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2012届合肥市高三第二次模拟(二模)理科数学试题及答案


合肥市 2012 年高三第二次教学质量检测数学试题(理)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.复数 z ? 2 ? i (其中为 i 虚数单位) ,则 z 的模是( ) A.3 B.2 C.

5

D. 3

2.双曲线

/>
x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( ) 5 4
B. (2, 0) 和 (?2, 0) C.

A. (3, 0) 和 (?3, 0)

(0,3) 和 (0, ?3)

D.

(0, 2) 和

(0, ?2)
3.已知命题: p 所有的素数都是奇数,则命题 ? p 是( A. 所有的素数都不是奇数 个素数是奇数 ) B. 有些的素数是奇数 C.存在一个素数不是奇数 D. 存在一

4. 在 ?ABC 中, AB ? 4, ?ABC ? 30?, D 是边 BC 上的一点,且 AD AB ? AD AC ,则

AD AB 的值等于(



A.0 B.4 C.8 D.-4 5.若正四棱锥的正视图如右图所示,则该正四棱锥的体积为( ) A.

2

2

4 2 3

B.

4 3 3

C.

2 2 3

D.

2 3 3

6.执行如图所示程序框图,则输出的结果为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 7 已知集合 A ? {( x, y) || x ? 2 | ? | y ? 3| ? 1} ,

)

1 1 第5题
2

集合 B ? {? x, y ? | x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0, D ? E ? 4F ? 0} ,
2 2 2

开始

若集合 A、B 恒满足“A ? B” ,则集合 B 中的点所形成的几何 图形面积的最小值是( ) A.

i ? 1, S ? 1, A ? 2
i ? i?1
S ? S ? A

2 ? 2

B. ?

C.

1 ? 2

D. 2?

8.在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 若A?

?
3

, b ? 1, ?ABC 的面积为

3 ,则 a 的值为( ) 2
C.

A ? 1?

1 A

A. 1

B. 2

3 2

D.

3



i ? 2012 ?

输出S 结束

第6题

9.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了 50 台完全相 同的校车, 准备发放给 10 所学校, 每所学校至少 2 台, 则不同的发放方案的种数有 ( ) (提
m 示: Cn 9 A. C41

表示组合数)
9 B. C38 9 C. C40 9 D. C39

) ,且当 x ? [2,3] 10.定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足对 ?x ? R ,有 f (x ? 2) ? f ( x) ? f (1
(0, +?) 时 f ( x) ? ?2 x2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? loga ( x ? 1) 在 上至少有三个零点,
则 a 的取值范围为( A. (0, )

3 ) 3

B. (0,

2 ) 2

C。 (0,

5 ). 5

D. (0,

6 ) 6

第二卷(满分 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应的位置) 11. 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 } , A 有满足题意的集合 B 的个数有 _____. 12.在极坐标系中,点 (1, 13.若 sin(

B ? {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ,

, a100} , 则所

?
2

) 到直线 2? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 的距离为 _____ .

?

1 ? ? ? ) ? ,则 sin( ? 2? ) ? __ 3 3 6

14.设函数 y ?

2x2 ? x ? n n?2 ( x ? R, x ? , n ? N * ) 的最大值和最小值分别为 an 和 bn ,且 2 x ? x ?1 3

cn ? an ? bn ? anbn ?15 , Sn ?| c1 | ? | c2 | ? | c3 | ?

? | cn |? ______.

2 2 15.函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?1,0) ? (0,1] ,其图像上任一点 P( x, y) 满足 x ? y ? 1。

①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数; ②函数 y ? f ( x) 可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③函数 y ? f ( x) 可以是奇函数; ④函数 y ? f ( x) 如果是偶函数,则值域是 [?1,0)或(0,1] ; ⑤函数 y ? f ( x) 值域是 (?1,1) ,则一定是奇函数。 其中正确的命题的序号是_______(填上所有正确的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡的指定区域)

16.(本题满分 12 分) 将函数 y ? sin ? x cos ? ? cos ? x sin ? (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像上各点的横坐标伸长为原

? 个单位, 得到函数 y ? f ( x) 的图像。 若函数 y ? f ( x) 6 ? ? 的图像过点 ( , 0) ,且相邻两对称轴间的距离为 。 6 2 (1)求 ? , ? 值;
来的 2 倍 (纵坐标不变) , 再向左平移 (2)若锐角 ?ABC 中

