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浙江省2014届理科数学复习试题选编23:数列的综合问题(教师版)


浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 23:数列的综合问题
一、选择题 1 . (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)已知各项均不为零的数列 {an } ,定 义向
* 量 cn ? ? an , an ?1 ? , bn ? (n, n ? 1), n ? N ,则下列命题中是真命题的是

?? ?

>
?? ?





A.若对任意的 n ? N ,都有 cn ∥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*

?? ?

?? ?

B.若对 任意的 n ? N ,都有 cn ∥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列
*

?? ?

?? ?

C.若对任意的 n ? N ,都有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*

?? ?

?? ?

D.若对任意的 n ? N ,都有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是 等比数列
*

?? ?

?? ?

【答案】A. 2 . (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)若数列{an}的前 n 项和为 S n , 则下列命题正

确的是[来源:学+科+网 Z+X+X+K] A.若数列{ an)是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列: B.数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数;





C.若 {an } 是等差数列,则对于 k ? 2且k ? N , S1 ? S2 ? Sk ? 0 的充要条件是 a1 ? a2 ? ak ? 0 D.若 {an } 是等比数列,则对于 k ? 2且k ? N , S1 ? S2 ? Sk ? 0 的充要条件是 ak ? ak ?1 ? 0.
【答案】D 3 . (浙江省宁波市 2013 届高三第一学期期末考试理科数学试卷)设实数列 {an }和{bn } 分别为等差数列与等

比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论正确的是 A. a2 ? b2
【答案】A

( D. a6 ? b6



B. a3 ? b3

C. a5 ? b5

4 . 浙 江 省 永 康 市 2013 年 高 考 适 应 性 考 试 数 学 理 试 题 ) 数 列 { an } 定 义 如 下 : a1 =1, 当 (

n?2

?1 ? a n (n为偶数) ? 2 1 ? 时, an ? ? ,若 an ? ,则 n 的值等于 1 4 (n为奇数) ? ? an ?1 ?
A.7
【答案】C





B.8

C.9

D.10

5 . (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题)已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是

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a3 与 a9 的等比中项, S n 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N ? ,则 S10 的值为:
A.-110
【答案】D





B.-90

C.90

D.110
1 1 与 a b

6 . (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)若 1 既是 a 2 与 b 2 的等比中项,又是

的等差中项,则 A.1 或
1 2

a?b 的值是 a 2 ? b2


1 2



B.1 或 ?

C.1 或

1 3

D.1 或 ?

1 3

【答案】D

? a 2b 2 ? 1 ?ab ? ?1 ? ?? ?1 1 2 2 ? ? ? 2 ?a ? b ? ?2 ? a ? b ? 4 ? 2 ?a b

7 . 浙 江 省 稽 阳 联 谊 学 校 2013 届 高 三 4 月 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ( word 版 ) ) 已 知 数 列 { a n } 满 足 (

log2 an? 1 ? log an ? 1 ,且 a2 ? a4 ? a8 ? 8 ,则 log 1 (a5 ? a7 ? a11 ) ? 2
2





A. ?

1 6

B. ?6

C. 6

D.

1 6

【答案】B 8 . (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知数列 {a n } 是 1 为首项、2 为公差的等

数列, {bn } 是 1 为首项、2 为公比的等比数列,设 c n ? abn , Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n (n ? N ) ,则当
*

Tn ? 2013,n 的最小值是
A.7
【答案】C 9 . (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n

( C.10 D.11



B.9

? S m ? S n ? m ,且 a1 ? 1 ,
( )

那么 a10 ? A.1
【答案】A

B.9

C.10

D.55

【解析】 S 2 ? S1 ? S1 ? 2 ,可得 a 2 ? 1 , S 3 ? S1 ? S 2 ? 3 ,可得

a3 ? S 3 ? S 2 ? 1 ,同理可得 a 4 ? a5 ? ? ? a10 ? 1 ,故选
A.





