin xcos x- -sin x-1 2 π? 1 1-cos 2x 3 2 ? = sin 2x- - = sin?2x+ ?-2, 4? 2 2 2 2 ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 π .

平面向量数量积的综合应用

典题导入 [例 4] (2012?太原模拟)已知 f(x)=a?b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos

x,1)(x∈R).
(1)求 f(x)的周期和单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7, AB ? AC = 3,求边长 b 和 c 的值(b>c). [自主解答] π? ? 2cos?2x+ ?, 3? ? ∴f(x)的最小正周期 T=π , ∵y=cos x 在[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)上单调递减, π π π ∴令 2kπ ≤2x+ ≤2kπ +π ,得 kπ - ≤x≤kπ + . 3 6 3 π π? ? ∴f(x)的单调递减区间?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+ ?=-1, 3? ? (1)由题意知,f(x)=2cos x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+
2

??? ?

??? ?

7

π? ? ∴cos?2A+ ?=-1. 3? ? 又 π π 7π π <2A+ < ,∴2A+ =π . 3 3 3 3

π ∴A= . 3 ∵ AB ? AC =3,即 bc=6,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=(b+c) -3bc,7= (b+c) -18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2. 由题悟法 向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知识的“交汇处”的命题要求,又 加强了对双基覆盖面的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂直、夹角 和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题. 以题试法 4.(1)(2012?朔州调研)质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处 于平衡状态,已知 F1,F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 C.2 B.2 5 D.6 )
2

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??? ?

2

2

2

2

(2)若 M 为△ABC 所在平面内一点, 且满足( MB - MC )?( MB + MC -2 MA )=0, 则△ABC 为( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2 2 2

????

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????

???? ?

????

A.直角三角形 C.等边三角形

解析:(1)选 A 由已知条件 F1+F2+F3=0,则 F3=-F1-F2,F3=F1+F2+2|F1||F2|cos 60°=28. 因此,|F3|=2 7. (2)选 B 由( MB - MC )?( MB + MC -2 MA )=0,可知 CB ?( AB + AC )= 0,设 BC 的中点为 D,则 AB + AC =2 AD ,故 CB ? AD =0.所以 CB ⊥ AD .又 D 为

????

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????

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BC 的中点,故△ABC 为等腰三角形

1.(2012?豫东、豫北十校阶段性测试)若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行, 则|a+b|=( )
8

A. 10

B.

10 2 2 2

C. 2

D.

解析:选 C 依题意得,-(x+1)-2?1=0,得 x=-3,故 a+b=(-2,2)+(1,- 1)=(-1,1),所以|a+b|= ? -1?
2

+1 = 2.

2

2.(2012?山西省考前适应性训练)已知向量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上 的投影为( A. 13 ) B. 13 5 65 5

C. 65

D.

解析:选 D 依题意得,向量 a 在 b 方向上的投影为

a?b 2?? -4? +3?7 65 = = . 2 2 |b| 5 ? -4? +7

3. 已知 A, , 为平面上不共线的三点, B C 若向量 AB =(1,1), =(1, n -1), n? AC 且 =2,则 n? BC 等于( A.-2 C.0

??? ?

??? ?

??? ?

) B.2 D.2 或-2

??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 解析:选 B n? BC =n?( BA + AC )=n? BA +n? AC =(1,-1)?(-1,-1)
+2=0+2=2. 4.(2012?湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC =1,则 BC=( A. 3 C.2 2 B. 7 D. 23

??? ?

??? ?