A、B、C 成等差数列,求 f ( A) 的取值范围。

17. (本题满分 12 分) 食品安全已引起社会的高度关注, 卫生监督部门加大了对食品质量的监测。 已知某种食品的 合格率为 0.9 .现有 8 盒该种食品,质监部门对其逐一检测。 (1) 求 8 盒中恰有 4 盒合格的概率(保留三位有效数字) (2) 设检测合格的盒数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望 E? . 18. (本题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边 长为 1 的正方形。且 PA ? 面 ABCD. (1) 求证:PC ? BD (2) 过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平 面交 PC 于点 E,且三棱锥 E-BCD 的体积取到最大值
z

P

y A E D

(i ) 求此时四棱锥 E-ABCD 的高; (ii ) 求二面角 A-DE-B 的余弦值的大
小。
x
B

M N C 第18题

19.(本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 5, n ? 2 时, an?1 ? 5an ? 6an?1 (1)证明:数列 {an?1 ? 3an } 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式 ; (2)试比较 an 与 2n ? 1 的大小,并说明理由。
2

20. (本题满分 12 分)
' ' 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, 其导数 f ( x) 满足 0 ? f ( x) ? 1 , 常数 ? 为方程 f ( x) ? x

的实数根。 (1)求证:当 x ? ? 时,总有 x ? f ( x) 成立; (2)对任意 x1、x2 ,若满足 | x1 ? ? |? 1,| x2 ? ? |? 1, 求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2.

21. (本题满分 13 分) 已知 ?ABC 的三边长 | AB |? 13,| BC ? 动点 M 满足 CM ? ? CA? ? CB | 4,|AC ? | 1, ,且

?? ?

1 4

(1) 求 | CM | 最小值, 并指出此时 CM 与
y

CA、 CB 的夹角
( 2 ) 是 否 存 在 两 定 点 F1、F2 使 指 || MF1 | ? | MF2 || 恒为常数 k ?若存在, 出常数 k 的值,若不存在,说明理由。
C

A x

第21题

B

合肥市 2012 年高三第二次教学质量检测数 学试题(理科)答案详解
1-5CACBD 6-10ABDDA 11.128 12.

5 5
7 9
2 ? ?10n ? 2n (n ? 3) 2 ? ?2n ? 10n ? 2(n ? 4)

13. ?

14. Sn = ?

15.③④⑤ 16. 解:(1)由题得: f ( x) ? sin( ? x ? 相邻两对称轴间的距离为

? 2

1 2

??
12

??)

?T ? ? 2? ?? ? ?4 T

? f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

??)

又函数 y ? f ( x) 的图像过点 (

?
6

, 0)

? f (

?
6

)?0

?

2? ? ? ? k? , k ? Z 3

又0 ?? ??

?? ?

2? 3

(2)由(1)知: f ( x) ? sin(2 A ?

?
3

)

A、B、C 成等差数列

?B ?

?
3

又 ?ABC 是锐角三角形

?

?
6

? A?

?
?
3 2 ? 2? 3

?0 ? 2 A ?

? 0 ? sin(2 A ? ) ? 1 3

?

? f ( A) 的取值范围为: (0,1]
4 17. 解: (1) 记 “8 盒中恰有 4 盒合格” 为事件 A ,则 P( A) ? C8 ? 0.94 ? (1 ? 0.9)4 ? 0.00459

(2)有题可知: 随机变量 ?

B(8, 0.9) 则 ? 的数学期望 E? ? 8 ? 0.9 ? 7.2

18. 解:(1)连接 AC ,则 AC ? BD PA ? 面 ABCD.

? PA ? BD

? BD ? 平面PAC

? PC ? BD
(2) (i ) 设 AC与BD的交点M , 连接 EM ,过点 E 作 EN ? AC 于 N ,则 EN ? 面ABCD ,

EN 是三棱锥 E-BCD 的高
由题知: ?CEM 是直角三角形,其中 ?CEM ?

?
2

设 CN ? x ,则 MN ?

2 2 ? x ,从而在直角 ?CEM 中有: EN 2 ? x( ? x) 2 2

? 当且仅当 x ?
最大值

2 2 时, EN 取得最大值,最大值为: ,此时三棱锥 E-BCD 的体积取到 4 4

? 此时四棱锥 E-ABCD 的高为:

2 4
z P

(ii ) 以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz , 如图所
示,则 A(0, 0, 0) ; B(1, 0, 0) ; C (1,1, 0) ; D(0,1, 0)

y A D E M B N C 第18题

3 3 2 由 (i ) 知: E ( , , ), P(0, 0, 2) 4 4 4

x

3 3 2 ) ? PC ? (1,1, ? 2) , AD ? (0,1,0) , AE ? ( , , 4 4 4

?y ? 0 ? D ?0 ?mA ? 设平面 ADE 的法向量为: 则? ,即 ? 3 , 令:z ? 1 m ? ( x, y, z) , 3 2 z?0 E ?0 ? ? x? y? ?mA ?4 4 4
则x??

