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安徽省2014届高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编11 数列

时间:2013-11-24


安徽省 2014 届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 11:数列
一、选择题 1 . (安徽省江南十校 2014 届新高三摸底联考数学理试题) 数列 三角形数阵,设 2013 位于数阵中第 s 行,第 t 列,则 s+t= 排出如图所示的

( A.61 【答案】B B.62 C.63 D.64


r />2 . (安徽省 示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)已知数列{ an }的前 n 项和 S n=n2-n,正 项等比数列{ bn }中, 则 A.n-1 B.2n-1 C.n-2 D.n ( )

【答案】D 法一:因为 a3 ? S3 ? S 2 ? 4 ,所以 b2 ? a3 ? 4 , log 2 b2 ? log 2 4 ? 2 ,验证可知 A,B,C 均不 符合,故答案为 D.

3 . (安徽省望江二中 2014 届高三复习班上学期第一次月考数学(理)试题)设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,公差 d ? ?2 ,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? A. 18 【答案】B 4 . 安 徽 省 望 江 四 中 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 ?an ? 为 等 差 数 列 , 若 ( B. 20 D. 24 C. 22 ( )

a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为
A.





3 2

B. ? 因 为

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【 答 案 】 D

?an ?

为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? , 所 以 , a5 ?

8 ? , 3

cos(a3 ? a7 ) ? cos(2a5 ) ? cos

16 1 ? ?? 3 2

5 . (安徽省池 州一中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数

1

1 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? 3

( D. 5
3



A. 2

B. 3

C. 4

1 【答案】 f ?( x) ? x2 ? 8 x ? 6 .因为 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,所以 a1 、 a4025 是方程
x 2 ? 8 x ? 6 ? 0 的两实数根,则 a1 ? a4025 ? 8 .而 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a4025 ? 8 ? 2 a 2013 ? 8 ,即 a2013 ? 4 ,从而

log2 a 2013 ? 2 ,选





A. 6 . (安徽省淮北一中 2014 届高三第三次月考数学理试题)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 ? 则公比 q 的值为 A.1 B. ? (

?

3

0

4 xdx ,


1 2

C.1 或 ?

1 2

D. ?1 或 ?

1 2

【答案】C 7 . (安徽省望江中学 2014 届高三第二次月考数学(理)试题)已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇 函数,数列{ an }是 等差数列, a3 >0, 则 f ?a1 ? ? f ?a3 ? ? f ?a5 ? 的值 A.恒为正数 C.恒为 0 【答案】A 二、填空题 B.恒为负数 D.可以为正数也可以为负数 ( )

8 . (安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学理试题)数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos 其前 n 项和为 Sn ,则 S2013 ? _______.

n? , 2

【答案】1006

a4 n?1 ? ? 4n ? 1? cos

? 4n ? 1? ?
2

? ? 4n ? 1? cos

?
2

?0

a4 n ? 2 ? ? 4n ? 2 ? cos a4 n?3 ? ? 4n ? 3? cos a4 n? 4 ? ? 4n ? 4 ? cos

? 4n ? 2 ? ?
2

? ? 4n ? 2 ? cos ? ? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? 3? cos 3? ?0 2

? 4n ? 3 ? ?
2

? 4n ? 4 ? ?
2

? ? 4n ? 4 ? cos 2? ? 4n ? 4

2012 ? 2 ? a2013 ? 1006 ? 0 ? 1006 . 4 9 . (安徽省淮北一中 2014 届高三第三次月考数学理试题)公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若
所以 a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? 2 ,于是 S 2013 ?

a1 ? 1 , an ? 51, 则 n ? d 的最小值等于__________.
【答案】16
2

10. (安徽省寿县第一中学 2014 届高三上学期第二次月考数学 (理) (实验 A 班月考) 设等差数列 {an } 试卷 ) 的公差不为 0 ,其前 n 项和是 Sn .若 S2 ? S3 , Sk ? 0 ,则 k ? ______. 【答案】5 三、解答题 11 . 安 徽 省 示 范 高 中 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 联 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 数 列 { a } ( n 中, (I)证明数列 是等比数列,并求数列{ an }的通项公式; ,求数列 的前 n 项和 Sn.

(II)记

3

2014 届安徽省示范高中高三第一次联
2 【答案】解:(Ⅰ)由题意知: an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 1 ? ( an ? 1) 2 ,

∴ lg(an ?1 ? 1) ? 2 lg( an ? 1) ; 又 a1 ? 2 ,∴数列 ?lg(1 ? an )? 是以 lg 3 为首项,2 为公比的等比数列 ∴ lg(an ? 1) ? 2n ?1 lg 3 ,即 an ? 1 ? 3 ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3
2n?1 2n?1

;

?1;

2 (Ⅱ) 由 an ?1 ? an ? 2an 两 边 同 取 倒 数 可 知 ,

?1 2 1 ? 1 1 2 ?? ? ,所以 ? ? ? ,即 an ?1 ? an an ? 2 ? an ? 2 an an ?1

?1 1 ? bn ? 2 ? ? ? ? an an ?1 ?
或 bn ?
2 2 ? a ? 1? 2 ? an ? 1? 2an ? an ? 1? 2[(an ? 2an ) ? an ] 1 1 = ? ? 2 n ? ? an an ? 2 an ? 2an an ?1 an an ?1 an an ?1

=

2(an ?1 ? an ) 1 1 ? 2( ? ); an an ?1 an an ?1

∴ S n ? 2(

?1 2 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) = 2? ? ? = 1 ? 2n a1 a2 a2 a3 an an ?1 3 ?1 ? a1 an ?1 ?

