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2012高考试题分类汇编:圆锥曲线

时间:2012-06-19


2012 高考试题分类汇编:圆锥曲线 一、选择题
1.【2012 高考新课标文 4】设 F1 F2 是椭圆 E :
x a
2 2

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)


4 5

【答案】C 6.【2012 高考浙江文 8】 如图, 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M, 是双曲线的两顶点。 N 若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是
? y b
2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ?

3a 2



一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)


( D)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

? ?

【答案】C 2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线
2

A.3

B.2

C.

3

D.

2

交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)


(C ) ? ( D) ?

【答案】B 7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若 点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( ) D、 2 5

2

( B) 2 2

【答案】C 3. 【 2012 高 考 山 东 文 11 】 已 知 双 曲 线 C1 :
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2. 若 抛 物 线

A、 2 2 【答案】B

B、 2 3

C、 4

C2 : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为

(A) x ?
2

8 3 3

y

(B) x ?
2

16 3 3

y

(C) x ? 8 y
2

(D) x ? 16 y
2

8.【2012 高考四川文 11】方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ? {?2, 0,1, 2, 3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这
2 2

【答案】D 4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)
x
2

些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ) A、28 条 B、32 条 C、36 条 【答案】B
2

D、48 条

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n , mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( “
2



16 x
2

12 y
2

12 x
2

8 y
2

A、充分不必要条件
?1

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要

(C)

?

?1

(D)

?

条件 【答案】B. 表示的是椭圆”的必要不充分条件。

8

4

12

4

【答案】C 5. 【 2012 高 考 全 国 文 10 】 已 知 F1 、 F2 为 双 曲 线 C : x ? y ? 2 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 C 上 ,
2 2

10.【2012 高考江西文 8】椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ?

F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为

A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

【考点】双曲线的性质。 D.
5-2

16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位 下降 1 米后,水面宽 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 米.

【答案】B 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : C 的方程为 A.
x
2

x a

2 2

-

y b

2 2

-

y

2

=1 B.

x

2

-

y

2

=1 C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1 【答案】 2 6 . 17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?
b 3a

20

5

5

20

80 20

20 80

【答案】A 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线
x a
3 14 14 3 2 4
2 2

-

y

2

=1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于

x 与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 左支的交点, F1 是

5
3 2 4 3

左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?
3 2 4

A

B

C

D

【答案】C. 【解析】根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a 2 ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 ,因此 e ? 故选 C.
3 2

【答案】 .

18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则
2

二 、填空题
13.【2012 高考四川文 15】椭圆
x a
2 3
2 2

| BF | =______。

?

y

2

? 1( a 为定值,且 a ?

5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆

【答案】

3 2

5

相交于点 A 、 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 【答案】 ,
2

19.【2012 高考天津文科 11】已知双曲线 C1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 与双曲线 C 2 :

x

2

?

y

2

? 1 有相

4

16

14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1

2

同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则 a ? 【答案】1,2

b?

⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3 15.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 (5
m 的值为

三、解答题
x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率为 5 ,则

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 (a>b>0),点 P( , )在椭圆上。

▲ .

【答案】2。

(I)求椭圆的离心率。

(II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。

【答案】解: (1)由题设知, a 2 =b 2 ? c 2,e=
1
2 2

c a

,由点 (1, ) 在椭圆上,得 e

?

e b

2 2

?1?

1 a
2

?

c

2

a

a b

2 2

=1 ? b ? c =a b ? a =a b ? b =1 ,∴ c =a ? 1 。
2 2

2

2

2 2

2

2 2

2

由点 ? e ,
? ?

?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2

e a

2 2

?

? 3? ? ? ? 2 ? b
2

? 3? ? ? 2 2 c a ?1 3 ? 2 ? 4 2 2 ?1? ? ?1? ? ? 1 ? a ? 4a ? 4=0 ? a =2 ∴椭圆 4 4 1 4 a a

2

的方程为

x

2

? y ?1。
2

2

(2)由(1)得 F1 (?1, , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) 0) 21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆
? ? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦

∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 2 2 m ? 2m ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 2 ? m ? 2 y1 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 2 m ?2 ? my =x ? 1 ? 1 1

点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1, ) 和 ? e , e 0) 0) (1)求椭圆的方程;

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

?

?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?
6

∴ AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ? = ? my1 ? ? y = m ? 1 ?
2 2 2 2 1 2

m ? 2m ? 2
2

m ?2
2

?

