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四区二模理科数学参考答案


2016 年四区高三第二次模拟练习理科数学参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. (?2 , 1] 8. y 2 ? 4 x

1 2.

3. (3 , 1)

4.

3 2
11.

5.

2? 3

r />
6. 3

7. (?? , ? 2] ? [0 , 2]

9. (0 , 1)

10. 5

6?2 3 5

12. 2n ? 6n
2

13.{48,51,54,57,60}

14. 6 ? 4 2

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.D 17.C

18.B

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19. (本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分) (1)因为底面△ ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC ,所以, AC ? BC ,…(2 分) 因为 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? BC , 所以, BC ? 平面 ACC1 A1 . ………………………………………(4 分)

……………………………………………………(5 分)

(2)以 C 为原点,直线 CA , CB , CC1 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0 , 0 , 0) , A(2 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C1 (0 , 0 , 2) , B1 (0 , 2 , 2) , D(2 , 0 , 1) , 由(1) , CB ? (0 , 2 , 0) 是平面 ACC1 A1 的一个法向量, ………………………(2 分)

? CB1 ? (0 , 2 , 2) , CD ? (2 , 0 , 1) ,设平面 B1CD 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则有 ? ? ?2 y ? 2 z ? 0 , ?n ? CB1 ? 0 , 即? 令 x ? 1 ,则 z ? ?2 , y ? 2 , ?? ? ?2 x ? z ? 0 , ?n ? CD ? 0 , ? 所以 n ? (1 ,2 , ? 2) , …………………………………………(5 分) ? ? CB ? n 4 2 设 CB 与 n 的夹角为 ? ,则 cos? ? ? , …………………(6 分) ? ? | CB | ? | n | 2 ? 3 3 由图形知二面角 B1 ? CD ? C1 的大小是锐角, 2 所以,二面角 B1 ? CD ? C1 的大小为 arccos . ……………………………(7 分) 3
20. (本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? 1 ? 2 sin ? ?x ? 又 T ? ? ,所以, ? ? 2 , 所以, f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 , ………………(3 分) 6?

………………………………………………(5 分) …………………………………………………(6 分)

? ?

??

? ? 1. 6?

1

?? 1 ? ? ? 1 ? 0 ,故 sin ? 2 B ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? ? ? 5? 所以, 2 B ? ? 2k? ? 或 2 B ? ? 2k? ? (k ?Z ) , 6 6 6 6 ? 因为 B 是三角形内角,所以 B ? .……(3 分) 3 3 而 BA ? BC ? ac ? cos B ? ,所以, ac ? 3 , …………………………(5 分) 2 2 2 2 2 2 又 a ? c ? 4 ,所以, a ? c ? 10 ,所以, b ? a ? c ? 2accos B ? 7 , 所以, b ? 7 . …………………………………(8 分)
(2) f ( B) ? 2 sin? 2 B ?

? ?

??

21. (本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) f ( x ) ? 1 ? 即 ? 1 ? f ( x) ?

1 ? 1 1? ? 1? ?1? ,则 f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数,故 f ? ? ? ? f ( x) ? f ? ? , x ?1 ? 2 2? ? 2? ?2?
……………………………………………(2 分) ……………………………………………(4 分)

故 | f ( x) |? 1 ,所以 f ( x) 是有界函数.

1 , 3

所以,上界 M 满足 M ? 1 ,所有上界 M 的集合是 [1 , ? ?) . ……………………(6 分) (2)因为函数 g ( x) 在 x ? [0 , 2] 上是以 3 为上界的有界函数,故 | g ( x) |? 3 在 x ? [0 , 2] 上 恒成立,即 ? 3 ? g ( x) ? 3 ,所以, ? 3 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ? 3 ( x ? [0 , 2] ) , ……(2 分)
x x

