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2012哈三中三模理科数学

时间:2012-05-16


2012 届四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3) 请按照题号

顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 已知复数 z1 ? 1 ? 3i , z 2 ? 2 3 ? 2i ,则 z1 ? z 2 等于 A. 8 B. ? 8 C. 8i D. ? 8i 高考资源 2. 若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 3.

3 2

3 2

3 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

B. f (?1) ? f (? ) ? f (2)

已 知 角 2? 的 顶 点 在 原 点 , 始 边 与 x 轴 非 负 半 轴 重 合 , 终 边 过 ? ? ?

2? ? ?0, 2? ? 则 tan? ?
A.

? 1 3? ?, , ? ? 2 2 ?

? 3

B.

3

C.

4. 已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 及其内部一动点,若 ?PAB , ?PBC 面积均不大于 1 , 则 AP ? BP 取值范围是 A. ? , ? ?2 2 ?

3 3

D. ?

3 3

?1 3 ?

B. ?? 1,2?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ?? 1,1?

5. 已知某几何体的正视图和侧视图均为边长为 1 的正方形, 则这个几何体的体积不可能是 A. 6.

1 2

B.

? 4

C. 1

D.

? 3

同时抛掷三颗骰子一次,设 A ? “三个点数都不相同”, B ? “至少有一个 6 点”则

P( B | A) 为
A.

1 2

B.

60 91

C.

5 18

D.

91 216
开始

7. 右面的程序框图表示求式子

2 × 5 × 11 × 23 × 47 × 95

3

3

3

3

3

3

S=1,i =2 否 是 S = S×i
3

的值, 则判断框内可以填的条件为 A. i ? 90 ? B. i ? 100 ? C. i ? 200 ? D. i ? 300 ? 8. 下列命题中正确的是 A. 函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 是奇函数 B. 函数 y ? 2 sin(
输出 S 结束

i =2 i + 1

?

? ?? ? 2 x) 在区间 ?0, ? 上是单调递增的 6 ? 3?

C. 函数 y ? 2 sin(

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值是 ? 1 3 6

?

D. 函数 y ? sin ?x ? cos?x 是最小正周期为 2 的奇函数

9. 已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲 a2 b2

线交于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. ?1,1 ?

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ?1 ?

? ? ?

? 2 ,?? ? ? 2 ?

C. 1,1 ?

?

2

?

D. 1 ?

?

2 ,??

?

10. 如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y ?

1 ?x ? 0? 图象 x

下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为 A.

ln 2 2

1 ? ln 2 2 1 ? ln 2 C. 2 2 ? ln 2 D. 2
B. 11. 已 知 抛 物 线 C : y ? ax (a ? 0) 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为
2

1 , 且 C 上的两点 4

1 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 关于直线 y ? x ? m 对称, 并且 x1 x 2 ? ? , 那么 m = 2 3 5 A. B. C. 2 D. 3 2 2 ?k x ? 1, x ? 0, 12. 已知函数 f ( x ) ? ? 则下列关于函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数的判断正 ? ln x, x ? 0 .
确的是 A. 当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 B. 当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点 C. 无论 k 为何值,均有 2 个零点 D. 无论 k 为何值,均有 4 个零点

2012 年四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. )
1 ? 1 ? ? 3x 3 ? x 2 ? 展开式的 x 2 项的系数是_____________ 13. 求 ? ? ? ? 4

14. 已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上, PO ? 平面 ABC , 2 AC ? 3 AB , 且 若四面体 P ? ABC 的体积 为

3 ,则该球的体积为_____________ 2

? x ? 0, ? 15. 已知 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? 3 y 的最大值是____________ ? 2 x ? y ? 5 ? 0. ?

16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ?

1 c ,当 2

tan( A ? B) 取最大值时,角 C 的值为
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 满足 S n ? n 2 a n ? n 2 (n ? 1) , 且 a1 ? (Ⅰ) 令 bn ?

1 . 2

n ?1 S n , 证明: bn ? bn?1 ? n(n ? 2) ; n

(Ⅱ) 求 ?an ?的通项公式.

18. (本小题满分 12 分) 口袋里装有 7 个大小相同的小球, 其中三个标有数字 1, 两个标有数字 2, 一个标有数字 3, 一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球, 记第一次与第 二次取到小球上的数字之和为 ? . 当 ? 为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与 第二次取到小球上的数字之和为? . 求? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ) 求证:平面 AEC ? 平面 PDB ; (Ⅱ) 当 PD ?