10. (浙江省嘉兴市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学试卷) {a n } 是有穷数列,且项数 n ? 2 .定义一个变 设

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换? : 将数列 a1 , a2 , ?, an 变成 a3 , a4 , ?, an ? 1 ,其中 an ? 1 ? a1 ? a2 . 从数列 1, 2, 3, ? , 2 2013 开始,反复实施变换 ? ,直到只剩下一项而不能变换为止.则变换所产生的所有 ........ 项的乘积为 .... A. ( 22013! )2013 B. ( 22013! )2012 C. ( 2013! )2012 D. ( 2 2013! )! ( )

【答案】 数列 1, 2, 3, ? , 2 2013 共有 2 2013 项,它们的乘积为 2 2013 ! .经过 2 2012 次变换,产生了有 2 2012 项的 A

一个新数列,它们的乘积也为 2 2013 ! .对新数列进行同样的变换,直至最后只剩下一个数,它也是 2 2013 ! , 变换终止.在变换过程中产生的所有的项,可分为 2013 组,每组的项数依次为 22012 ,22011,?,21 ,20 ,乘积 均为 2 2013 ! ,故答案为 ( 22013! )2013 .
11. (浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知三个不全相等的实数
a , b,c

列. 则 可能成等差数列的是 A. a , b , c
C. a ,
3

成等比数 ( )

B



a2 ,

b2

,c

2

b ,c

3

3

D. a , b , c

【答案】B 12. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题)设数列{an}是首项为 l 的等比数列,若

{

1 1 1 1 1 + )+ ( + ) } 是等差数列,则 ( 2a1 a2 2a2 a3 2an + an+ 1
1 1 + ) 的值等于 2a2012 a2013
B.2013 C.3018 D.3019 ( )

+ ?+ (
A.2012

【答案】C 二、填空题 13. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)公比为 4 的等比数列

?bn ?中,若 Tn 是

数列 ?bn ?的前 n 项积,则有

T20 T30 T40 100 , , 也成等比数列,且公比为 4 ;类比上述结论,相应的在公差 T 10 T20 T30

为 3 的等差数列 ?a n ? 中,若 S n 是 ?a n ? 的前 n 项和,则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为 ______________. 【答案】300;
14. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题) 已知

2?

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3? ? 3 , 4 ? ?4 , ,若 3 3 8 8 15 15

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6?

a a ?6 (a,t 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t=_______. t t
2

【答案】41

【解析】照此规律:a=6,t=a -1=35
15. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题)公差不为 0 的等差数列{an}的部分项

ak1 , ak2 , ak3 ? ,构成等比数列,且 k1=1,k2=2,k3=6,则 k4=_______.
【答案】22 16. (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学(理)试题)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项

和 为 S n . 若 a4 是 a3与a7 的 等 比 中 项 ,S10=60
【答案】320;

, 则

S20 等 于

_________

17 .(浙江省 杭州四 中2013 届高三 第九次教 学质检 数学( 理)试 某种平面分形图如下图所示一级分形图是由一点出 题)

发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为 120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出 发再生成 两条长度为原来

1 的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°;;依此规律得到 n 级分形图. 3

(I)n 级分形图中共有_ _ _ _ _ 条线段;(II) ;n 级分形图中所有线段长度之和为_ _ _ _ 2 【答案】(Ⅰ) 3 ? 2n ? 3 (Ⅱ) 9 ? 9 ? ( ) n 3
18. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )若 f (n) 为 n ? 1 (n ? N ) 的各位
2
*



f (14) ? 17 1 ? 9 ? 7 ? 17 , 则 * f1 (n) ? f (n) , f 2 (n) ? f ( f1 (n)) ,, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? N ,则 f 2008 (8) ? __________.
字 之 和 , 如 ,

142 ? 1 ? 197

;



【答案】11. 19 . 浙 江 省 乐 清 市 普 通 高 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 教 学 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 (
? ? ? 1 ) , OB ? (1,0) , 设 ? n 是 向 量 OAn 与 向 量 OB 的 夹 角 , 则 数 列 {tan ? n } 的 前 n 项 和 为 n ?1 _________.
?

OAn ? (n,

【答案】

n n ?1

20. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,

等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a, b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的
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n ? N * ,总存在 m ? N * ,使得 am ? 3 ? bn 成立,则 an ? ______.
【答案】 5n ? 3 21. (浙江省“六市六校”联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)如图,将数列 ?a n ? 中的所有项

按每一行比上一行多两项的规则排成数表,已知表中的第一列 a1 , a 2 , a 5 ,? 构成一个公比为 2 的等比数 列,从第 2 行起,每一行都是一个公差为 d 的等差数列,若 a4 ? 5, a86 ? 518 ,则 d =____________.

(第 16 题图)

【答案】

3 2

22 . 浙 江 省 湖 州 市 2013 年 高 三 第 二 次 教 学 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 (word 版 ) ) 已 知数列 ?an ? 满 足 (

a1 ? 1 , ? 2n ? 5? an ?1 ? ? 2n ? 7 ? an ? 4n 2 ? 24n ? 35 ( n? N* ),则数列 ?an ? 的通项公式为____.
【答案】 an ? 【答案】1023

? 2n ? 5?? 7n ? 6 ?
7
n

23. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 ,则 a10=____________.

