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[831] 高等代数

时间:2015-09-22


2016 年数学系硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称:高等代数
一、考试要求 (一)多项式 1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k 重因式,重因 式的概念。了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等 对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念。 2.掌握整除的性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式的判别与 性质,不可约多项式的判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式 定理、代数基本定理,Vieta 定理,高斯引理,Eisenstein 判别定理,对称多项 式基本定理。 3.掌握 f ( x) 无重因式的充要条件, f ( x) ? g ( x) 的判别条件,Lagrange 插值 公式,复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式的有理根 范围。 4.掌握辗转相除法, 综合除法。掌握化对称多项式为初等对称多项式的多项 式的方法。 (二)行列式 1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代数余子式的概念。 2.掌握行列式的性质,按行、列展开定理,Cramer 法则,Laplace 定理,行 列式乘法公式。 3.会用行列式的性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式的基本方法。 (三)线性方程组 1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组的秩,矩阵的秩, 基础解系,解空间等概念。 2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。 3.掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。 (四)矩阵

考试科目代码:[831]

1.理解矩阵的概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称 阵的概念及其性质。 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律。 3.理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴 随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。 4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价的概念,会用 初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。 5.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。 (五)二次型 1.二次型的概念及二次型的矩阵表示,了解二次型秩的概念,掌握二次型的 标准形、规范形的概念及慣性定律。 2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。 3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。 (六)线性空间 1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子 空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。 2.掌握基扩张定理,维数公式,掌握直和的充要条件。 3.会求基底,维数,坐标,过渡矩阵。 (七)线性变换 1.理解线性变换,特征值,特征向量,特征多项式,特征子空间,不变子空 间,线性变换的矩阵,相似变换,相似矩阵,线性变换的值域与核,Jardan 标 准形,最小多项式等概念。 2.掌握线性变换的性质,相似矩阵的性质,特征值、特征向量的性质,核空 间与值域的性质, 不变子空间的性质。掌握 Hamilton-Cayley 定理及将线性空间 V 分解成 A-不变子空间的条件和方法,了解最小多项式理论。 3.掌握线性变换的矩阵表示方法,求线性变换的特征值、特征向量的方法, 矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法,会 用各种特殊子空间解决相关问题。 (八) ? ? 矩阵 1.理解 ? ? 矩阵、可逆 ? ? 矩阵、 ? ? 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因

子等概念,了解 ? ? 矩阵的标准形。 2.掌握 ? ? 矩阵可逆的充要条件, ? ? 矩阵等价的充要条件,数字矩阵相似 的充要条件,了解 Jordan 标准形的理论推导。 3.会求 ? ? 矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的 Jordan 标准形。 (九)欧几里得空间 1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离,度量矩阵,标准正交基、 正交补,正交变换,正交阵,对称变换,同构等概念。 2.掌握 Schmidt 正交化方法。掌握标准正交基的性质,正交变换的性质,正 交阵的性质,对称变换的性质及标准形。 3.掌握实对称阵的特征值、 特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵 相似(合同)对角化。 二、考试内容 注:本文中“章” 、 “节”均指《高等代数》 (北大数学系几何与代数教研室, 高等教育出版社,第三版,2003 年)中的“章” 、 “节” 1) 多项式(第一章 1-11 节) 2) 行列式(第二章 1-8 节) 3) 线性方程组(第三章 1-6 节) 4) 矩阵(第四章 1-7 节) 5) 二次型(第五章 1-4 节) 6) 线性空间(第六章 1-8 节) 7) 线性变换(第七章 1-9 节) 8) ? ? 矩阵(第八章 1-6 节) 9) 欧几里得空间(第九章 1-6 节) 三、试卷结构 1) 考试时间:180 分钟,满分:150 分 2) 题型结构

a: 填空与选择 20%左右 b: 解答题(包括计算题和证明题) 80%左右 四、参考书目 《高等代数》 ,北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,2003 年, 第三版


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