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2013高考数学 解题方法攻略 解题建议 理


数学高考解题的六点建议
我们对高考解题的基本建议是(6 条) :明确解题过程;夯实解题基础;防止解题错误; 掌握解题策略;精通三类题型;运用答题技术. (1)明确解题过程; (四步程序)①理解题意②思路探求③书写解答④回顾反思 (2)夯实解题基础; (四个因素)①知识因素②能力因素③经验因素④情感因素 (3)防止解题错误; (四种类型)①知识性错误②逻辑性错误③策略性错

误④心理性错误. (4)掌握解题策略; (四个策略)①模式识别②差异分析③层次解决④数形结合 (5)精通三类题型;①选择题②填空题③解答题 (6)运用答题技术. ①提前进入角色②迅速摸清“题情”③执行“三个循环”④做到“四 先四后” (先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异)⑤答题“一慢一快”⑥立足中下题目, 力争高上水平⑦立足一次成功,重视复查环节⑧运用解题策略于分段得分:●分解分步—缺 步解答●引理思想—跳步解答●以退求进—退步解答●正难则反—倒步解答●扫清外围—辅 助解答 1 测试复习成果 提供复习导向 1-1 第一阶段复习要做到“四过关” (1)能准确理解书中的任一概念; (测试 1,测试 4) (2)能独立证明书中的每一定理; (测试 1,测试 2) ●定理从两个方面提供重要方法;要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用. ●潘承洞教授 1979 年出高考题,只出了一道题:“叙述并证明勾股定理”,得分不全国 做对的人不到 0.01(百里挑一) ,潘教授不敢承认是他出的;1981 年考余弦定理呈两极态势; 2010 年四川高考证明两角和的余弦公式,50 万考生做对的仅几百人(千里挑一) ,议论纷纷; 2011 年陕西考余弦定理,也是议论纷纷;2012 年陕西考三垂线定理及逆定理没有议论了. (3)能熟练求解书中的所有例题; (4)能历数书中各单元的作业类型. (统计) (真正做到“四过关”可望高考得 120 分,得分率 0.80) ●课本类型统计 1-2 第二阶段复习要抓住五个方向 如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习、全面覆盖的话,那么第二阶段就是以横向为 主,突出重点,抓住热点,深化提高了. (1)第一阶段中的弱点; (2)教材体系中的重点; (3)高考试题中的热点; (4)中学数学的解题方法体系; (5)应试的技术:针对性、实用性、系列化. 这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高,也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近. (这五个方面与近几年的高考题相结合,可望高考得 130 分,得分率 0.86) 1-3 “四过关”测试 大家“四过关”没有呢? 测试 1: (是否形成良好的认知结构,脑子里有无思维路线图) 例 1-1 闭上眼睛,你能回忆起几条数学定理,说出几个数学名词?越多越好! ●文科必考内容:共 20 个知识板块,约 260 课时、180 个知识点; ●理科必考内容:共 21 个知识板块,约 290 课时、210 个知识点. )

-1-

例 1-2 当我说“函数”时,你能想起相关的多少个概念和定理?越多越好! (思维概 念图) 图1 例 1-3 对于 sin ? 您能写出多少个等式?越多越好! (思维概念图)

sin ? ? tan ? ?cos ? ? ? 1 ? cos 2 ? (同角关系) ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?
? ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ?? ? ? 3? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ? ?? ? ? 3? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ?
(诱导公式)

?

cos ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

(和差倍半公式)

=

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? cos ?
-2-

=

=

sin(? ? ? ) ? cos ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) cos ?

=

=sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? )

sin 2? ? ? = ? 2 sin cos ? 2 cos ? 2 2

2tg

?
2

1 ? tg 2

?
2

=?

1 ? cos 2? ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? 2

=(1+cos ? )tg

?
2

?

1 ? cos ? tg

?
2

=

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 cos ?

? sin ? 2 2 ? ?? ? ?? sin ? sin ? =2cos 2 2
=2sin

? ??

cos

? ??

=?? 测试 2:四过关了吗?(认知结构,思维能力,经验题感,情感态度) 例 2 余弦定理的 3 个话题. 例 2-1 余弦定理记得住、会证明吗? 思路 1(向量证明):分析 要证 只需证 只需证 只需证

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ???? ??? ? BC ? AC ? AB ? 2 AC ?AB ,
??? 2 ? ???? ??? 2 ? BC ? AC ? AB , ??? ???? ??? ? ? BC ? AC ? AB .

?

?

图2

如图 2,最后一式显然成立,故有证明如下(由繁到简、三项变一项)

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
???? 2 ??? 2 ? ???? ??? ? ? AC ? AB ? 2 AC ?AB (把数量转变为向量)

-3-

???? ??? 2 ? ? AC ? AB (向量运算、变三项为两项)

?

?

??? 2 ? ? BC (向量运算、变两项为一项)
(把向量还原为数量) ? a2 . 思路 2(坐标证明) 如图 3,在 ? ABC 中,设 A ? 0, 0 ? , B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,由向量数 量积的定义,有 图3

??? ???? ? AB?AC cos A ? ??? ???? ? ? AB ? AC
? 2 x1 x2 ? 2 y1 y2

x1 x2 ? y1 y2 x ? y12 x2 2 ? y2 2
2 1

(把向量变为坐标)

2 x12 ? y12 x2 2 ? y2 2

(坐标运算)

?

?x

2 1

2 2 ? y12 ? ? ? x2 2 ? y2 2 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? (坐标运算) 2 2 2 2 2 x1 ? y1 x2 ? y2

?


AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , (把向量变为数量) 2 AB?AC

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? .
可见,余弦定理是向量数量积定义的一个特例. 如果 B, C 在单位圆上,记 C ? cos ? ,sin ? ? , B ? cos ? ,sin ? ? ,则

???? ??? ? OC ? OB cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ?? ? ? ? ? ???? ??? ? ? OC ?OB cos ? 2 ? sin ? 2 cos ? 2 ? sin ? 2

? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .
可见,余弦差角公式是向量数量积定义的一个特例. 例 2-2 一个流行的几何证明. 其证明过程是对角 A 分三种情况讨论,得出