2 AB ,且直线 AE 与平面 PBD 成角为 45? 时,确定点 E 的位置,即

P

求出

PE 的值. EB

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中, 已知 A1 ? 2 ,0 , A2
2

?

? ?

2 ,0 , P?x, y ?, M ?x,1?, N ?x,?2? , 若实数 ? 使

?

得 ? OM ? ON ? A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点). (Ⅰ) 求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型;[来源:学科网] (Ⅱ) 当 ? ?

2 时,是否存在过点 B?0,2? 的直线 l 与(Ⅰ)中 P 点的轨迹交于不同的两 2
S ?OBE ? 1 . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围, S ?EOF

点 E, F ( E 在 B, F 之间) ,且[ 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x
2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (Ⅱ) 求函数 g (x) 在区间 ?1, e ? 上的最小值; (III) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x ? 2 ln x ,
2

1 3n 2 ? n ? 2 ? (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . 证明: ? n(n ? 1) k ?2 k ? f (k )
n

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , ?ABC 内 接 于 ⊙ O , AB 是 ⊙ O 的 直 径 , PA 是 过 点 A 的 直 线 , 且

?PAC ? ?ABC .
(Ⅰ) 求证: PA 是⊙ O 的切线; (Ⅱ) 如 果 弦 CD 交 AB 于 点 E ,
P C

AC ? 8 ,
A E

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ?BCE .

.

O

B

D

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P( 交于不同的两点 M , N . (Ⅰ) 写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ) 求

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相 2 2

1 1 ? PM PN

的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

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2012 年四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D A 6 7 B 8 C 9 C 10 C 11 A 12 B

二、填空题: 13. 1 三、解答题: 17. (Ⅰ) S n ? n ?S n ? S n ?1 ? ? n ?n ? 1? ………………………………………
2 2

14. 4 3?

15. 10

16.

? 2
2分

n n ?1 S n?1 ? Sn ? n n ?1 n
bn ? bn?1 ? n(n ? 2)
………………………………………… 6分

(Ⅱ) b1 ? 1 , bn ? bn ?1 ? n , bn ?1 ? bn ? 2 ? n ? 1 , ? , b2 ? b1 ? 2 累加得

n2 ? n bn ? 2

………………………………………

10 分

? Sn ?

n2 2n ? 1 , a n ? S n ? S n ?1 ? ?n ? 2? …………………… 2 2

11 分

经检验 a1 ?

1 2n ? 1 2n ? 1 符合 a n ? ,? a n ? 2 2 2

……………

12 分

18. (Ⅰ)

? 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8
1 1 C3C3 9 ? 1 1 C 7 C 7 49 1 1 C 3 C 2 ? 2 12 ? 1 1 49 C7 C7

P ?? ? 2 ? ?

P ?? ? 3? ?

P?? ? 4 ? ?

1 1 1 1 C 2 C 2 C 3 C1 ? 2 10 ? ? 1 1 1 1 49 C7 C7 C7 C7

P?? ? 5? ?

1 1 1 1 C 2 C1 ? 2 C3 C1 ? 2 10 ? ? 1 1 1 1 49 C7 C7 C7 C7

P?? ? 6? ?

1 1 1 1 C 2 C1 ? 2 C1 C1 5 ? 1 1 ? 1 1 C7 C7 C 7 C 7 49

P?? ? 7 ? ?

2 2 ? 1 C C 7 49
1 7

P?? ? 8? ?

1 1 ? 1 C C7 49
1 7

……………………………

6分

(Ⅱ)

? 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,
C 32 1 ? C 72 7
1 1 C3 ? C 2 5 ? 2 21 C7

…………………………

7分

P?? ? 2? ? P?? ? 5? ?

P?? ? 3? ? P ?? ? 6 ? ?

1 1 C3 C 2 2 ? 7 C 72 1 C2 2 ? 2 C 7 21

P?? ? 4? ?

1 2 C3 ? C 2 4 ? 2 21 C7

P?? ? 7 ? ?

1 21
7

?
P

2

3

4

5

6

1 7

2 7

4 21

5 21

2 21

1 21
11 分 12 分

……………………………

E ?? ? ? 4
19. (Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O ,连接 OE

……………………………

? PD ? 平 ABCD ,? PD ? AC ,? BD ? AC 面
, ? AC ? 平 PBD 面 AC ? 平 AEC ,? 平 ACE ? 平 PBD ………………………… 6 分 面 面 面 (Ⅱ)(方法一) ? AO ? PBD 又

? ?AEO ? PE ?1 EB

?
4

,设 PD ?

