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浅谈高考热点问题


盘学教育研究

2011年第20期

读写算

浅谈高考热点问题:导数的应用
闫飞张生光

(安塞高级中学

陕西安塞71 7400)

高中数学自引入导数之后,面对新知识背景与格局,函数的 单调性,函数的极值,最值,以及在某种条件下恒成立的不等式 和

生活中的实际应用题等向题之间相互依存。相互贯通,又相互 转化的辩证关系成为导数的主打题型,也成为离考命题的主要 热点之一,下来,我就对导数的应用作以探索。 应用一:利用导数求切线斜率。 例l,已知曲线的方程为y=x2+l,求此曲线在点P(1,2)处的 切线斜率,切线方程。 解:由导数公式表及求导法则可得Y,_2 切线方程为y-2=2(x—1)UlJy=2


例4,设x>o,证明,x一÷<sinx<x
解:设f(x)=x-sinx(x≥0)

则f’(x)_卜cos X≥0于是当x≥0时,f(x)为增函数,所以当
x>0时。有“x)>f(0),I!px-sin×>0,故x>sinx,话瞻(x)=sinx—x一

三-,x>O则g’(x)=COS x—l一三-,设h(x)=∞sx—l一÷,则h’(x)
=-sinX+x

.‘.曲线在点P(1、2)处切线斜率K=2×l=2


由已证结果h 7《x)>O .’.h(x)在【0,一】上单调递增 故当x>O时97(x)=h(x)<h(0)=0 故g(x)为增函数,g(X)=g(O);O

点评:在某一点处切线的斜率就是该点对应的导数。 应用二:利用导数求函数的单调区间。 例2:确定函数f(x)=x2—4 x+3在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数. 解:由导数公式表及求导法则可得f’(x)=2 令f’(x)>O解得x>2 因此,函数f(x)在区间(2,+*)内递增。 令f’(x)<O 解得x<2 因此,函数fix)在区间(一一.2)内递减。 点评:确定函数的单调区间,也就是函数在定义域内确定其 导数为正值与负值的区间。 应用三:利用导数求函数的极值与最值。 例3,求函数f(x)=X3-2x2+5在区间【_2 2】上的最值与最小 值。 解:由导数公式表及求导法则可得 f’(x)=3x2-4x 解:f’(x)=O
4 x-4

且pxsinx一争。 从,iliisinX>X--芸
综上,原不等式成立。

点评:用导数法证不等式,需构造函数,再研究函数单调性。
应用五:利用导数解应用题。

例5,假设其种商品的需求量Q是单位P(单位:元)的函数
Q=l

2000—80P,商品的总成本Q是单价P(单位:元)的函数

C=25000+50Q,每件商品需要纳税2元,试求使销售利润达到最 大时的商品单价和最大利润额。 解:设利润为L,由题可得 L=PQ一(25000+50Q)一2Q=一80P2+16160P-64900【P≥O】 L关于P的导数乙7=-160P+16160 解方程L,-O得p=10l。 由于实际问题的唯一极值点就是最值点,所以当商品单价 为lOl元时,销售利润最大,利润最大为L(100)=167060元。 式,再利用导数解决函数的问题,最后要将解决函数问题 回到解决实际问题。
4 5

得:xl=O

x2=一3

根据x,X 2可列下表


点评:用导数解应用题时,首先要根据题意列出函数关系 返 总之,我认为用导数解决问题时,应注意以下难点的突破。 l、关于单调性的定义.条件是充分不必要的。 若f(X)在【a、b】内,f’(x)≥0(或f’(X)≤O),其中有有限个

_2

《一2.o)



(o。!)




——

(!,2)

+ /



3 0

f’(x) f(x)

20 一Il

+ /



极夫值

极小值

由上表可知:极大值点为x=O,此点的极大值为f(0)=5

x使得f 7(X)=O,贝tJf(x)在(一。。+一)内是递增函数或递减函数, 如f(x)=x3有f’(x)=3x2≥O,其中f 7(x)=O,但y=f(x)在【a、b】 内仍是增函数。 2.注意严格区分极值和最值的概念。 极值仅对某一点附近而言,而最值是对整个定义域而言的,


极小值点为x::i4。此点的极小值为f(i4):等


.)



‘,

由上述分析可知:函数f(x)=j,一2工2+5在区间卜2,2】上最
大值是5,最小值是一ll。

点评:若函数y=f(x)在区间【fl、b】上有极值时,即方程f’(X) .此外还须明确。 (1)函数y=f(x)在极值点不一定存在导数,例如f(x)=I =O有解时,求函数y=f(x)在【a、bl上的最大值与最小值可分两步 进行。 (1)求函数y=f(x)在【fl、b】内的极值。 (2)将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较,最大的一 个为最大值.最小的一个为最小值。 若函数y=“x)在区间【a.b】上无极值时,即方程f’(x净O无解 时,只需比较f(a)与f(b)的大小,较大的为函数f(x)在区间【a、b】 上的最大值,较小的为函数f(x)在区间【a、b】上的最小值。 (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区闻内可导, 函数若有唯一的极值。则此极值必是最值。

以上就是我对导数应用的一些题型及解法做了一下小结, 有不足的地方,望同志们能提出宝贵的建议和意见.

应用四:利用导数证明不等式.
?154?

万方数据

浅谈高考热点问题:导数的应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 闫飞, 张生光 安塞高级中学,陕西,安塞,717400 读写算(教育教学研究) DUYUXIE 2011(20)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxs-jyjxyj201120149.aspx


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