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A .
-4-

(1)当角 A 为直角时,由勾股定理,得

a 2 ? b2 ? c2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 90? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
所以,当角 A 为直角时,命题成立. (2)当角 A 为锐角时,如图 4,过点 C 作对边 AB 的垂线,垂足为 D ,则 ① AD ? b cos A , BD ? c ? AD . 在 Rt ? DBC , Rt ? DAC 中,用勾股定理,得

a 2 ? CD 2 ? BD 2 , CD 2 ? b 2 ? AD 2 ,
消去 CD 并把①代入,得 图4 (消去 CD ) (把①代入消去 BD ) (展开)

a 2 ? ? b 2 ? AD 2 ? ? BD 2 ? b 2 ? AD 2 ? ? c ? AD ?
2

? b 2 ? c 2 ? 2c?AD

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , (把①代入消去 AD )
所以,当角 A 为锐角时,命题成立. (3)当角 A 为钝角时,如图 5,过点 C 作对边 AB 的垂线,交 BA 的延长线于 D ,有 ② AD ? ?b cos A , BD ? c ? AD . 在 Rt ? DBC , Rt ? DAC 中,用勾股定理,得

a 2 ? CD 2 ? BD 2 , CD 2 ? b 2 ? AD 2 ,
消去 CD 并把②代入,得

a 2 ? ? b 2 ? AD 2 ? ? BD 2 ? b 2 ? AD 2 ? ? c ? AD ?
2

(消去 CD ) (把②代入) (展开) (把②代入)

图5

? b 2 ? c 2 ? 2c?AD ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,

所以,当角 A 为钝角时,命题成立.
-5-

综上(1)(2)(3)可得,在 ? ABC 中,当角 A 为直角、锐角、钝角时,都有 、 、

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A .
同理可证 b ? a ? c ? 2bc cos B ,
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2bc cos C .
问题在于,当角 A 为锐角时,角 B 还可以为直角或钝角(既有知识性错误,又有逻辑性错 误) 例 2-3 余弦定理的逆命题(怎样叙述,真假如何) 对应余弦定理的符号等式,交换条件与结论,我们给出逆命题为: 逆命题 1 若 a, b, c 为正实数, ? , ? , ? ? ? 0, ? ? ,有

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2bc cos ? , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2bc cos ? ,
则 a, b, c 对应的线段构成一个三角形, a 边的对角为 ? ,b 边的对角为 ? ,c 边的对角为 ? . 且 证明 由 0 ? ? ? ? ,有 ?1 ? cos A ? 1 ,得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? b ? c ? ,
2

又因 a, b, c 为正实数,所以

a ?b?c.
同理,由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2bc cos ? ,


b ? a ? c ,c ? a ?b .

所以, a, b, c 对应的线段可以构成一个三角形.记这个三角形为 ? ABC ,而 a 边的对角 为 A , b 边的对角为 B , c 边的对角为 C , A, B, C ? ? 0, ? ? ,由余弦定理,有

cos A ?
但由已知又有

b2 ? c2 ? a 2 . 2bc

b2 ? c2 ? a 2 cos ? ? . 2bc

-6-

所以

?cos A ? cos ? , ? ? ? A, ? ? ? 0, ? ? , ?

由余弦函数的单调性,得 A ? ? ,即 a 边的对角为 ? .同理,得 b 边的对角为 ? , c 边 的对角为 ? . 逆命题 2: 对于正实数 a, b, c ,及 ? ? ? 0, ? ? ,若有

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,
则 a, b, c 对应的线段构成一个三角形,且 a 边的对角为 ? . 证明 由 0 ? ? ? ? ,有 ?1 ? cos ? ? 1 ,得

b 2 ? c 2 ? 2bc ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,


?b ? c ?

2

? a2 ? ?b ? c ? ,
2

又因 a, b, c 为正实数,有

b?c ? a ? b?c.
所以, a, b, c 对应的线段可以构成一个三角形.记为 ? ABC ,而 a 边的对角为 A ,

A ? ? 0, ? ? ,由余弦定理,有

cos A ?
但由已知又有

b2 ? c2 ? a 2 . 2bc

b2 ? c2 ? a 2 cos ? ? . 2bc
所以

?cos A ? cos ? , ? ? ? A, ? ? ? 0, ? ? , ?

由余弦函数的单调性,得 A ? ? ,即 a 边的对角为 ? .

测试 3:四过关了吗?(认知结构,思维能力,经验题感,情感态度) 例 3-1 (空间图形的最短路程. 如图 6, ) 一圆柱体的底面周长为 24cm, AB 为 高 4cm , 一 只 蚂 蚁 从 点 A 出 发 沿 着 圆 柱 体 的 表 面 爬 行 到 C 点 的 最 短 路 程 为 . 图6 解 把圆柱体沿母线 AB 展开, 得图 7 所示的矩形, A 点到 C 点的最短路程就 从 是线段 AC 的长.因为 BC 的长是底面圆的周长的一半 12cm,高 AB 的长是 4cm,所
-7-

以在 Rt ? ABC 中,由勾股定理得

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 42 ? 122 ? 4 10 cm.
图7 同意的举手 不同意的站起来 反思 (1)合理成分 例 3-1 中有三个“化归”是很好的: 化归 1:把一个实际问题转化为一个数学问题; 化归 2:把一个空间问题转化为平面问题; 化归 3:把一个平面问题转化为解直角三角形. (用到两点之间直线距离最短) (2)认识封闭 但是,在把空间图形展平时没有注意到由 A 点到 C 点有两类路径: ●只走侧面(有两条路线) ,展平后,转变为“两点之间直线距离最短” ; ●既走侧面又走底面,走侧面时,转变为“两点之间直线距离最短” ;走底面时,也走“两 点之间的直线距离” .这时,要用到底面的展平,并且底面展平有多样性. “流行的误解”就在于只看到第一类路径,没有看到第二类路径(认识封闭 1) ,更没有 看到第二类路径的多样性(认识封闭 2)(逻辑性错误) . 如图 8,将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线 AB 上方的圆,由“两点之间直线 距离最短”可以得到两条直线距离: 第一条,如例 3-1 所述,是沿侧面展平后的直线距离,有

L1 ? AC1 ? AB 2 ? BC12 ? 4 10 .
第二条,是先沿侧面走母线 AB ,然后走圆的直径 BC ,展平后有

L2 ? AB ? BC2 ? 4 ?
由于 4 ?

24

?



24

?

? 4?

24 ? 12 ? 4 10 ,所以 L2 比 L1 更小. 3

图8 那么,是不是任何情况下都有 L2 ? L1 呢? 例 3-2 如图 6,一圆柱体的底面周长为 16 cm ,高 AB 为 4 cm ,一只蚂蚁从点 A 出发 沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的最短路程是( ). 解 如图 8,沿用例 3-1 的解法,有

L1 ? AC1 ? AB 2 ? BC12 ? 42 ? 82 ? 4 5 ,

-8-

L2 ? AB ? BC2 ? 4 ?
但4?