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2

。①

2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

,求直线 AF1 的斜率; 同理, BF2 =

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2
2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 。

2m m ? 1 m ?2
2

。解

2m m ? 1
2

m ?2
2

=

6 2

得 m 2 =2。

∴直线 AF1 的斜率为 ( ii ) 证

1 m

=

2 2

。 ∵ ∥ , ∴
PB PF1 ? BF2 AF1

?F1 A F2 =60°.

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; , 即 (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】





AF1

BF2

PB PF1

?1 ?

BF2 AF1

?1?

PB ? PF1 PF1

?

BF 2 ? AF 1 AF 1



∴ PF1 =

AF1 AF1 ? BF2

BF1 。

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

AF1 AF1 ? BF2

?2

2 ? BF2 。

?

同理。 PF2 =

BF2 AF1 ? BF2 AF1 AF1 ? BF2

?2 ?2

2 ? AF1 。

?

∴ PF1 +PF2 =

2 ? BF2 ?

?

BF2 AF1 ? BF2

?2
2

2 ? AF1 ? 2 2 ?

?

2 AF ?BF2 AF1 ? BF2

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?
2 2

2 2 m ?1 m ?2
= 3 2 2。
2

?

2

?

, AF ?BF =

m ?1 m ?2
2



∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1, ) 和 ? e , e
? ?
6 2

?

3? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

23.【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :
P (0,1) 在 C1 上.

(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

,用待定系数法求解。

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 ( ?1, 0) ,且点

22.【2012 高考安徽文 20】 (本小题满分 13 分) 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(

a ? b ? 0)

的左、 (1)求椭圆 C1 的方程; 点 , (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

右焦点, A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交

【答案】 【解析】 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 ,
x a
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 【答案】
10 3

时,求 k 的值

点 P (0,1) 代入椭圆

?

y b

2 2

? 1 ,得

1 b
2

? 1 ,即 b ? 1 ,

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ,
x
2

所以椭圆 C1 的方程为

? y ? 1.
2

2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,
? x2 2 ? y ?1 ? 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?

因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k 2 ? m 2 ? 1 ? 0



? y2 ? 4x 2 2 2 ,消去 y 并整理得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 。 ? ? y ? kx ? m

因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0 ,
2 2 2

整理得 km ? 1



? ? 2 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ? ? ?m ? 2 ?m ? ? 2

所以直线 l 的方程为 y ?

2 2

x?

2或y??

2 2

x?

2。

25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M : 面积为 8. , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为

2 2

交与不同的两点 M,N

由此知,当 m ? 0 时,
5

| PQ | | ST |

取得最大值
| PQ | | ST |

2 5

5

.
2 5

综上可知,当 m ? ? 和 0 时,
3

取得最大值

5

.

26.【2102 高考福建文 21】 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点
S , T .求
| PQ | | ST | c a

如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

的最大值及取得最大值时 m 的值.
3 2 a ?b
2 2

【答案】(21)(I) e ?

?

?

a

2

?

3 4

??①

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? x ? m,

x

2

4

? y ?1.
2

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上
4m ? 4
2

(II) ?

? 5 x ? 8mx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ?
5

8

某定点。 , 【答案】

5

由 ? ? 64m 2 ? 20(4m 2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .
| PQ |? 4m ? 4 4 2 ? 8 ? 2 ?? m? ? 4 ? 5 ? 5 5 ?
2 2

5?m

2

.

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | | ST | ? 4 5 5?m
2 2

(3 ? m)

?

4 5

?

4 t
2

?

6 t

?1 ,

其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ?
t

1

3 4

,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时,
3 5 3 3

4

5

| PQ | | ST |

取得最大值

2 5

5

.

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 ,
| PQ | | ST | ? 2 5

时,

| PQ | | ST |

取得最大值

2 5

5

.

5?m

2



27.【2012 高考上海文 22】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ?
2 )的直线 l 交 C 于 P 、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证:OP ⊥ OQ
2 2

【答案】

29. 【2012 高考浙江文 22】 本题满分 14 分) 如图, 在直角坐标系 xOy 中, P 点 (1, ) 到抛物线 C:y =2px
2

1

2

28. 【2012 高考新课标文 20】 (本小题满分 12 分) 2 设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 【答案】

(P>0)的准线的距离为 OM 平分。

5 4

。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线

令t ?

m ? m ,0 ? t ?
2
2

1 2 1 2

,则 S ? t (1 ? 2t ) .
2

设 S ? t (1 ? 2t ) , 0 ? t ?

