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高中对数函数公式

时间:2012-12-15


指数函数和对数函数
1、指数函数: 定义:函数 y ? a x ? a ? 0 且 a ? 1? 叫指数函数。 定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y ? a
x

中的 a 必须 a ? 0 且 a ? 1 。
x

因为若 a ? 0 时, y ? ? ? 4 ? ,当 x ? 值不存

在。

1 4

时,函数

a ? 0 , y ? 0 ,当 x ? 0 ,函数值不存在。
x

a ? 1 时, y ? 1 对一切 x 虽有意义,函数值恒
x

为 1,但 y ? 1 的反函数不存在,
x

因为要求函数
x

y ? a

x

中的 a ? 0 且 a ? 1 。
x

? 1? 1、对三个指数函数 y ? 2 , y ? ? ? , y ? 1 0 x ? 2?

的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1); (3) y ? 2 , y ? 1 0 在第一象限内的纵坐
x x

函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 a x ? 0 ; (2)无论 a 取任何正数, x ? 0 时, y ? 1 ;
x

?x ? 0, 则 a ? (3)当 a ? 1 时, ? 标都大于 1, 在第二象限内的纵坐标都小于 1, ?x ? 0, 则 a ?

? 1 ? 1
x

x

? 1? y ? ? ? ? 2?

x

的图象正好相反;

?x ? 0, 则 a ? 当 0 ? a ? 1 时, ? ?x ? 0, 则 a ?

? 1 ? 1

x

x (4) y ? 2 , y ? 1 0 的图象自左到右逐渐 (4)当 a ? 1 时, y ? a 是增函数, x x

? 1? 上升, y ? ? ? ? 2?

x

的图象逐渐下降。

当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数。
x

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如 y ? 2 和 y ? 1 0 相交于 ( 0 , 1 ) ,
x x

2 2 当 x ? 0 时, y ? 1 0 的图象在 y ? 2 的图象的上方,当 x ? 0 ,刚好相反,故有 1 0 ? 2
x x

及1 0

?2

? 2

?2


x

② y ? 2 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称。
? 2?

? 1?

x

③通过 y ? 2 , y ? 1 0 , y ? ? ? 三个函数图象,可以画出任意一个函数 y ? a
x x

? 1? ? 2?
x

x
x

( a ? 0 且 a ? 1 )的示意图,如 y ? 3 的图象,一定位于 y ? 2 和 y ? 1 0 两个图象的中
x x

1

? 1? ? 1? 间,且过点 ( 0 , 1 ) ,从而 y ? ? ? 也由关于 y 轴的对称性,可得 y ? ? ? ? 3? ? 3?

x

x

的示意图,即

通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义: 如果 a
b

? N ( a ? 0 且 a ? 1) , 那么数 b 就叫做以 a 为底的对数, 记作 b ? lo g a N

(a 是底数,N 是真数, lo g a N 是对数式。) 由于 N ? a b ? 0 故 lo g a N 中 N 必须大于 0。 当 N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求 lo g 0 . 3 2 ?
?5 2? ? ? 4 ? ?5 2? ? ? x再 ? 4 ?

分析: 对于初学者来说, 对上述问题一般是束手无策, 若将它写成 lo g 0 . 3 2 ? 改写为指数式就比较好办。解:设 lo g 0 . 3 2 ?
?5 2? ? ? x ? 4 ?
x

则 0 .3 2

?
x

5 2 4

? 8 ? 即? ? ? 25? ∴x ? ?

? 8 ? ? ? ? ? 25?

?

1 2

1 2

?5 2? 1 即 lo g 0 . 3 2 ? ? ? ? 2 ? 4 ?

评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题, 因此必须因题而异。如求 3 ? 5 中的 x ,化为对数式 x ? lo g 3 5 即成。
x

(2)对数恒等式: 由a
b

? N

(1)

b ? lo g a N
lo g a N

(2)

将(2)代入(1)得 a

? N

2

运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和 对数的底数相同。 计算: ? 3 ?
? lo g
1 3

2

?

1 2

lo g 1 2
3

解:原式 ? 3

? 1? ? ? ? ? 3?

lo g 1
3

2?

2



(3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1 的对数是零; ③底数的对数等于 1。 (4)对数的运算法则: ① lo g a ? M N ? ? lo g a M ? lo g a N ② lo g a
M N
n

?M,N
?R

?R
?

?

?

? lo g a M ? lo g a N

?M,N
?

?

③ lo g a ? N ④ lo g a
n

??

n lo g a N
1 n lo g a N

?N
?N

?R
?R

?
?

N ?

?

3、对数函数: 定义:指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的反函
x

数 y ? lo g a x x ? ( 0 , ? ? ) 叫做对数函数。 1、对三个对数函数 y ? lo g 2 x , y ? lo g 1 x ,
2

y ? lg x 的图象的认识。

图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0);
+

函数性质 (1)定义域:R ,值或:R; (2) x ? 1 时, y ? 0 。即 lo g a 1 ? 0 ;

(3) y ? lo g 2 x , y ? lg x 当 x ? 1 时,图象 (3)当 a ? 1 时,若 x ? 1 ,则 y ? 0 ,若 在 x 轴上方,当 0 ? x ? 0 时,图象在 x 轴下 0 ? x ? 1 ,则 y ? 0 ; 方, y ? lo g 1 x 与上述情况刚好相反; 当 0 ? a ? 1 时,若 x ? 0 ,则 y ? 0 ,若
2

0 ? x ? 1 时,则 y ? 0 ;

(4)y ? lo g 2 x , y ? lg x 从左向右图象是上 (4) a ? 1 时, y ? lo g a x 是增函数;
0 ? a ? 1 时, y ? lo g a x 是减函数。
3

升,而 y ? lo g 1 x 从左向右图象是下降。
2

对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较): (1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是 y ? lo g 2 x 与 y ? lg x 在点(1,0)曲 线是交叉的,即当 x ? 0 时, y ? lo g 2 x 的图象在 y ? lg x 的图象上方;而 0 ? x ? 1 时,
y ? lo g 2 x 的图象在 y ? lg x 的图象的下方,故有: lo g 2 1.5 ? lg 1.5 ; lo g 2 0 .1 ? lg 0 .1 。

(2) y ? lo g 2 x 的图象与 y ? lo g 1 x 的图象关于 x 轴对称。
2

(3)通过 y ? lo g 2 x , y ? lg x , y ? lo g 1 x 三个函数图象,可以作出任意一个对数
2

函数的示意图, 如作 y ? lo g 3 x 的图象, 它一定位于 y ? lo g 2 x 和 y ? lg x 两个图象的中间, 且过点(1,0), x ? 0 时,在 y ? lg x 的上方,而位于 y ? lo g 2 x 的下方, 0 ? x ? 1 时, 刚好相反,则对称性,可知 y ? l o g 1 x 的示意图。
3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式:
lo g b N ? lo g a N lo g a b

L n N ? lo g e N ( 其 中 e ? 2 .7 1 8 2 8 … ) 称 为 N 的 自 然 对 数 L g N ? lo g 1 0 N 称 为 常 数 对 数

由换底公式可得:
Ln N ? lg N lg e ? lg N 0 .4 3 4 3 ? 2 .3 0 3 lg N

由换底公式推出一些常用的结论: (1) lo g a b ? (2) lo g a b
n

1 lo g b a

或 lo g a b · lo g b a ? 1

m

?

m n

lo g a b

(3) lo g a b ? lo g a b
n
n

(4) lo g a a
n

m

?

m n

4


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