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3.4.3直线与圆锥曲线的交点 课件1


第三章 圆锥曲线与方程

§4.3

直线与圆锥曲线的交点

高中数学选修2-1

知识点一:直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系有 相交 、 相切 、 相离 三种情况.

2.判断位置关系的方法就步骤:
①联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组



②将方程组消元得关于x(或y)的方程;
③判断方程是否为一元二次方程;

④若方程为一元一次方程,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点;
⑤若方程为一元二次方程,利用Δ与0的关系判断三种位置关系.

知识点二:圆锥曲线的弦及弦长公式
1.直线与圆锥曲线有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段 叫做 圆锥曲线的弦 ,线段的长就是弦长. 2.若直线l与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点
2| (1)若直线l的斜率不存在,则|AB|=|y1-y;

(2)若直线l的斜率为0,则|AB|=|x1-x2|; (3)若直线l的方程为y=kx+b,则|AB|= 或
1 1+ 2|y1-y2| k .

1+k2|x1-x2|

典例分析
例1 已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.

(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. y=kx-1 【解析】(1)由 2 2 x -y =1

消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0, 1-k2≠0 由已知得 Δ=4k2+8(1-k2)>0

跟踪训练
若抛物线y=-x2-2x+m与直线y=2x相交于不同两点A、B. (1)求m的取值范围;(2)求线段AB中点坐标.

典例分析
例2 已知双曲线3x2-y2=3,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A,B两点. 若P为AB的中点, (1)求直线AB的方程;(2)求弦AB的长.

跟踪训练

典例分析
例3 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C 有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程; 若不存在,说明理由.

【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p· 1,所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,

y=-2x+t 由

y2=4x

得y2+2y-2t=0.

跟踪训练

归纳小结
1.直线与圆锥曲线的公共点个数的讨论,一般通过联立、消元,
转化为一元二次方程根的个数进行讨论,在应用判别式前, 应注意对二次项系数为0,不为0分类讨论. 2.直线与圆锥曲线相交,主要有两个问题,即弦长和弦中点问题, 都要用方程思想求解,弦长可由弦长公式求解, 弦中点问题利用中点坐标公式求解. 3.直线与圆锥曲线的综合问题,千变万化,灵活多变,

但最终都要通过转化与化归,转化为直线与圆锥曲线的基本问题,
利用方程思想求解.

当堂训练

2.直线l过y2=4x的焦点F,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 且|AB|=8,则线段AB中点的横坐标是________. 解: ∵|AB|=x1+x2+2=8,∴=3.

再见


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