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高三数学集体备课记录《函数的单调性与最值》

时间:2017-11-08


高三数学(理)集体备课记录
课题:函数的单调性与最值 时间地点 2016 年 9 月 12 日 主持人 参与者
赵纯金 张泽成、黄翼
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数 的一个重要性质。在研究函数的值域、定义域、最值等性质 中有重要应用;在解不等式、证明不等式、数列的性质等数 学的其他内容的研究中也有重要的应用。可见,不论在函数 内部还

是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学 中具有核心地位。此外函数单调性的研究方法也具有典型意 义,体现了对函数研究的一般方法。这就是,加强“数”与 “形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般。首先借助对 函数图像的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直 观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一 步用数学符号刻画。 1.函数单调性的判断和应用及函数最值、奇偶性、周期性的 应用是高考的热点,题型既有选择题、填空题,也有解答题, 与函数概念、图像、性质综合在考查; 2.2017 年仍将综合考查函数性质,还常常与向量、不等式、 三角函数、导数等知识结合,进行综合考查。 知识与能力目标: 1.使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在 给定区间上的单调性; 2.启发学生发现问题和提出问题,培养学生分析问题、认识 问题和解决问题的能力; 3.进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 情感目标:通过对函数单调性与最值问题的探究,体会数学 的奥妙,激发学生数学学习兴趣,体会数学的应用价值,在 教学中激发学生的探索精神。 思想方法:数形结合、分类讨论的基本数学思想 探究式教学与讲练结合。 1.重点是:增减函数和最值的形式化定义; 2.难点是:如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数 学符号语言表述;用定义证明函数的单调性,从而求的函数 在区间上的最值。
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教材分析 备 课 设 想 考情分析

复习目标

教学方法

重点难点

教学策略

1.重视多种教法的有效整合; 2.重视提出问题与解决问题策略指导; 3.重视加强对交汇知识密切联系的发掘; 4.知识加强数学实践能力的培养; 5.注意避免繁琐的形式化训练; 6.教学过程体现“实践—认识—实践” 。

实施教学过程
一、 考点知识自主梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 定义 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是减函数

图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1) 对 于 任 意 的 x∈I , 都 有 条件 (3) 对 于 任 意 的 x∈I , 都 有 自左向右看图象是下降的

f(x)≤M;
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M

f(x)≥M;
(4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M

结论

M 为最大值

M 为最小值

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在增函数与减函数定义中, 可把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”. ( )
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(2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在

D 上是增函数.( )
(3)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( 1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )

x

)

(5)所有的单调函数都有最值.( ) (6)对于函数 y=f(x),若 f(1)<f(3),则 f(x)为增函数.( )

二、考点突破与题型探究
题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性 ) 1 D.y=x+

例 1 (1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2)
2

B.y=- x+1

1 x C.y=( ) 2 ) C.(2,+∞)

x

(2)函数 f(x)=log 1 (x -4)的单调递增区间是(
2

A.(0,+∞)
2

B.(-∞,0)

D.(-∞,-2)

(3)y=-x +2|x|+3 的单调增区间为________. 命题点 2 解析式含参函数的单调性

例 2 试讨论函数 f(x)= 引申探究

ax

x-1

(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

若本题中的函数变为 f(x)=

ax (a>0),则 f(x)在(-1,1)上的单调性如何? x2-1

思维升华 确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和 导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续 的单调区间不能用“∪”连接. 题型二 函数的最值 例 3 已知函数 f(x)=

x2+2x+a ,x∈[1,+∞),a∈(-∞,1]. x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 思维升华 求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
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题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小 )

1 例 4 已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 命题点 2 解不等式

??1?? 例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数, 则满足 f?? ??<f(1)的实数 x 的取值范围是( x ?? ??
A.(-1,1) 命题点 3 B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

求参数范围
2

例 6 (1)如果函数 f(x)=ax +2x-3 在区间(-∞, 4)上是单调递增的, 则实数 a 的取值 范围是( ) 1 B.a≥- 4 1 C.- ≤a<0 4 1 D.- ≤a≤0 4

1 A.a>- 4

??2-a?x+1,x<1, ? (2)已知 f(x)=? x ?a ,x≥1 ?

满足对任意 x1≠x2,都有

f?x1?-f?x2? >0 x1-x2

成立,那么 a 的取值范围是________. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数 的单调性解决. (2)解不等式. 在求解与抽象函数有关的不等式时, 往往是利用函数的单调性将“f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a, b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.

三、课时小结
答题模板 1.确定抽象函数单调性解函数不等式 典例 (12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a-5)<2.
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思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明, 只能用定义. 应该构造出 f(x2)-f(x1)并与 0 比较大小. (2) 将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入 点.要构造出 f(M)<f(N)的形式. 解函数不等式问题的一般步骤: 第一步:(定性)确定函数 f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:(转化)将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式; 第三步:(去 f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式 或不等式组; 第四步:(求解)解不等式或不等式组确定解集; 第五步:(反思)反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件 x>0 时,f(x)>1,构造 不出 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1 的形式,便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不 等式化为 f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视了 M、N 的取值范围,即忽视了

f(x)所在的单调区间的约束.
方法与技巧 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值;(2)作差;(3)定量;(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用 单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法. 失误与防范 1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要 用“∪”.

四、课后作业
《练出高分》

P273—274

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