16

?



16

?

? 4?

16 ? 4 ? 5 ? 81 ? 80 ? 4 5 ,所以 L2 ? L1 . 3.2

那么,什么时候 L1 小、什么时候 L2 小呢? (3)问题探索 考虑更一般性的情况. 例 3-3 如图 6,一圆柱体的底面周长为 2? r ,高 AB 为 h ,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆 柱体的表面爬行到 C 点,求最短路程. 解 如图 8,沿用例 3-1 的解法,有

L1 ? AC1 ? AB 2 ? BC12 ? h 2 ? ?? r ? ,
2

L2 ? AB ? BC2 ? h ? 2r .
(1) L1 ? L2 ? (2) L1 ? L2 ? (3) L1 ? L2 ? 记常数
2

h 2 ? ? ? r ? ? h ? 2r ?
2

h 2 ? ?? r ? h 2 ? ?? r ?

2

2

r 4 . ? 2 h ? ?4 r 4 . ? h ? 2r ? ? 2 h ? ?4 r 4 ? h ? 2r ? ? 2 h ? ?4

4 r ? 0.681 为 a ,可见, L1 与 L2 的大小关系有三种情况:当 ? a 时,沿侧 ? ?4 h r 2 2 面爬行的路程最短,为 L1 ? h ? ?? r ? ;当 ? a 时,先竖直向上爬到 A 的正上方,再沿 h r 直径爬到 C 点的路程最短,为 L2 ? h ? 2r ;当 ? a 时,两种爬行方式的路程一样. h
看上去,这种讨论已经很细致了,然而,这依然有认识的封闭. (4)进一步思考 事实上, 蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到 C 点的路径, 除了以上 L1 , L2 两种之外, 还存在无穷多条从 A 到 C 的路径.如图 9 所示 L3 : A ? D ? C ,其中 AD 是侧面上的最短 距离(侧面展平后的直线距离) DC 是上底面两点之间的直线距离. , 图9

下面,我们来讨论 L3 的最值.

-9-

? 设圆心角 ?BOD ? ? ,0 ? ? ? ? ,则 BD ? r? ,展平后, D 为圆与矩形的切点, L3 为
折线 ADC ,在直角 ? ABD 中,有

AD ? AB 2 ? BD 2 ? h 2 ? ? r? ? ,
2

在 ? COD 中用余弦定理,有

CD ? r 2 ? r 2 ? 2r 2 cos ?? ? ? ? ? 2r 2 ? 2r 2 cos ? ? 2r cos
得 L3 的长度为函数

?
2



S ?? ? ? AD ? CD ? h 2 ? r 2? 2 ? 2r cos

?
2

, 0 ?? ?? ) ( .

闭区间上的连续函数必有最大最小值,不作展开. 测试 4 三视图(江苏不考)

如图 10,给出正方体. (为了避免相关方向的线被重合(比如 AB1 与 AD 重合) ,图形作 了一些技术性的调整) 例 4-1 (1)请画出正方体的三视图. (三个正方形,请保留) (2) 若在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中截去一个三棱锥 A1 ? AB1 D1 , 得到如图 11 的几何 体,请画出图 11 的三视图. (在保留图上继续,结果为图 12:三个正方形都加上一条对角线)

图 图 12

10

图 11

(3)若在图 11 的基础上再截去一个三棱锥 C ? BDC1 得到如图 13 的几何体,请画出图

- 10 -

13 的三视图. 图 13 结果: 11、 13 的三视图均为图 12, 图 图 因为三视图中 AB1 与 DC1 重合,AD1 与 BC1 重 合, B1 D1 与 BD 重合. (不同的几何体有相同的三视图) 例 4-2 (4) 若在图 11 的基础上再截去两个三棱锥 B ? AB1C , C1 ? B1CD1 得到如图 14 的几何体,请画出图 14 的三视图. 图 14 (5)再从图 14 几何体中截去三棱锥 D ? ACD1 得到如图 15 的正四面体 ACB1 D1 ,请画

出图 15 的三视图.

图 15 图 16

- 11 -

结果:图 14、图 15 的三视图均为图 16,因为图 14 中三棱锥 D ? ACD1 的三视图完全被 图 15 的三视图重合: 正视图中,图 15 的 D1 A 重合了图 14 的 DD1 ,图 15 的 AC 重合了图 14 的 DC ; 左视图中,图 15 的 D1C 重合了图 14 的 DD1 ,图 15 的 AC 重合了图 14 的 AD ; 俯视图中,图 15 的 D1 A 重合了图 14 的 AD ,图 15 的 D1C 重合了图 14 的 DC . 结论:不同的几何体可以有相同的三视图;同一个几何体摆法不同可以有不同的三视 图. (概念理解、技能熟练) 例 4-4 (2010 年高考数学福建卷文科第 3 题)若一个底面是正三角 形的三棱柱的正视图如图 18 所示,则其侧面积等于( ) (A) 3 (C) 2 3 (B) 2 (D) 6

解 由正视图知,三棱柱是以底面 图 17 边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以侧面积为 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,选(D) . 对不对? 主视图为矩形的三棱柱不唯一, (1)左视图可以是一般平形四边(并非矩形) ; (2)底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形;就是说,题目给的三棱柱可 以是斜三棱柱.题目无解. 可以改为求体积 高考修改题 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 14 所示,则其体积等于 ( ) ( A) 3 (C) 2 3 解 (B) 2 (D) 6

依题意,三棱柱的底面边长为 2,三棱柱的高为 1,其体积为

? 3 2? . V ? Sh ? ? ? 4 ? 2 ? ? 1 ? 3 ,选(A) ? ? ?
高考修改题 2 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 14 所示, 则其侧面积的取 值范围为 . 解 依题意, 三棱柱有两侧面为平行四边形, 平行四边形的底为 2、 高为 1, 面积为 2+2=4; 第三个侧面为矩形,矩形的底为 2、高为 为

1 ? ( ? 为矩形面与底面的夹角 0 ? ? ? 90 ) ,面积 sin ?

2 .得三棱柱的侧面积为 sin ?
- 12 -

S ? 4?

2 ? ( 0 ? ? ? 90 ) . sin ?

当 ? 增大时, S 增大;当 ? 测试 5 例 5-1

? 90? 时, S ? 6 ,所以,侧面积的取值范围为 [6, ??)