【解析】累加法.
三、解答题 24.(浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)

己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2.当n≥2时.S n - 1 +l, an . S n +1成筇等差数列. (I)求证:{Sn+1}是等比数列: (II)求数列{nan}的前 n项和.

【答案】(I)证明:∵ S n ?1 ? 1 , an , S n

? 1 成等差数列

∴ 2an ? S n ? S n ?1 ? 2 (n ? 2) ∴ 2( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 ? 2 ∴ S n ? 1 ? 3( S n ?1 ? 1) (n ? 2)
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即 S n ? 3S n ?1 ? 2

∴ {S n ? 1} 是首项为 S1 ? 1 ? 3 ,公比为 3 的等比数列 (II)解:由(I)可知 S n ? 1 ? 3n ∴ S n ? 3n ? 1

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 3n ?1 又∵ a1 ? 2 ∴ an ? 2 ? 3n ?1 ( n ? N * ) ∴ Tn ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ? L ? 2( n ? 1) ? 3n ? 2 ? 2n ? 3n ?1 (1) (2)

3Tn ?
(1)-(2)得:

2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? L ? 2( n ? 1) ? 3n ?1 ? 2n ? 3n

?2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? L ? 2 ? 3
2

n ?1

2(1 ? 3n ) ? 2n ? 3 ? ? 2 n ? 3n ? 3n ? 1 ? 2 n ? 3 n 1? 3
n

∴ Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 2

25. (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)已知 {a n } 是等差数列,其前 n

项和为 Sn, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2, a 4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 . (Ⅰ)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? a n b1 ? a n ?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N * ,求 Tn ( n ? N * ).
【答案】

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26.【解析】浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? (

2x ? 3 ,数列 ?an ? 满 3x

足: a1 ? 1, an ?1 ? f (

1 )(n ? N * ) . an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

m ? 2013 1 对一切 n ? N * 成立,求最小正整数 m . , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 S n ? 2 an an ?1

1 ?3 an 2 【答案】解:(1)由题知, an ?1 ? ? an ? 1 3 3? an 2?
2 为公差的等差数列, 3 2 2 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ? 3 3 3 1 1 9 1 1 (2) bn ? ? ? ( ? ) an an ?1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 3 3 3 3 9 1 1 1 1 1 1 9 1 1 所以, S n ? ( ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3
故,数列 {an } 是以 1 为首项,
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m ? 2013 9 1 1 m ? 2013 ,即: ( ? 对一切 n ? N* 成立 )? 2 2 3 2n ? 3 2 9 1 1 9 1 1 3 又 ( ? ) 随着 n 单调递增,且 ( ? )? , 2 3 2n ? 3 2 3 2n ? 3 2 3 m ? 2013 所以 ? ,故 m ? 2016 2 2 所以 m 的最小值为 2016
所以, S n ?
27. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足

2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? N *) 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.
(1)求 a1 的值; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 2n ,求证数列 ?bn ? 是等比数列. (3) 求满足 an ?

4 n ? 3 的最小正整数 n . 5

?2a1 ? a2 ? 3 ? 【答案】解:(1)由 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

bn ?1 ? 3 ,所以数列 ?bn ? 是一个以 3 为首项,公比为 3 的等比数列 bn
(3)由(2)知 bn ? 3n ,即 an ? 2n ? 3n 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n

an 4 ?2? ?2? 1 ? 1 ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,所以 n ? 4 ,所以 n 的最小正整数为 4 n 3 5 ?3? ?3? 5
28 . 浙 江 省 重 点 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 联 谊 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 数 列 ?an ? 的 前 (
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n

n

n 项和为

S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 S n ? 1 ,等差数列 ?bn ? 满足 b3 ? 3, b5 ? 9 ,
(I)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)若对任意的 n ? N * , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.
【答案】(I)由 an ?1

1 2

? 2 S n ? 1 ----①得 an ? 2 S n ?1 ? 1 (n ? 2) ----②,

① ? ②得 an ?1 ? an ? 2( S n ? S n ?1 ) ,? a n ?1 ? 3a n (n ? 2), ; 由 an ?1 ? 2 S n ? 1 得 a 2 ? 2a1 ? 1 ? 3a1

? an ? 3n ?1

b5 ? b3 ? 2d ? 6,? d ? 3,? bn ? 3 ? (n ? 3) ? 3 ? 3n ? 6 ;
(II) S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n 3n ? 1 ? ? , 1? q 1? 3 2

?(

3n ? 1 1 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, 即? k ? n 2 2 3
3n ? 6 3n ? 6 3n ? 9 ?2n ? 7 , cn ? cn ?1 ? , ? n ?1 ? n 3 3n 3 3n

令 cn ?