2 AB ? 2 ,则 OE ? 1



………………………… 12 分

(方法二) 以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DP 为 z 轴建立空间直 角坐标系,如图 平面 BDE 法向量为 n ? ?1,?1,0 ? ,
P

z

E

设 PD ?

2 AB ? 2 , E 2? , 2? ,2 ? 2?

?

?
x
A

D
O

C

y

PB ? ( 2 , 2 ,?2) ,令 PE ? ? PB ,

B

则 AE ?

?

2? ? 2 , 2? ,2 ? 2? ,

?

| AE ? n | AE n

?

2 2 ,

得? ?

PE 1 或 ? ? 1 (舍) , ? 1 ,……………… 12 分 BE 2

20. (Ⅰ) 化简得: 1 ? ? x ? y ? 2 1 ? ?
2 2 2

?

?

?

2

?

① ? ? ?1 时方程为 y ? 0 轨迹为一条直线 ② ? ? 0 时方程为 x ? y ? 2 轨迹为圆
2 2

③ ? ? ?? 1,0? ? ?0,1? 时方程为

x2 y2 ? ? 1 轨迹为椭圆 2 2 1 ? ?2

?

?

x2 y2 ? ? 1 轨迹为双曲线. ④ ? ? ?? ?,?1? ? ?1,?? ? 时方程为 2 2 ?2 ? 1

?

?

……………………………… 6 分 (Ⅱ)? ? ?

x2 2 ? y2 ? 1. ,? P 点轨迹方程为 2 2

S ?OBE : S ?OBF ? x1 : x 2
由已知得

x1 S ?OBE 1 x1 ? 1 ,? ? ? 1. ? 1 ,则 x 2 ? x1 2 x2 S ?OBF ? S ?OBE

设直线 EF 直线方程为 y ? kx ? 2 ,联立方程可得: 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 8kx ? 6 ? 0

? ? 0,? k 2 ?

x1 x 3 ? 1 , ? x1 , x 2 同号?? x2 x2 2
………………………… 8 分

x1 ? x2 ? ?
x 设 1 ?m x2

8k 6 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
,则

?x1 ? x2 ?2
x1 x 2

?m ? 1?2 ?
m

32 k 2 ? 9? ? ? ? 4, ? 2 3 ? 6k ? 2?

? 6 3 30 ? ? 3 30 6? 3 27 ? ? ?? ?. , ,? ,k ?? .…………………… 12 分 ? k2 ? ? 2 10 ? ? 10 2 ? 2 10 ? ? ? ?
21. (Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3x ? ln x , g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

x ? 1或 x ?
2

1 1 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,??) ……………… 3 分 2 2

(Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a) g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ? ? ? ?0 x x x
当 a ? 1, x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。

g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a
当 a ? e , x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a
2

? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

1 2 ( x ? 1) , 4
2 ? x2 ?0 2x

? x ? ?2,??? ,

h?( x) ?

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4



ln x ?
?

1 2 ( x ? 1) 4

1 4 1 1 ? ? 2( ? ) ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1

k ? f (k ) ? ln k , ?

n 1 1 1 1 1 ?? ? ? ?? ? ln 2 ln 3 ln n k ? 2 k ? f (k ) k ? 2 ln k

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? )? 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1
3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) n(n ? 1)
……………………………………… 12 分

22. (Ⅰ)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

,

?CAB ? ?ABC ?

?
2



? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线 …………………… 4 分
(Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k BD 3m ? ? BD ? 4 5 ? ?AEC ∽ ?DEB ? 8 6k BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 5 ? ? ( ) 2 ? m ? 2, k ? ? ?CEB ∽ ?AED ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ? ? ? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ? AB 10 5

? ? ? ? ?B C E ?B A D s i n B C E ?

2 5 …………………… 10 分 5

? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 23. (Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ? ? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 (Ⅱ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?

(t 为参数)…………………………………… 4 分

(t 为参数)代入 x 2 ? y 2 ? 1 ,得

t 2 ? ( 3 cos? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1 t 2 2 6
………10 分 24.(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ? , a, b ? M ,

?

2, 3

?



? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1

ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b
(Ⅱ) h ?

……………………………………… 4 分

2 a

,h ?

a?b ab

,h ?

2 b

h3 ?

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab ? ? ?8 ab ab ab

h ? ?2,?? ? ………………………………………… 10 分

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