形同而质异的三角题 若 ? ABC 的角 A, C 满足

5?cos A ? cos C ? ? 4?cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2



(2011 年高中数学联赛一试 B 卷第 5 题) 例 5-2 若 ? ABC 的角 A, C 满足

5 ? cos A ? cos C ? ? 4 ? cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2



例 5-3

若 ? ABC 的内角 A, C 满足

4 ? cos A ? cos C ? ? 5 ? cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2



例 5-4

若 ? ABC 的内角 A, C 满足

4 ? cos A ? cos C ? ? 5 ? cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2



讲解 例 5-1

第一、求解. 若 ? ABC 的角 A, C 满足

5?cos A ? cos C ? ? 4?cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2



- 13 -

A C 1 ? tan 2 2 , cos C ? 2 ,代入已知等式并化简整理,得 解:因为 cos A ? 2 A 2 C 1 ? tan 1 ? tan 2 2 A C tan 2 tan 2 ? 9 . 2 2 A C A C 又因为 , 均为锐角,所以 tan tan ? 0 ,故 2 2 2 2 A C tan tan ? 3 . 2 2 1 ? tan 2
(联赛题的参考答案) 例 5-2 若 ? ABC 的角 A, C 满足

5 ? cos A ? cos C ? ? 4 ? cos A cos C ? 1? ? 0 ,
则 tan

A C tan ? 2 2


2

解:同上,把万能公式代入已知等式并化简整理,得 tan 又因为

A 2C 1 tan ? . 2 2 9

A C A C , 均为锐角,所以 tan tan ? 0 ,故 2 2 2 2 A C 1 tan tan ? . 2 2 3 1 的数值差别,这 3

可见,两道题目不仅形式类似,其求解步骤也近乎雷同,只有答案 3 与 个差别与已知两式中加减号的不同有关. 例 5-3 若 ? ABC 的内角 A, C 满足

4 ? cos A ? cos C ? ? 5? cos A cosC ? 1? ? 0,
则 tan

A C tan ? 2 2



A C 1 ? tan 2 2 , cos C ? 2 ,代入已知等式并化简整理,得 解 因为 cos A ? 2 A 2 C 1 ? tan 1 ? tan 2 2 A C tan 2 tan 2 ? ?9 . 2 2 1 ? tan 2
所以,此题无解. 请分析,为什么例 5-1 与例 5-3 两道错题只是数字 4 与 5 交换了一下位置,就会形式上 一个有解、一个无解呢? 例 5-4 若 ? ABC 的内角 A, C 满足

4 ? cos A ? cos C ? ? 5? cos A cosC ? 1? ? 0,
- 14 -

则 tan

A C tan ? 2 2



A C 1 ? tan 2 2 , cos C ? 2 ,代入已知等式并化简整理,得 解 因为 cos A ? 2 A 2 C 1 ? tan 1 ? tan 2 2 A C 1 tan 2 tan 2 ? ? . 2 2 9 1 ? tan 2
所以,此题无解. 请分析,为什么例 5-2 与例 5-4 两道题目只是数字 4 与 5 交换了一下位置,就会一个有 解、一个无解呢? 第二、反思. 例 5-1 结论不成立 证明 在 ? ABC 中,有

A C ? C ? A ? ? ? ?0? ? ? ? , 2 2 2 2 2 2 2
由正切函数在 ? 0,

? ?

??

? 上为增函数知 2?

tan

C ?? A? ? tan ? ? ? , 2 ?2 2?



A sin ? ? ? A ? ? ? A C A ?? A? ? 2 2 ? ?1. 2 ? tan tan ? tan tan ? ? ? ?? A 2 2 2 ?? A? ?2 2? cos cos ? ? ? 2 ?2 2? sin
可见,结论 tan

A C tan ? 3 不成立. 2 2

例 5-1 条件不成立 在 ? ABC 中,有

cos A cos C ? 1 ? ?1 ? cos A ??1 ? cos C ? ? ? cos A ? cos C ?
? cos A ? cos C (三角形中 cos A ? 1, cos C ? 1 )

? ? cos ?? ? A ? ? cos C (诱导公式)
得 (三角形中 C ? ? ? A ? ? ) ? 0, cos A ? cos C ? 0 . cos A cos C ? 1 ? 0 . cos A ? cos C 0? ? 1, cos A cos C ? 1 ⑦ ⑧

得 与条件

4 ? cos A ? cos C ? ? 5 ? cos A cos C ? 1? ? 0

- 15 -

?

cos A ? cos C 5 ? ? 矛盾. cos A cos C ? 1 4

可见,结论 5?cos A ? cos C ? ? 4?cos A cos C ? 1? ? 0 不成立.

今年高考题

已知函数 f ( x ) ? e x ? ax 2 ? ex , a ? R

(Ⅰ)若曲线 y ? f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f (x ) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点 P . (2012 高考数学福建卷理科第 20 题,14 分) 讲解 由 f ?( x) ? e x ? 2ax ? e 知,曲线在 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? 2a ? 0 ,得 a ? 0 , 这时

f (1) ? e ? a ? e ? a ? 0 .
于是, 问题来了: 计算得出过点 (1, f (1)) 处的切线重合于 x 轴, 与题目说的 “在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴” 到底有没有矛盾?有人说 “同一平面内, 且没有公共点的直线叫平行线, 而重合有无数个公共点” ,有矛盾,是错题;有人说“重合可以是平行的特例” ,虽然不承认 “错题” ,也只肯定到“不要紧”,至少在客观上有了歧义(歧义题),若提前发现肯定会修 改.比如改为:在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 0,或在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 x 轴. 2 数学高考解题的建议 2-1 数学高考题 (1)高考题:为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的,而组织化、系统化、标准 化的数学问题组织形式,称为数学试题.用于高考的数学试题称为高考题. (2)高考创新题:高考主要通过创新试题来考创新精神(意识) .数学创新试题是指在 试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题, 其基本目的在于诊断考生的数学创新意识与数学创新能力. 高考创新题主要形式有 ①开放探索题:高考中的开放探索题是指条件完备,但结论不确定、需要探索的数学问 题.有时候结论是开放的,但为了阅卷方便,只要求考生写出三二个,不同的考生答案会不 一样; 有时候叙述为 “是否存在??请说明理由” ,需要考生自己去探索出结论并加以证明. 把 开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点. (参见例 6、例 7) ②信息迁移题:高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景(或给出一 个名词概念,或规定一种规则运算等) ,让考生学习陌生信息后立即解答相关问题(迁移) .这 类题目背景公平,能有效考查学生的真实水平.由于高考的选拔性质,即时提供的新信息常 常有一定的高等数学背景,但不是考高等数学知识.即时接收信息、并立即加以迁移是两个 相关的要点. (参见例 8、例 9、例 10) ③情景应用题:这是一类有现实情境、重视应用的题目.要求考生通过文字语言、符号