)

? ??? ??? ? 解析:选 A ∵ AB ? BC =1,且 AB=2, ? ??? ? ??? ??? ? 1 ∴1=| AB || BC |cos(π -B),∴| BC |cos B=- .
2 在△ABC 中,AC =AB +BC -2AB?BCcos B,
2 2 2

? 1? 2 即 9=4+BC -2?2??- ?. ? 2?
∴BC= 3. 2 3 5. 已知非零向量 a, 满足|a+b|=|a-b|= b |a|, a+b 与 a-b 的夹角 θ 为( 则 3 A.30° C.120° B.60° D.150° )

9

解析:选 B 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a?b=0; 2 3 1 2 2 将|a-b|= |a|两边同时平方得 b = a , 3 3 ? a+b? ?? a-b? a -b 1 所以 cos θ = = = . |a+b|?|a-b| 4 2 2 a 3
2 2

6.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC ? AD =( A.2 3 C. 3 2 B.3 3 D. 3

??? ?

??? ?

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??? ?

??? ?

)

解析:选 D 建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC), BC =(xC-xB,yC),

??? ?

??? ? BD =(-xB,1), ??? ? ??? ? ∵ BC = 3 BD ,∴xC-xB=- 3xB? xC=(1- 3)?xB,yC ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? = 3, AC =((1- 3)xB, 3), AD =(0,1), AC ? AD = 3.
7.(2013?“江南十校”联考)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是 ________. 解析:设向量 a,b 的夹角为 θ .由(a+b)⊥a 得(a+b)?a=0,即|a| +a?b=0,∵ 1 2π |a|=2,∴a?b=-4,∴|a|?|b|?cos θ =-4,又|b|=4,∴cos θ =- ,即 θ = . 2 3 2π ∴向量 a,b 的夹角为 . 3 2π 答案: 3 8.(2012?新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则 |b|=________. 解析:∵a,b 的夹角为 45°,|a|=1,∴a?b=|a|?|b|?cos 45°= ∴|2a-b| =4-4? 答案:3 2 9.(2012?大连模拟)已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a +b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 MN 的模为________.
10
2 2

2 |b|, 2

2 2 |b|+|b| =10.∴|b|=3 2. 2

???? ?

解析:∵a∥b,∴x=4.∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)?(b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4. ∴向量 MN =(-8,8),∴| MN |=8 2. 答案:8 2 10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45°. (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解:(1)∵a?b=2n-2,|a|= 5,|b|= n +4, ∴cos 45°=
2 2

???? ?

???? ?

2n-2 5? n +4
2



2 , 2

∴3n -16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍).∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a?b=10,|a| =5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λ b(λ >0). ∵(c-a)?a=0, ∴λ b?a-|a| =0.∴λ = 1 ∴c= b=(-1,3). 2 11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
2 2

|a| 5 1 = = . b?a 10 2

2

? 1? 解:由已知得,a?b=4?8??- ?=-16. ? 2?
(1)①∵|a+b| =a +2a?b+b =16+2?(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b| =16a -16a?b+4b
2 2 2 2 2 2

=16?16-16?(-16)+4?64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b), ∴(a+2b)?(ka-b)=0,
11

∴ka +(2k-1)a?b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2?64=0. ∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. 3? ? 1 12.设在平面上有两个向量 a=(cos α ,sin α )(0°≤α <360°),b=?- , ?. 2 2? ? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

2

2

?1 3? 2 2 2 2 解:(1)证明:因为(a+b)?(a-b)=|a| -|b| =(cos α +sin α )-? + ?=0, ?4 4?
所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a| +2 3a?b+|b| =|a| -2 3a?b+3|b| , 所以 2(|a| -|b| )+4 3a?b=0. 而|a|=|b|,所以 a?b=0, 3 ? 1? 则?- ??cos α + ?sin α =0,即 cos(α +60°)=0, 2 ? 2? 所以 α +60°=k?180°+90°, 即 α =k?180°+30°,k∈Z. 又 0°≤α <360°,则 α =30°或 α =210°.
2 2 2 2 2 2

1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b B.a⊥b

)

C.|a|=|b| D.a+b=a-b 解析:选 B 因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b) =(a-b) ,即 a?b=0,故 a⊥b. 2.(2012?山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 AB + AC = 2 AO ,且| OA |=| AC |,则向量 BA 在向量 BC 方向上的射影为( A. 3 2 B. 3 2 3 2
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