? 4 1? ?2 1? , ? x ? ? a ? ? x ? x ? ( x ?[0 , 2] ) x 2 ? 2 ? ? 4 ?4 1 ?1 ? ?1 ? 2 2 令 t ? x ,则 t ? ? , 1? ,故 ? 4t ? t ? a ? 2t ? t 在 t ? ? , 1? 上恒成立, 2 ?4 ? ?4 ? ?1 ? 所以, (?4t 2 ? t )max ? a ? (2t 2 ? t )min ( t ? ? , 1? ) , ………………………(5 分) ?4 ? 1 ?1 ? ?1? 令 h(t ) ? ?4t 2 ? t ,则 h(t ) 在 t ? ? , 1? 时是减函数,所以 h(t ) max ? g ? ? ? ? ; (6 分) 2 ?4 ? ? 4? 1 ?1? ?1 ? 2 令 p(t ) ? 2t ? t ,则 p(t ) 在 t ? ? , 1? 时是增函数,所以 p(t ) min ? h? ? ? ? .…(7 分) 8 ?4? ?4 ? 1? ? 1 所以,实数 a 的取值范围是 ?? , ? ? . ……………………………………(8 分) 8? ? 2
所以 ? ? 22. (本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)

? x2 y 2 ?1, ? ? 2 2 2 (1)由 ? 3 得 (3k ? 4) x ? 24kx ? 36 ? 0 ,所以△ ? 144(k ? 4) ? 0 , 4 ? y ? kx ? 4 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

24 k 36 , x1 x2 ? , ………………(2 分) 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

2

因为 PA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ,代入上式求得 k ?

6 5 . 5

………………………(4 分)

(2) 由图形可知, 要证明 ?AFP ? ?BFO , 等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互补, 即等价于 k AF ? kBF ? 0 . ………………………………………………………(2 分)

k AF ? kBF ?
3?

?1 1? y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 3 kx2 ? 3 3( x1 ? x2 ) ? ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? 2 k ? ?x x ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 ? ? 1

24k 2 …………………………………………(5 分) ? 2k ? 3k ? 4 ? 2k ? 2k ? 0 . 36 3k 2 ? 4 所以, ?AFP ? ?BFO . …………………………………………………(6 分)
2 (3)由△ ? 0 ,得 k ? 4 ? 0 ,所以

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?

1 1 | PF | ? | x1 ? x2 |? ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

?

18 k 2 ? 4 , 3k 2 ? 4

………………………………………………………………(3 分)

2 2 令 t ? k 2 ? 4 ,则 t ? 0 , 3k ? 4 ? 3t ? 16 故 S ?ABF ?

18 k 2 ? 4 18t 18 ? 2 ? 2 3k ? 4 3t ? 16 3t ? 16 t

?

16 16 2 21 18 3 3 2 (当且仅当 3t ? ,即 t ? ,k ? 取等号) . ………(5 分) ? t 3 3 4 2 3 ? 16

所以,△ ABF 面积的最大值是

3 3 . 4

……………………………………………(6 分)

23. (本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得, an ?1 ? bnbn ?1 ①
2 ②, an ?1 ? bnbn ?1

………………(1 分)

③,

……………………………(2 分)

* 将 ③ 代 入 ① 得 , 对 任 意 n ? N , n ? 2 , 有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即

2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,所以
(2)设数列 所以 b1 ?
n

? b ?是等差数列.
n
1 2

…………………………(4 分)

? b ?的公差为 d ,由 a ? 10, a

? 15,得 b1 ?

25 , b2 ? 18,……(1 分) 2
……………………(3 分)

5 2 2 , b2 ? 3 2 ,所以 d ? b2 ? b1 ? , 2 2

3

所以, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 所以, bn ?

5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4) , ………………(4 分) 2 2 2

(n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 2 ? , an ? bn ?1bn ? , ……………………(5 分) 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) an ? . …………………………………………………………(6 分) 2 1 2 1 ? ? 1 (3)解法一:由(2) , ? ? 2? ? ? , ……………(1 分) an (n ? 3)(n ? 4) ? n?3 n? 4?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? 2? ? ? ,……(3 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ?? 2? an n?3 ?4 n? 4?
所以, Sn ? 2?? 即a ?

(n ? 2)(n ? 4) * 当 n ? N 时恒成立, n(n ? 3)

…………………………………………(4 分)

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
………………………………(7 分) …………………………………(8 分)

则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立. 故 a ? 1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] .

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ……………………(1 分) an (n ? 3)(n ? 4) ? n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? ,……(3 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ?? 2? an n?3 ?4 n? 4?
解法二:由(2) , 所以, 原不等式对任意 n ? N * 恒成立等价于 (a ? 1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对任意 n ? N * 恒 成立, ……………………………………(4 分) 设 f (n) ? (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1 ? 0 ,
2

当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;
2

…………………………(5 分)

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,
15 * ,所以当 a ? 1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . …………………………(8 分)
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?
4


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