- 16 -

语言、图形语言、表格语言等的转换,揭示题目的本质属性,构建解决问题的数学模型.函 数、方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体.阅读理解和 数学建模是解题的两个关键. (参见例 11、例 12、例 13) ④过程操作题:这是一类通过具体操作过程,从中获得有关数学结论的题目,可以用来 考查三维目标中的“过程与方法” .由于高考条件的限制, “经历过程”无法“动手实践” ,只 能是一些“语言描述的操作过程” ,但有的描述和操作会有现实情境、而不完全是数学内部的 过程与操作. (参见例 14、例 15) ⑤归纳(类比)猜想题:这是在观察相关数学情境的基础上,通过归纳或类比作出数学 猜想的一类题目.本来,由归纳或类比作出的猜想可能对也可能错,但考试总是要求写出正 确的猜想(学生中“有一定道理”的猜想可能会被判错) .应该说,这是一类探索中的题型, 最好有猜想理由的说明. (参见例 16、例 17) 例 6 (2010 年宁夏理科第 14 题、5 分)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写 出三种) 点评:这是开放题,为考生搭建了一个自主探究的活动平台,使考生的才能得到充分发 挥,使不同基础、不同水平、不同志向的考生都得到成功的体验,创新意识得到发展.体现 新课程关于评价的新理念.《数学通报》2012,1 任子朝 陈昂:实施《课程标准》后高考数 ( 学能力考查研究) 例 7-1 (2011 年陕西理科第 21 题、14 分)设函数 f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 , 导函数 f ?( x) ?

1 , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). x

(Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ?

?1? ? 的大小关系; ?x?

(Ⅲ)是否存在 x0 ? 0 ,使得 g ( x) ? g ( x0 ) ? 围;若不存在,请说明理由. (探索题)

1 对任意成立?若存在,求出 x0 的取值范 x
n

例 7-2 (2012 年全国高考数学陕西卷理科第 21 题、 分) 设函数 f n ? x ? ? x ? bx ? c , 14 ( n ? N ? , b, c ? R ) . (Ⅰ)设 n ? 2 , b ? 1 , c ? ?1 ,证明: f n ? x ? 在区间 ?

?1 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(Ⅱ)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ? 4 ,求 b 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 xn 是 f n ? x ? 在 ? 的增减性. 点评:第(Ⅱ)(Ⅲ)问都需要考生自己去探索出结论并加以证明. 、

?1 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 , ? , xn , ? ?2 ?

- 17 -

例 8 (2010 年四川理科第 16 题) 函数 f ? x ? 定义域为 A , x1 , x2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 若 时总有 x1 ? x2 , 则称 f ? x ? 为单函数. 例如, 函数 f ? x ? ? 2 x ? 1? x ? R ? 是单函数. 下列命题: ①函数 f ? x ? ? x
2

? x ? R ? 是单函数;

②若 f ? x ? 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; ③若 f : A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ? x ? 在某区间上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 答案:②③④. . (写出所有真命题的编号) (信息迁移)

解释 :①错,当 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时可以有 x1 ? ? x2 . (假命题,找反例) ②逆否命题,真命题. ③推出必要条件,真命题. ④提供充分条件,真命题. 例 9(2011 江苏省数学卷第 19 题) 已知 a, 是实数, b 函数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx,

f ?(x) 和 g ?(x) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上单调性一致
(1) a ? 0 , 设 若函数 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f (x) 和 g (x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致, 求 a ? b 的最大值. (信息迁移题) 点评:本题在考生理解了函数的单调性的基础上,新定义了“单调性一致”的概念,考 生需要把新的定义与自己已有的知识融合,这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常 重要的.试题的第(2)问,实际是讨论不等式在区间 ? a, b ? 上恒成立问题,需要分类讨论, 运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果.解决问题的过程中所用到的知识和方法并不 深奥,但分析问题、解决问题的能力要求很高,属于对高层次数学思维和数学素质的考查. 学生进人高校或社会后能否继续发展,在很大程度上取决于他们的学习能力.具有良好 的阅读理解力是继续学习的前提.近年的高考试卷对阅读理解能力,特别是对数学语言,包 括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度,教师在日 常教学中应多加关注. (参见本刊特约数学试题评阅组.2011 年高考数学试题“红黑榜”.基 础教育课程,2011,9) 例 10 (2010 年天津理科第 4 题) 对实数 a 和 b , 定义运算 ? ” a ? b ? ? “ :

?a, a ? b ? 1, ?b, a ? b ? 1.
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设函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 ? x ? x 2 若函数 y ? f ? x ? ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实 数 c 的取值范围是( ) .

?

? ?

?

? A? ? ??, ?2 ? ? ? ?1, ?
?

3? ? 2?

? B ? ? ??, ?2 ? ? ? ?1, ? ?
?

3? ? 4?

? C ? ? ?1, ?
?

1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ?

? D ? ? ?1, ? ?
?

3? ?1 ? ? ?? ,?? 4? ?4 ?

(信息迁移题) 【答案】B 例 11 (2010 年安徽理科第 21 题、13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种 通常采用的测试方法如下: 拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝, 要求其按品质优劣为 它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它 们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排 序时的序号,并令

X ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由. (这是数学高考中第一次出现概率题压轴) 讲解 列表,计算 1,2,3,4 的全排列及相应的 X 值

a1 , a 2 , a3 , a 4
1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4 1,3,4,2 1,4,2,3 1,4,3,2 2,1,3,4 2,1,4,3 2,3,1,4 2,3,4,1 2,4,1,3 2,4,3,1 3,1,2,4 3,1,4,2

1 ? a1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2

2 ? a2
0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

3 ? a3
0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 1

4 ? a4
0 1 0 2 1 2 0 1 0 3 1 3 0 2

X
0 2 2 4 4 4 2 4 4 6 6 6 4 6

- 19 -

3,2,1,4 3,2,4,1 3,4,1,2 3,4,2,1 4,1,2,3 4,1,3,2 4,2,1,3 4,2,3, 1 4,3,1,2 4,3,2,1

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

0 1 2 2 1 1 0 0 1 1

2 1 2 1 1 0 2 0 2 1

0 2 2 3 1 2 1 3 2 3

4 6 8 8 6 6 6 6 8 8

(I)由表可见, X 的可能值集合为 ?0, 2, 4, 6,8? . 理论说明:在 1,2,3,4 中奇数与偶数各有两个,所以 a1 , a3 中的奇数个数等于 a2 , a4 中 的偶数个数,因此 |1 ? a1 | ? | 3 ? a3 | 与 | 2 ? a2 | ? | 4 ? a4 | 的奇偶性相同,从而

X ?|1 ? a1 | ? | 2 ? a2 | ? | 3 ? a3 | ? | 4 ? a4 | .
必为偶数.