C.3

D.-

解析:选 A 由已知条件可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,因此

??? ? ??? ? π π π △ABC 是直角三角形,且∠A= .又| OA |=| CA |,所以∠C= ,∠B= ,AB= 3,AC 2 3 6

12

? ??? ??? ? ??? ? π 3 =1,故 BA 在 BC 上的射影| BA |cos = . 6 2
3.已知 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3). (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 之间的关系式; (2)在(1)条件下,若 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解:(1)∵ AD = AB + BC + CD =(x+4,y-2), ∴ DA =- AD =(-x-4,2-y). 又∵ BC ∥ DA 且 BC =(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① (2)由于 AC = AB + BC =(x+6,y+1),

??? ?

??? ?

??? ?

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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??? ??? ??? ? BD = BC + CD =(x-2,y-3), ??? ? ??? ? 又 AC ⊥ BD , ??? ? ??? ? 所以 AC ? BD =0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.② 联立①②化简,得 y -2y-3=0. 解得 y=3 或 y=-1. 故当 y=3 时,x=-6, 此时 AC =(0,4), BD =(-8,0),
2

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? 所以 SABCD= | AC |?| BD |=16; 2
当 y=-1 时,x=2, 此时 AC =(8,0), BD =(0,-4),

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? ∴SABCD= | AC |?| BD |=16. 2

1.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB =a, CA =b,a?b=0, |a|=1,|b|=2,则 AD =( 1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5

??? ?

??? ?

??? ?

) 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5

13

解析:选 D 如图,∵a?b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90°, ∴AB= AC +BC = 5. 又 CD⊥AB, 4 5 2 ∴AC =AD?AB,∴AD= . 5
2 2

??? 4 ??? 4 ? ? 4 4 ∴ AD = AB = (a-b)= a- b. 5 5 5 5
2.(2012?郑州质检)若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则 9 +3 的最小值为 ( ) A.12 C.3 2 解析:选 D 2 3
2x+y 2

x

y

B.2 3 D.6 依题意得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2,9 +3 =3 +3 ≥2 3 ?3 =
x y x y
2x

y

2x

y

=2 3 =6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9 +3 的最小值是 6.

3.(2012?山西省四校联考)在△OAB(O 为原点)中, OA =(2cos α ,2sin α ), OB =(5cos β ,5sin β ),若 OA ? OB =-5,则△OAB 的面积 S=( A. 3 C.5 3 B. D. 3 2 5 3 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

解析:选 D 设∠AOB=θ ,由| OA |=2,| OB |=5, OA ? OB =-5,得 cos θ =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? -5 1 3 1 ??? 1 3 5 3 =- ,sin θ = ,所以 S= | OA |?| OB |sin θ = ?2?5? = . 2?5 2 2 2 2 2 2
4. (2012?上海高考)在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1,若 M,N 分别是边

???? ???? ? | BM | | CN | ? ? BC,CD 上的点,且满足 ??? = ??? ,则 AM ? AN 的取值范围是________. | BC | | CD |

???? ?

??? ?

??? ? ???? ? ???? ? | CN | ? ? 解析:如图所示,设 ??? = ??? =λ (0≤λ ≤1),则 BM = | BC | | CD | ??? ? λ BC , ??? ? ??? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? CN =λ CD , DN = CN - CD =(λ -1) CD , ???? ???? ? ??? ???? ? ? ??? ? ???? 所以 AM ? AN =( AB + BM )?( AD + DN ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? =( AB +λ BC )?[ AD +(λ -1) CD ] ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? =(λ -1) AB ? CD +λ BC ? AD
| BM | =4(1-λ )+λ =4-3λ ,

14

故当 λ =0 时, AM ? AN 取得最大值 4;当 λ =1 时, AM ? AN 取得最小值 1. 因此 AM ?AN― →∈[1,4]. 答案:[1,4]

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

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