当 n ? 3 时, cn ? cn ?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn ?1 ,

? (cn ) max ? c3 ?

2 2 ,k ? 9 9

29. (浙江省乐清市普通高中 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)在公差 d (d ? 0) 的等差数

列 {a n } 和公比 q 的等比数列 {bn } 中, a 2 ? b1 ? 3, a 5 ? b2 , a14 ? b3 , (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)令 c n ? a bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 S n .
【答案】解:(1)∵ ?

?a 2 ? 3d ? b1 q ?d ? 2 ? ,解得 ? 2 ?a 2 ? 12d ? b1 q ?q ? 3 ?

∴ a n ? 2n ? 1, bn ? 3 n (2) c n ? 2 ? 3 n ? 1
S n ? 2 ? (3 ? 3 2 ? ? ? 3 n ) ? n ? 3 n ?1 ? n ? 3
30. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)已知三个正整数 2a,1, a
2

? 3 按某种顺

序排列成等差数列. (1)求 a 的值; (2)若等差数列 ?a n ?的首项.公差都为 a ,等比数列 ?bn ?的首项.公比也都为 a ,前 n 项和分别为

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S n , Tn ,且

Tn ? 2 ? S n ?108 ,求满足条件的正整数 n 的最大值. 2n
2

【答案】(1)? 2a, a

? 3 是正整数,?a 是正整数,? a 2 ? 3 ? 2a ? 1 ,

? 4a ? a 2 ? 3 ? 1, ?a ? 2
(2) S n

? 2n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? n , 2

Tn ?

T ?2 2(1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 ? 2 , ? n n ? 2 , 1? 2 2

? S n ? 110 ,即 n 2 ? n ? 110 ? 0,? ?11 ? n ? 10

? n 是正整数,?n 的最大值是 9
31. (浙江省杭州高中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) 设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足

bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an ?1 ? an , n ? N* ,已知 b1 ? m , b2 ?
(1) 求数列 {an } 通项(用 m 表示);

3m ,其中 m ? 0 . 2

(2) 设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 S n ? [1,3] ,求实数 m 的取值范围.

【答案】 (1) 由已知 b1

? a1 ,所以 a1 ? m ,
3 m, 2

b2 ? 2a1 ? a2 , 所以 2a1 ? a2 ?
解得 a2 ? ?

m 1 1 ,所以数列 {an } 的公比 q ? ? . a n ? m(? ) n ?1 2 2 2 1 m[1 ? (? ) n ] 2 ? 2m ? [1 ? (? 1 ) n ] , (2) S n ? 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 1 2m 3 因为 1 ? (? ) n ? 0 ,所以,由 S n ? [1,3] 得 , ? ? 1 n 2 3 1 ? (? 1 ) n 1 ? (? ) 2 2 1 n 3 1 n 3 注意到,当 n 为奇数时 1 ? ( ? ) ? (1, ] ,当 n 为偶数时 1 ? ( ? ) ? [ ,1) , 2 2 2 4 1 n 3 3 所以 1 ? ( ? ) 最大值为 ,最小值为 . 2 2 4 1 2m 3 对于任意的正整数 n 都有 , ? ? 1 n 3 1 ? (? 1 ) n 1 ? (? ) 2 2 4 2m 所以 ? ? 2 , 2 ? m ? 3. 3 3
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即所求实数 m 的取值范围是 {m 2 ? m ? 3} .
32. (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)设公比大于零的等比数列 {a n } 的前 n 项和

为 S n ,且 a1 ? 1 , S 4 ? 5S 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n bn , n ? N * .
2

(1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 C n ? ( S n ? 1)( nbn ? ? ), 若数列{C n } 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.
【答案】

33. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 ) 已知正项数列 {an } 中, a1 ? 6 ,点

An (an , an ?1 ) 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 {bn } 中,点 Bn (n, bn ) 在过点 (0,1) ,斜率为 2 的直线 l 上.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

? a , n为奇数 * (2)若 f ( n) ? ? n ,问是否存在 k ? N ,使 f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立,若存在,求出 k 的值;若不存 ? bn , n为偶数 在,请说明理由;

(1 ?
(3)求证:

1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn n ? 2 ? an

?

