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山西省晋城市阳城县第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理

时间:2016-02-06


2015-2016 学年第一学期第一次考试 高三数学(理)试题
???????????? 密 ??????????? 封 ???????????线???????????? 考试时间: 120 分钟;满分:150 分 一、单项选择(每小题 5 分,共 60 分) 1. 下列命题中正确的是 A. U( UA)={A} B. 若 A ? B ? B ,则 A ? B C. D

. 2. 函数 y ? A. (3,??) D. ( )

7. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表 ,当各班人数除以 10 的余 数大于 时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函 数关 ..6 . 系用取整函数 y=[x]( [x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( A. y ? ? ) D. y ? ?

?x? ?10 ? ?

B. y ? ?

? x ? 3? ? 10 ? ?

C. y ? ?

? x ? 4? ? 10 ? ?

? x ? 5? ? 10 ? ?

8. 若曲线 f(x, y)=0 上两个不同点处的切线重合, 则称这条切线为曲线 f(x, y)=0 的“自 公切线”.下列方程:①x -y =1;②y=x -|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x|+1=
2 2 2

4 ? y 2 对应的曲线中存在“自公切线”的有 (
A.①② B.②③

) D.③④

考号

C.①④

9. 设 min{ p, q } 表示 p, q 两者中的较小的一个,若函数 f ( x) = min{3 -

1 log 2 x, log 2 x } , 2

log2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,??)

) C. (4,??) ) D. D. [4,??)

则满足 f ( x) < 1 的 x 的集合为 ( A. (0,

) B. ?0,??? D. ?

2)

3. 函数 f(x)=x+2cosx 在区间[0, A. 0 4. 已知函数 f ? x ? ?
2

姓名

B.

? 6

? ]上取最大值时,x 的值为( 2 ? C. 3


? 2

C. ?0,2? U ?16,???

?1 ? ,?? ? ? 16 ?

10.错误!未找到引用源。分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。的解集为( A. ? ??, ?2? ? ? 0,2? B. ? ?2,0? ? ? 0,2? D. ? ?2,0? ? ? 2, ??? )

1? x 则有( 1? x2
?1? ? x?

A. f ?x ? 是奇函数,且 f ? ? ? ? f ?x ?

B. f ?x ? 是奇函数,且 f ? ? ? f ?x ?

?1? ? x? ?1? ? x?

C. ? ??, ?2? ? ? 2, ???

C. f ?x ? 是偶函数,且 f ? ? ? ? f ?x ? 5. 函数 y ? ? 1 ? 4x 的单调递减区间是( )
2

班级

?1? ? x?

D. f ?x ? 是偶函数,且 f ? ? ? f ?x ?

11.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

? ?1? | x ? 3 |, x ? [1,??).
)
?a

,则关于 x 的

函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(

1? ? A. ? ? ?, ? 2? ?

?1 ? B. ? ,?? ? ?2 ?

? 1 ? C. ?? ,0? ? 2 ?

? 1? D. ?0, ? ? 2?
( )

A. 2 ? 1
a

B. 2

?a

?1

C. 1 ? 2

D. 1 ? 2

a

6. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则 Cu(M ? N)= A.{5,7} B.{2,4} C. {2,4,8}

12.函数 f ? x ? ?

1 ? x2 ? m 有零点,则实数 m 的取值范围是( x?3



D. {1,3,5,6,7}
1

A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ?

2? ? 2 ?

C. ? 0,

? ?

2? ? 4 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? ? 4 ? ?
19. (12 分 ) 已 知 偶 函 数 f ( x) 在 (0,??) 上 为 增 函 数 , 且 f (2) ? 0 , 解 不 等 式

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.设函数 满足: ,则函数 在区间 上的最小值为

2 f log 2 ( x ? 5x ? 4) ? 0 .

?

?

14.函数 y=Asin(ω x+∮)(A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(11) 的值等于 20. (12 分)已知向量 a ? (2cos x, 3sin x), b ? ? cos x, ?2cos x ? ,设函数 f ? x ? ? a ? b . (1)求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 tan ? ? 2 ,求 f (? ) 的值. 15. 若集合 M ? {x | x ? x ? 2
2 x

?

?

? ?

? ? 0 , x ? N*}中的元素个数为 4 ,则实数 ? 的取值范围
21. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ( x ? m) . g ( x) ? x ? x ? 1 (1)若 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,试求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,若函数 h( x ) ? f ( x) ? g ( x) ? 2a 有三个零点,试求实数 a 的取值 范围.





16.若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3)和 B(3,-1),则不等 式 f ( x ? 1) ?1 ? 2 的解集是 三、解答题 17.(10 分 )已知函数 .

f ( x) ?

x ?a , 且f (1) ? 2. x
2

22. (14 分)设函数 f ? x ? ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)判断并证明函数 (2)证明函数

f ( x) 在其定义域上的奇偶性;

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的极小值; (2)讨论函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ?

f ( x) 在(1,+∞)上是增函数.

x 零点的个数; 3

(3)若对任意 b ? a ? 0 , 18. (10 分)已知函数 f(x)= +a]的定义域是集合 B. (1)分别求集合 A、B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 的定义域是集合 A,函数 g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2

f ?b? ? f ? a ? ? 1 恒成立,求 m 取值范围. b?a

2015-2016 学年第一学期第一次考试 高三数学(理)试题答案

2

一、单项选择 1-5.DDBCC 二、填空题 13、3 14、2+2 2 15、 ( 6-10.CBBCD 11-12. DC

15 ,1] . 16

16、 ?x | ?1 ? x ? 2? 三、解答题 17、 【答案】 (1)∵

f (1) ? 2,?a ? 1 ? 2,?a ? 1,
关于原点对称, 20.(1) [ k? ?

x2 ? 1 1 ? f ( x) ? ? x ? ,所以 f ( x) 定义域 ?x | x ? 0? x x

? f ( ? x) ? ? x ?