X 的值非负,且易知其值不大于 8.
所以 X 的值等于 0,2,4,6,8. (II)由列表的 X 值,在等可能的假定下,得到 0 2 4 X 6 8

P1 24

3 24

7 24

9 24

4 24

(III) (i)首先 P ( X ? 2) ? P ( X ? 0) ? P ( X ? 2) ? 的概率记做 p ,由上述结果和独立性假设,得

4 1 ? ,将三轮测试都有 X ? 2 24 6

1 1 ? . 3 6 216 1 5 ? (ii)由于 p ? 是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试 216 1000 都有 X ? 2 的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是 p?
靠随机猜测. 例 12 (2011 年湖北理科第 17 题、文科第 19 题)提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流 速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式;

- 20 -

(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:

v 辆/每小时) f ? x ? ? x ? ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) .
讲解 (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,可设

v( x) ? ax ? b .
再由已知得 ? 解得

?200a ? b ? 0, ?20a ? b ? 60,
1 200 , a ? ? ,b ? 3 3

故函数 v( x) 的表达式为

0 ? x ? 20, ?60, ? v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ?
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得

0 ? x ? 20, ?60 x, ? f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ?
当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时,

1 1 ? x ? (200 ? x) ? 10000 f ( x) ? x(200 ? x) ? ? ? ? 3 ? 3333 , 3 3? 2 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 因为

10000 ? 1200 , 所以, x ? 100时, f ( x) 在区间[20, 当 200]上取得最大值约为 3333 . 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 例 13 (2011 年湖南理科第 20 题)如图 1,长方形物体 E 在雨中沿面 P (面积为 S )的 垂直方向作匀速移动,速度为 v(v ? 0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R ) . E 移动时 单位时间内的淋雨量包括两部分: .... (1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋

图 19

雨)的淋雨量,假设其值与 v ? c ? S 成正比,比例系数为 (2)其它面的淋雨量之和,其值为

1 ; 10

1 ,记 y 为 E 移动过程 2

- 21 -

中的总淋雨量,当移动距离 D ? 100 ,面积 S ? (Ⅰ)写出 y 的表达式

3 时. 2

(Ⅱ)设 0 ? v ? 10 , 0 ? c ? 5 ,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨 量 y 最少. 解 (I)由题意知, E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 | v ? c | ? ,故 20 2

y?

100 ? 3 1? 5 ? | v ? c | ? ? ? (3 | v ? c | ?10) . v ? 20 2? v

(II)由(I)知,当 0 ? v ? c 时,

5 5(3c ? 10) y ? (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v
当 c ? v ? 10 时,

5 5(10 ? 3c) y ? (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v
? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c, ? ? v y?? ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10. ? v ?

合并得

(1)当 0 ? c ?

10 3c 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? . 3 2

(2) 当

10 ? c ? 5 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增 3 50 . c

函数;故当 v ? c 时, ymin ?

点评: 《普通高中数学课程标准(实验稿) 》强调“发展学生的数学应用意识”“高中数 , 学在数学应用和联系实际方面需要大力加强” ,这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜 明.2011 年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题.除例 12、例 13 外, 还有江苏的包装盒的面(体)积与正方形纸板裁剪方式的函数关系的应用题、福建的商品销 售量与销售价格函数关系的应用题、山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的 应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等.这些试 题的背景考生都了解,所用的知识方法又是考生应知应会的,考生能否解决问题,能体现他 们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力;同时试题充分体现了数 学的文化价值与应用价值,能使学生感觉到数学有用,数学很亲切,数学就在我们身边. (参 见本刊特约数学试题评阅组.2011 年高考数学试题“红黑榜”.基础教育课程,2011,9) 例 14 (2010 年宁夏理科第 13 题、5 分)设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有
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可以用随机模拟方法近似计算积分 ? f ( x)dx , 先产生两组 (每组 N 个) 区间 [0,1] 0 ? f ( x) ? 1 ,
0

1

上的均匀随机数 x1 , x2 , …xN 和 y1 , y2 , …y N ,由此得到 N 个点 ( xi , yi )(i ? 1, 2, …,N ) ,再数出 其中满足 yi ? f ( xi )(i ? 1, 2, …,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 似值为 例 15 . (过程操作) (本小题满分 12 分)如图 2,从点 P ? 0, 0 ? 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e x 于点 1

?

1

0

f ( x)dx 的近

Q1 ? 0,1? ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交与点 P2 .再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次
重 复 上 述 过 程 得 到 一 系 列 点 : P , Q1 , P2 , Q2 ,? , Pn , Qn , 记 Pk 点 的 坐 标 为 ? xk , 0 ? 1 ( k ? 1, 2,? , n ) . (Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 ? k ? n ) ; ( Ⅱ ) 图 20 求

PQ 1 ? P 2 2? P Q ? ? ? PnQn . Q 1 3 3

(2011 年高考数学陕西理科第 19 题) (过程操作) 点评:本例通过指数函数的导数产生切线,由切线产生点列 Pk ( xk , 0), Qk ( xk , yk ) ,由点 列 Qk ( xk , yk ) 的横坐标产生等差数列 ? xk ? 、纵坐标产生等比数列 ? yk ? .并且第(Ⅱ)问既是 等比数列的前 n 项和,也是小矩形的面积和 似值. 同时,本题有牛顿切线法的背景,一般地,过曲线上一点 xn , f ( xn )) 作曲线的切线 (

? f ( x )( x
k ?1 k

n

k ?1

? xk ) ,它正是定积分 ? e x dx 的近
?n

0

y ? f ? xn ? ? f / ? xn ?? x ? xn ? 交 x 轴于点 xn ?1 ,0) ,有 0 ? f ? xn ? ? f / ? xn ?? xn ?1 ? xn ? ,可得 (
递推公式 xn ?1 ? xn ? 例 16

f ( xn ) .所以,这道题也能体现数学视野. f '( xn )

(2011 年高考数学陕西理科第 13 题)观察下列等式

1?1 2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49 ??
照此规律,第 n 个等式为 (归纳猜想题) .
- 23 -