4 5 , n ? 1, 2,3 , 15

【答案】 ?1?a n ? n ? 5; bn ? 2n ? 1; ?2?k ? 4; ?3?略; 34. (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学(理)试题)若 {a n } 是各项均不为零的等差数列,公差为
2 d , S n 为其前 n 项和,且满足 an ? S 2 n ?1 , n ? N ? .

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数列 ?bn ? 满足 bn ? (Ⅰ)求 an 和 Tn ;

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(Ⅱ)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存 在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)在 an ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1, 2 ,解得 a1
2

? 1, d ? 2 ,

从而 an ? 2n ? 1 , bn ?

1? 1 1 ? ? ? ?, 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??

(Ⅱ)假设否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则

3 ?2m 2 ? 4m ? 1 n ? m ? 1 ,可得 ? ? 0, ? ? ? ? n m2 ? 2m ? 1 ? 3 2n ? 1
2

由分子为正,解得 1 ?
?

6 6 , ? m ? 1? 2 2

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列
35. (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n 2 ,数列 {bn } 满

足 bn ?

an (m ? N * ) . an ? m

(1)若 b1 , b2 , b8 成等比数列,求 m 的值; (2)是否存在 m,使得数列 {bn } 中存在某项 bt 满足 b1 , b4 , bt (t ? N , t ? 5) 成等差数列?若存在,则求出所有 符合题意的 m 的值;若不存在,则请说明理由.
【答案】

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36. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 在公差为 d 的等差数列 {a n } 中, )

已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n ?
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,
n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ?? an ? ? ?
②当12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ? ? ?? an ) ? ? ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2

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? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an |? ? ; ?? n 2 ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
37. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题) 已知数列 {an } 中, a1 =

1 ,且点

P(a n , a n ?1 ) ( n ? N ? )在直线 x ? y ? 1 ? 0 上.
⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式;

⑵若函数 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N 且 n ? 2) ,求函数 f (n) 的最小值; n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

⑶ 设 bn =

1 , S n 表 示 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 . 试 问 : 是 否 存 在 关 于 n 的 整 式 g (n) , 使 得 an

S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ( S n ? 1) ? g (n) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g (n) 的
解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)把 P 点代入直线 x ? y ? 1 ? 0 得: a n ?1

? an ? 1 , (n ? N ? )

∴ ?a n ? 是公差为 1 的等差数列,又 a1 ? 1 ,因此可得: a n ? n (2)由(1) f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? , (n ? 2) n ?1 n ? 2 n ? 3 2n

∵ f (n ? 1) ? f (n) ? ∴ ? f (n)?是递增数列

1 1 1 1 ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 2)

1 1 7 7 ? ? ,即 f (n) min ? 3 4 12 12 1 1 1 1 1 (3)∵ bn ? ,∴ S n ? ? ? ? ? . n 1 2 3 n 1 1 1 1 有 S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? (n ? 3) ? ? ??n ? (n ? 1)? ? 1 2 3 n ?1
因此 f (n) ? f (2) ?

1 1 1 1 ? n?( ? ? ??? ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) 1 2 3 n ? 1 ??????? n -1个1
1 1 1 1 ? n?( ? ? ??? ) ? n ?1 1 2 3 n ?1
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1 1 1 1 1 ? n?( ? ? ?? ? 1 ? ) ? n ? ( S n ? 1) 1 2 3 n ?1 n
当 n ? 2 时, g (n) 存在,且 g (n) ? n
38. (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学(理)试题) 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ?

中,a1=2b1=2,b6=32, ?an ? 的前 20 项和 S20=230. (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 4 中各随机抽取一项 ,写出相应的基本事件,并求所取两项中,满足 an>bn 的概率.
【答案】

39. (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知公差不为零的等差数列 ?a n ? 与等比数列

?bn ?中, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 , b3 ? a5 .
(Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式 (Ⅱ)设数列 {cn } 满足: cn ? 3 n ? ? bn , 且 cn ?1 ? cn (n ? N ? ) 恒成立,求实数 ? 取值范围.
a

【答案】解: (1)令 an ? 1 ? ( n ? 1)d , bn ? q

n ?1

? 1? d ? q ?d = 2 ?? ,又d ? 0, ?? 2 ?1 ? 4d ? q ? q =3
? an = 2n-1,bn =3n -1

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