12. (安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试卷(实验A班月考) )设数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n , n ? N * . (I)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

【答案】(1) an+1=Sn+1 - Sn ,得 Sn+1 - Sn = Sn+3 , n n n 所以 Sn+1 = 2Sn+3 , 有 Sn+1 - 3×3 =2Sn -2×3 , n+1 n 所以 Sn+1 - 3 =2(Sn-3 ) 得 bn+1=2bn 又因 S1=a1=a,b1=a-3 ,得 bn 为以 a-3 为首项, n-1 2 为公比的等比数列 所以 bn=(a-3)×2 n n (2) a(n+1)=Sn+3 =bn+2×3 a(n+1) - an = bn +2×3n -[bn-1+2×3n-1] n n-1 = bn - bn-1+2[3 -3 )] n-1 n-2 n n-1 =(a-3)×[2 - 2 ]+2[3 -3 ] n-2 n-1 =(a-3)×2 + 4×3 ≥ 0 a - 3≥ - 4×3n-1/2n-2 =-12×(3/2)n-2 n-2 a≥3-12×(3/2) 因为 n-1≥1,
4

n

所以 n 最小为 2(3/2) 最小=1 n-2 3-12×(3/2) 最大=3-12×1=-9 a≥ - 9 13 . 安 徽 省 池 州 一 中 2014 届 高 三 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 (
1 3 S n , Sn ? an ? ? n 2 ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

n-2

(Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;
n 2013 2 c ? c ?1 1 (Ⅲ)若 cn ? ? ? ? an , P ? ? i 2 i ,求不超过 P 的最大的整数值. ? ?

? 2?

i ?1

ci ? ci

1 3 【答案】(Ⅰ)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 2 2 1 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , 2 1 3 ② 当 n≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 , 2 2
所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2
n

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? 2 2 ?2?
(Ⅱ)由 (Ⅰ)得 nbn ? 所以 ① Tn ?

n . 2n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? ? ? L ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 23 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? L ? n ?1 ? n , 2 2 2 2

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2
(Ⅲ)由(1)知 a n ? ?

n

?1? ? ?n ?2?

n

? cn ? n

cn 2 ? cn ? 1 1 1 1 1 , ? 2 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? cn ? cn cn ? cn n(n ? 1) n n ?1

5

ci 2 ? ci ? 1 所以 P ? ? ci 2 ? ci i ?1
2013

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? L ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013
14 .( 安 徽 省 江 南 十 校 2014 届 新 高 三 摸 底 联 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 数 列 ,满足

(I)求证:数列

均为等比数列;

【答案】

6

7

15. (安徽省望江二中 2014 届高三复习班上学期第一次月考数学(理)试题)设满足以 下两个条件的有穷 数 列

a1 , a2 , ???, an



n(n=2,3,4

,,)













”:①

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1.
(1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (2)若某 2k+1( k ? N * ) 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项 公式; 【答案】

8

1 ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ?1 ? , 2
? kd ?
k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? ? , k (k ? 1) k ?1

? an ? ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? , n ? 2k ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k
k (k ? 1) 1 1 d ? ? ,即d ? ? 2 2 k (k ? 1)

当 d<0 时, 同理可得 kd ?

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? , k (k ? 1) k ?1

? an ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ?? ? (n ? N ? , n ? 2n ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k
S2 b2

16. (安徽省淮北一中 2014 届高三第三次月考数学理试题)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比 数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,q= . (Ⅰ)求{an}与{bn}的通项公式; 1 1 1 1 2 (Ⅱ)证明: ≤ + ++ < . 3 S1 S2 Sn 3
9

【答案】解:(Ⅰ)设{an}的公差为 d,则

?q+6+d=12, ? ? 6+d ?q= q . ?

消去 d,得 q +q-12=0,

2

解得 q=-4(舍去),或 q=3,从而可得 d=3. n-1 ∴an=3+(n-1)×3=3n,bn=3 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 Sn=

n(3+3n) 3n(n+1)
2 = 2

1 ,∴ =

2 2 1 1 = ( ). Sn 3n(n+1) 3 n n+1

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 ∴ + ++ = [(1- )+( - )++( )]= (1). S1 S2 Sn 3 2 2 3 n n+1 3 n+1 ∵n≥1,∴0< 1

n+1 2

1 1 1 1 2 1 2 ≤ ,∴ ≤1<1,∴ ≤ (1)< . 2 n+1 3 3 n+1 3

1 1 1 1 2 故 ≤ + ++ < 3 S1 S2 Sn 3

10


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