解法 1 由特殊到一般,分别找等式左右两边的规律. (1)等式左边的首项:由已知等式首项分别为 1,2,3,4,可猜想第 n 个等式的首项为

n.
(2) 等式左边的末项: 由已知等式分别为 1, 5, 项之和, 3, 7 可猜想第 n 个等式的为 2n ? 1 项之和,据等差数列通项公式 an ? a1 ? ? n ? 1? d ,得等式左边的末项为

an ? n ? ?? 2n ? 1? ? 1? ? 3n ? 2 . ? ?
(3)等式的右边:由已知等式右边均为项数的平方( 12 ,32 ,52 , 7 2 ,? ) ,可猜想第 n 个等 式的右边为 ? 2n ? 1? .
2

得第 n 个等式为

n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2n ? 1? .
2

验证知(等差数列部分和) ,这确实是恒等式. 解法 2 由特殊到一般,分别找等式左右两边的规律. (1)等式左边的首项:由已知等式首项分别为 1,2,3,4,可猜想第 n 个等式的首项为

n.
(2)等式的右边:由已知等式右边均为项数的平方: 12 ,32 ,52 , 7 2 ,? ,可猜想第 n 个等 式的右边为 ? 2n ? 1? .
2

(3)等式左边的末项:由等差数列求和公式 S n ?

n ? a1 ? an ? ,得等式左边的末项为 2

2 ? 2n ? 1? a2 n ?1 ? ? n ? 3n ? 2 . 2n ? 1
2

得第 n 个等式为

n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2n ? 1? .
2

可见,本题以等差数列求和为载体,考查归纳猜想.等差数列的通项公式或求和公式都 是实质考到的(首项、项数、末项、和四要素) 例 17 (2011 年高考数学山东理科第 15 题)设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,观察: x?2

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

x , 3x ? 4 x f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? , 15 x ? 16 f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
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??
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ? 答案: f n ? x ? ? .

x ? 2 ? 1? x ? 2n
n

解法 1

观察分子、分母.分子为 x 不变.分母分为两部分:第一常数项为 2 ,第二一
n

n

次项系数为常数项减1: 2 ? 1 .得

fn ? x ? ?
解法 2

x ? 2n ? 1? x ? 2n
观察分子、分母.分子为 x 不变.分母分为两部分: (1)常数项为 2 , (2)
n

下一等式的一次项系数为上一等式的两系数之和: 2n ?1 ? 1 ? 2n ?1 ? 2n ? 1 .得

?

?

fn ? x ? ?
即 fn ? x ? ?

?an ? bn ? 1, x ? ,? an x ? bn ?bn ? 2n. ?

x ? 2n ? 1? x ? 2n
分离系数, 分式 f1 ? x ? ?

解法 3
n

?1 0 ? x 对应为矩阵 ? 则 ? , f n ? x ? 对应为矩阵的 n 方 x?2 ?1 2 ?

? ?1 0 ? ?1 0 . ? ? ?? n n? ?1 2 ? ? 2 ? 1 2 ?
2-2 数学高考解题 (1)平时解题是一种认识活动,是对知识(概念、定理等)的继续学习,是对方法的继 续熟练,是在发生数学和掌握数学,而高考解题则是“通过解题水平来看数学思维水平”, 是一种评估活动,是以解题能力的高低为考核标准、一次性笔试决定胜负的.如果说平时作 业要求“全做全对”的话,那么高考是加总分录取,不需要“全做全对”. (2)高考解题的一般性. 高考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高等学校招生考 试的新试题.这是一个从记忆模仿到探索发现的过程,关键在探索发现,核心是通过推理、 论证得出一个符合数学事实的结论.一个重要的建议是化归为课堂上已经解过的题,化归为 往年的高考题(或其变形) . (3)高考解题的特殊性. 高考解题与平时做作业的不同之处在于,解答高考题是在特定环境和特殊要求的条件下 进行的,一道数学题成为高考题后,将具有不同于平时作业题的特性,如一道数学题成为高

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考题后,就成了一把“诊断、预测、甄别、选拔”的尺子(量表) ,已具有不同于平时作业题 的诸多特性,如 ①能力的代表性; (评价性质而非学习本身) ②分数的选拔性; (是考试就只能由成绩来说话) ③时间的限定性; (有速度要求、不要求全做全对) ④评分的阶段性. (分段给分、分段扣分,做对的题会存在“潜在丢分”或“隐含失分”, 而不会做的题又可以得分不少. ) (4)高考解题需要我们迅速解决“从何处下手、向何方前进”这两个基本问题,临场的 思维策略主要有模式识别,差异分析,数形结合,层次解决,当然,最重要的还是学会分析. (5)高考既是数学知识的较量又是心理素质的较量. 2-3 明确解题过程 著名数学家、数学教育家波利亚写过一本风靡世界的书,叫做《怎样解题》 ,书中把解题 过程分为四步:弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,并列出了一张解题表.我们对解题 表作通俗解说如下: (1)理解题意. 题目本身是“怎样解这道题”的钥匙.只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公 式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们.所以,审题一定要逐字逐句看清楚,力求从语 法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意.特别要抓好审 题的“三个要点、四个步骤”. ①“三要点”是: 要点 1:弄清题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如何. 首先,条件包括明显写出的和隐蔽地给予的,弄清条件就是要把它们都找出来;其次, 也是更重要的,是弄清条件的数学含义,即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些 数学关系. 题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段,弄清了条件就等于弄 清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站. 要点 2:弄清题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如何. 题目的结论有的是明显给出的,如“求证”题(还有选择题等) ,关键是要弄清结论到底 与哪些数学关系、哪些数学概念有关;而有的题目结论是要我们去寻找的,如“求解”题、 探索题(还有填空题等) ,这时的弄清结论,就是要弄清“求解”(探索)的性质或范围,它 们与哪些数学关系、哪些数学概念有关,以明确推理或演算的方向. 题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向.弄清了结论就等于弄 清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针. 数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的. 要点 3:弄清题目的条件和结论有哪些数学联系,是一种什么样的结构. 即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上,继续弄清条件知识与结论知识之 间存在哪些数学联系,这些联系就表现为题目的结构.为了更接近问题的深层结构,审题不 仅开始于解题工作的第一步,而且贯穿于探求的过程与结果的反思.应该是循环往复、不断 深化的过程. 题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源,审题的实质是从题目本身去获取 从何处下手、向何方前进的信息与启示. ②“4 步骤”是: 步骤 1:读题——弄清字面含义. 审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么,按每分钟阅读 300 ~ 400 个印刷符号的速度计