,则 S ? ? 1 ? 6t 2 .
6

由 S ? ? 1 ? 6t 2 ? 0 ,得 t ? (1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 【答案】 【解析】
1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2. p 5 ,得 ? ?1 ? ? ?t ? 1 ? 2 4 ?

6 6 ? 1? ,故 ? ABP 的面积的最大值为 . ? ? 0, ? ,所以 S max ? 6 9 9 ? 2?

30.【2012 高考湖南文 21】 (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为
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1 2

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: 2+y2-4x+2=0 的圆心. x

[中

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 P 的坐标. 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点
2 2 2 2

1 2

的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求

(2)设 A( x1 , y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q (m, m) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ).
? y ? 2px1 ? 由? ,得 ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1 2 ? y2 ? 2px 2 ?
2 1

(2, 0), 从而可设椭圆E的方程为

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知

所以直线的方程为 y ? m ?
? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 ?
2

1 2m

c ? 2, e ?

c a

?

1 2

,? a ? 2c ? 4, b ? a ? c ? 12. 故椭圆E的方程为:
2 2

( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m ? m ? 0 .
2

x
2 2

2

?

y

2

? 1.

由?

?y ? x ?
2
2

,整理得 y ? 2my ? 2m ? m ? 0 ,

16

12

( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为
2

所以 ? ? 4m ? 4m , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m ? m .从而得
l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ), 且 k1k2 ?

1 2

. 由 l1 与圆 c : ( x ? 2) ? y ? 2 相切,得
2 2

AB ? 1 ?

1 k
2

y1 ? y2 ? 1 ? 4m

2

4m ? 4m ,
2

2k1 ? y0 ? k1 x0 k1 ? 1
2

?

2,

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 即
d? 1 ? 2m ? 2m 1 ? 4m
2 2

2 ? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? k12 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0. ? ? 2 ? (2 ? x0 )2 ? 2? k2 ? 2(2? x0 )y0 k2 ? y2 ? 2? 0. 0 ? ?

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 2

AB ? d ? 1 ? 2(m ? m ) ? m ? m .
2 2

同理可得

由 ? ? 4m ? 4m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .
2

2 从而 k1 , k2 是方程 ? (2 ? x0 ) 0 ? 2 ? k 2 ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?

2 ? (2 ? x0 ) ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? 8 ? (2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?



且 k1k2 ?

y0 ? 2
2

(2 ? x2 ) ? 2
2

? 2.

2 2 ? x0 y ? 0 ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5 x0 ? 8 x0 ? 36 ? 0. 解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 y0 ? 2 1 5 ? ? ? (2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

18 5

得 y0 ? ?

57 5

, 它们满足①式,故点P的坐标为

18 ( ?2, 3) ,或 ( ?2, ?3) ,或 ( , 5

18 57 ) ,或 ( , ? ). 5 5 5

57

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方 程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c, a, b 即得椭圆 E 的方程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为
1 2

,得出关于点 P 坐标的一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另

一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】 (本小题满分 14 分) 2 2 设 A 是单位圆 x +y =1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在 直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对任意的 K>0,都有 PQ⊥PH?若存在,求 m 的值; 若不存在,请说明理由。 21. 【答案】

【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求 解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问 题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推 理能力有较高的要求. 32.【2012 高考全国文 22】(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? r 2 (r ? 0) 有一个公共点 A , 且在点 A 处两
2

1

2

曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。 【答案】

33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图,动圆 C1 : x 2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3,
x
2

与椭圆 C2 :

9

B, D 点 ? y ? 1 相交于 A, C, 四点, A1 , A2
2

分别为 C2 的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并 求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 【答案】

35.【2012 高考四川文 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B (1, 0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之积为 4,设动

y

M

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函数方程思想、 转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 已知三点 O (0,0)A , (-2,1)B , (2,1)曲线 C 上任意一点 M , (x,y) 满足 (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是(0,-1) ,l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。 【答案】 【解析】 点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

A

O B

x

(Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 的取值范围。 【答案】 【解析】

| PR | | PQ |

【答案】 (Ⅰ)

x

2

+

y

2

=1(Ⅱ)

16 10 9

20

4

36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为
F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2

的中点分别为

B1 , B2 , 且△ AB1 B2 是面积为 4 的直角三

角形。Ⅰ) ( 求该椭圆的离心率和标准方程; ( Ⅱ ) 过 B1 作 直 线 交 椭 圆 于 P, Q ,
PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积

已知椭圆 C1 :

x

2

4

? y ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。
2

(1)求椭圆 C2 的方程;
??? ? ??? ? (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

【答案】

37.【2012 高考陕西文 20】 (本小题满分 13 分)


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