2 ,y?0 3 2 , 0,1) 3

? 平面 ADE 的一个法向量为: m ? (?

PC ? (1,1, ? 2) 是平面 BDE 的一个法向量
? cos ? PC , m ?? 2 22 11
当 n ? 2 时, an?1 ? 5an ? 6an?1

19. 解: (1)证明:

?an?1 ? 3an ? 2an ? 6an?1 ? 2(an ? 3an?1 )
又 a1 ? 1, a2 ? 5

? a2 ? 3a1 ? 2 ? 0

? 数列 {an?1 ? 3an } 是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列
?an?1 ? 3an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
? an ?1 3 a ?1 ? ( n ? 1) n ?1 2 2 2n

3 3 ?a ? ? 1? 是以 为首项以 为公比的等比数列 ? 数列 ? n n 2 2 ?2 ?

? 数列 {an } 的通项公式为: an ? 3n ? 2n
(2)由(1)知:当 n ? 1 时 a1 ? 1, 2n2 ?1 ? 3

?an ? 2n2 ? 1
当 n ? 2 时 a2 ? 5, 2n2 ? 1 ? 9

?an ? 2n2 ? 1
当 n ? 3 时 a3 ? 19, 2n2 ? 1 ? 19

?an ? 2n2 ? 1


n?4
n 1 2 ? Cn ? 2n ? 1 ? 2Cn ? 4Cn ? 2n2 ?1



n 0 n 1 n?1 2 n ?2 an ? (2+1 ) ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? Cn 2 ?

?an ? 2n2 ? 1
综上:当 n ? 1或2时 an ? 2n2 ? 1 ;当 n ? 3时 an ? 2n2 ? 1 ;当 n ? 4 时 an ? 2n2 ? 1
' ' 20. (1)证明:令 g ( x) ? x ? f ( x) 则 g ( x) ? 1 ? f ( x)

0 ? f ' ( x) ? 1

? g ' ( x) ? 1 ? f ' ( x) ? 0 ? 函数 g ( x) ? x ? f ( x) 为 R 增函数 ? 当 x ? ? 时 g ( x) ? x ? f ( x) ? ? ? f (? ) ? 0 ? 当 x ? ? 时,总有 x ? f ( x) 成立

(2)证明: | x1 ? ? |? 1,| x2 ? ? |? 1

?? ?1 ? x1 ? ? ? 1;? ?1 ? x2 ? ? ? 1
又 0 ? f ' ( x) ? 1

? f ( x) 在 R 是增函数

? f (? ?1) ? f ( x1 ) ? f (? ? 1); f (? ?1) ? f ( x2 ) ? f (? ? 1) ? f (? ?1) ? f (? ? 1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ? 1) ? f (? ?1) ? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (? ? 1) ? f (? ?1)
由(1)知: f (? ? 1) ? ? ? 1 ; ? f (? ? 1) ? ?(? ? 1)

? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (? ? 1) ? f (? ?1) ? 2

? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2.
21. 解: (1)由余弦定理得: cos ? CA, CB ??

1 2

将 CM ? ?CA ? ?CB, 两边分别平方得: | CM |2 ? ? 2 ?16? 2 ? 4??

? | CM |2 ? ? 2 ?16? 2 ? 4?? ? 12?? ? 3
1 1 CB 的 ? 当且仅当 ? ? 1, ? ? 或? ? -1, ? ? - 时, | CM | 最小值为 3 ;此时 CM 与 CA、 4 4 ? 5? 夹角 或 6 6 ( 2 ) 以 顶 点 C 为 坐 标 原 点 , 以 ?C 的 平 分 线 为 x 轴 平 面 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 则

C (0, 0); A(

3 1 , ); B(2 3, ?2) 2 2 3 1 , ); CB ? (2 3, ?2) 2 2

设 M ( x, y ) 从而 CM ? ( x, y); CA ? (

?CM ? ?CA ? ?CB
? 3 x? ? ? 2 3? ? ? 2 ?? ? y ? 1 ? ? 2? ? ? 2

? 结合?? ?

1 x2 y2 得: ?1 4 3 1

?动点M 轨迹是以F ( );F2 (2,0)为焦点,以实轴长为2 3的双曲线 1 -2,0
? 存在两定点 F1、F2 使 || MF1 | ? | MF2 || 恒为常数 k , k =2 3

y A x C

第21题

B


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