1 ? ? f ( x), 所以函数 f ( x) 在其定义域上为奇函数. x
? x2 ,

2? ? 2?2 6 , k? ? ], k ? Z ;(2) . 3 6 3

试题解 析: ( 1 )利用向量的数量积及二倍角的正、余弦公式,求出 f ( x) 的解析式

(2)任取 x1 , x2 ? (1,??), 且x1 则

?1 1? ?x1 x2 ? 1? , ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ? ? ? x ? x 1 2 ?x x ? x1 ? x2 ? 1 2 ?

f ( x) ? 1 ? 2 cos( 2 x ?

?
3

) ,再根据余弦函数的单调性,确定单调增区间; ( 2 )借助于

sin2 ? ? co s2 ? ? 1 , 将 f (? ) ? 2 c o s 2? ?2 3s i n ?c o s ? 转化为用 tan ? 表示的式子即可
求出. 试题解析:f ? x ? ? a ? b = 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ? ) 3 (1) 当 2k? ?? ? 2 x? ? 2k? 时, f (x) 单调递增, 解得:k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 3 6 3 ∴ f ? x ? 的单调递增区间为[ [ k? ? (

∵ x1

? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, 又x1 , x2 ? (1,??),? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,
B={x|x<a 或 x>a+1}.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以函数 f ( x)在(1,??) 上为增函数.
18、 (1)A={x|x≤-1 或 x>2} (2)由 A∪B=B 得 A?B,因此

? ?

?

2?

?

x ?1 x?2

2? ? , k? ? ], k ? Z 3 6
2 )

所以-1<a≤1,所以实数 a 的取值范围是(-1,1]. 19、 【答案】

f (? ) ? 2 cos2 ? ? 2 3 sin ? cos? ?

2 cos2 ? ? 2 3 sin ? cos? 2 ? 2 3 tan? 2 ? 2 6 ? ? 3 sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ?

考点:1、向量的数量积;2、二倍角的正、余弦 公式;3、三角函数的单调性. 21.(1) m ? 0 ; (2) a ? ( ,1) .
3

1 2

试题分析: (1) 直接运用奇函数的基本性质得 f (0) ? 0 , 由此即可解出实数 m 的值; (2) 将问题“函数 ,进 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2a 有三个零点”转化为“方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 2a 有三个解” 而结合函数的图像 即可得出参数 a 的取值范围. 试题解析: (1)由题意得 f (0) ? 0 ? m ? 0 ( 2)∵函数 f ( x ) ? g ( x ) ? 2a 有三个零点,∴方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 2a 有三个解,设

设 h ? x? ? ?

1 3 x ? x ,则 h? ? x ? ? ?x2 ?1 ? ? ? x ?1?? x ?1? , x ? 0 , 3

显然在 ? 0,1? 内, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增;在 ?1, ?? ? 内, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递 减,在 ? 0, ?? ? 内 h ? x ? 的最大值为 h ?1? ?

2 , 3

(1)若 m ?

2 ,方程 ※ 无解,即 g ? x ? 没有零点; 3 2 或m ? 0 ,方程※ 有唯一解,即 g ? x ? 有一个零点; 3 2 ,方程 ※ 有两解,即 g ? x ? 有两个零点. 3
f ?b? ? f ? a ? ? 1 恒成立,即 f ?b? ? b ? f ? a ? ? a , b?a

?? x ? 2 x ? 1( x ? 0) ? 1 G( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? x 2 ? 1(0 ? x ? 1) ,画出 G ( x ) 的图像可知: a ? ( ,1) . 2 ? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 1) ?
2

(2)若 m ?

(3)若 0<m ?

考 点:1、函数的基本性质;2、函数与方程;3、含绝对值的函数解析式; 22. (Ⅰ) 2 (Ⅱ)m ?

2 2 2 ?1 ? g ? x ? 没有零点 m ? 有一个零点 m ? 有两个零点(Ⅲ)? , ?? ? 3 3 3 ?4 ?
'

(Ⅲ)对任意 b ? a ? 0 ,

试题分析: (Ⅰ)首先求的函数的导数,通过 f

? x? ? 0 得到增区间,通过 f ? x? ? 0 得
'

亦即 ? ? x ? ? f ? x ? ? x 在 ? 0, ?? ? 上单调递减恒成立, ∵ ? ? x ? ? ln x ?
2

到减区间,利用单调性得到函数的极小值; (Ⅱ)将函数零点转化为 g ? x ? ? 0 的根,进而转

m 1 m ? x ,∴ ? ? ? x ? ? ? 2 ? 1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, x x x

1 3 化为求 h ? x ? ? ? x ? x 的值域; (Ⅲ) 将不等式恒成立转化为函数 ? ? x ? ? f ? x ? ? x 的单调 3
性,借助于导数得到所求参数 m 不等式,通过函数最值求得 m 的取值范围 试题解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

即 m ? ? x ? x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, ∵ ? x2 ? x ? ? ? x ?

? ?

1 1? 1 ? ? ,∴ m ? 4 , 2? 4
?1 ?4 ? ?

2

1 e x?e ? ? 2 , x ? 0 ,显然 x x2 x

所以 m 取值范围是 ? , ?? ? . 考点:1.导数与函数单调性最值;2.方程,函数,不等式的转化;3.函数零点

在 ? 0, e ? 内, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减;在 ? e, ?? ? 内, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,所以 f ? x ? 的极小值为 f ? e ? ? 2 . (Ⅱ) g ? x ? ?

1 m x 1 ? 2 ? ,令 g ? x ? ? 0 ,得 m ? ? x 3 ? x , x x 3 3
4


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