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算,通常读完一道题用不了一分钟,但未必读懂了,因而,还应该从语法结构、逻辑关系上 作出分析,真正弄清哪些是条件,哪些是结论,各有几个,这是读题最实质性的工作.其次 要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节,比如在考试中,有的题目要求用“定义” 证明,有的题目要求用“数学归纳法”证明,有的题目要求用数字回答,有的题目要求保留 小数点几位等等,如果不按这些要求来,解答就会被认为不完整(存在扣分的危险) ,虽然有 的同学并非不会做. 步骤 2:理解——弄清数学含义. 看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意,它只是为实质性的数学理解扫清了语言障 碍,关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化,从题目的叙述中获取数学 “符号信息”,从题目的图形中获取数学“形象信息”,弄清题目的数学含义.这当中,我 们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识,常常要辅以图形或记号,使条件和结论都数 学化,并被我们所理解. 步骤 3:表征——识别题目类型. 信息在大脑的呈现叫做表征.弄清条件、弄清结论的同时,条件与结论之间的关系会在 头脑呈现,这种呈现不仅会激活相关的数学知识,而且也会调动相关的解题经验.对于大量 的常规题来说,条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的——每人的头脑里都或多或 少、或优或劣储存有基本模式与经典题型,题意弄清楚了,题型就得以识别,提取该题型的 相应方法即可解决(叫做模式识别) .即使是新的“陌生情景”,我们也有了解决它的逻辑起 点与推理目标,继而可以用“差异分析”、 “层次解决” 、“数形结合”等措施,进入下一阶 段——拟定计划. 解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西,并且和他的解题思维联系起来. 步骤 4:深化——接近深层结构. 简单题一旦弄清题意,题型就得以识别,思路随之打通,但有时认识是浅层的.对于变 通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目,则还要不停顿地“弄清问题”.因而, “弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了,主要表现在两个方面:其一是在 思路探求中,还有一个继续弄清题意的过程,否则会思路受挫、思维走偏;其二是在思路业 已打通、解法初步得出时,仍有一个回顾反思、再认识的过程,即更本质的“弄清问题”、 努力接近问题的深层结构. 经验表明,凡是题目未明显写出的,一定是隐蔽地给予的,只有细致地审题才能从题目 本身获得尽可能多的信息,这一步不要怕“慢”. (2)思路探求.

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①“拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程,也是一个化归过程,我们通常叫做 寻找解题思路.其最朴素的含义是,把待解决或未解决的问题,归结为一类已经解决或者比 较容易解决的问题.波利亚的建议是分两步走:

第一步,努力在已知与未知之间找出直接的联系——化归为已经解决过的基本问题.对 于大量的常规题来说,题意弄清楚了,题型就得以识别,记忆中关于这类题的解法就召之即 来. (叫做模式识别) 第二步,如果找不出直接的联系,就对原来的问题作出某些必要的变更或修改,引进辅

问题

化归 为基本问 题

完成

难完 成

数 形 结 合

完成

以退 求进

区分 情况

完成

难完 成

正难 则反

完成
助问题等,这是最实质的曲折化归.为此,在“怎样解题”表中,波利亚拟出了启引我们不 断转换问题的 30 多个问句或建议,促使我们产生灵感与念头. (运用解题策略:以退求进、 区分种种情况、正难则反、以及自始至终的数形结合等) ●以退求进:可以先考虑问题的特殊情况,或先考虑问题的一部分,看清楚、想明白了 再进.退是手段、进是目的, “难的不会想简单的”是个好主意.在具体实践中,常常是进退 互化. ●区分种种情况:或是分解为一个个小步骤(分步) 、或是分解为一个个小类型(分类) , 各个击破、分别解决.在具体实践中,常常是分合并用. ●正难则反:正面思考有困难时,可以调整思考的方向,转而从结论入手(分析法、逆 推法) ,或反面思考问题(反证法) .在具体实践中,常常是正反相辅. ●数形结合:在探索的过程中,要始终不忘把数与形结合起来思考,既会把数式转变为 图形,又会把图形转变为数式,注意发挥数与形的双重优势. ②中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法.寻找思路的一个简易可行的思考是 “特殊化”,先退后进、以退求进.此外,模式识别、差异分析、数形结合、层次解决都是 非常有效的解题策略. ③高考中的化归有两个基本的途径. ●化归为课堂上已经解过的题.

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因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源,也是学生解题体验的主要引导.离开了课 本,学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验?还能从哪里找到解题灵感的撞针? 高考解题一定要抓住“课本”这个根本. 因为课本是高考命题的基本依据.有的试题直接取自教材,或为原题、或为类题;有的 试题是课本概念、例题、习题的改编;有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并 联、综合与开拓;少量难题也是按照课本内容设计的,在综合性、灵活性上提出较高要求.可 以说,抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题. ●化归为往年的高考题(或其变形) . (3)书写解答. 就是把打通了的解题思路(即自己看清楚、想明白的事情) ,用文字具体表达出来,说服 自己、说服朋友、说服论敌.高考中就是要说服阅卷老师. ①在实现计划中“怎样表达”,这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问 题.我们建议记住 15 字口诀、24 字要领. 15 字口诀:“定方法、找起点、分层次、选定理、用文字”. 24 字要领:方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范. (对于 网上阅卷,还要安排好书写的位置和字体的大小) (4)回顾反思. ①回顾的最起码要求是复查检验,看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解 法是否还有更多、更简单的.有的检验是解题的必要步骤,如分式方程、无理方程验根,其 求解过程是必要条件过程,充分性并未解决,验根之后,解题才算完成;有的检验是避免过 失的技术性措施,像足球守门员把住最后一关. ②更深层次的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价.如解题中 用到了哪些知识?哪些方法?是怎么想到它们的?困难在哪里?关键是什么?遇到过什么障 碍?后来是怎么解决的?是否还有别的解决方法?更一般的方法?更特殊的方法?沟通其他 学科的方法?更简单的方法?同样的方法能用来处理更一般性的命题吗?命题能够推广吗? 条件能减弱吗?结论能加强吗?这些方法体现了什么样的数学思想?调动这些知识和方法体 现了什么样的解题策略???如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题,而且能提炼出 对未来解题有指导作用的信息.它的长期积累会升华为人们搜索、捕捉、分析、加工和运用 信息能力的总和——数学才能. 高考的回顾主要是复查检验,保证计算准确、推理合理、思维周密、避免过失. 这 4 个步骤需要不断的反馈调节(如图 5) ,即使 4 步完成了也存在反思改进的空间:有 时候思路还比较麻烦,通过反馈调节而精简;有时候思路还存在错误,通过反馈调节而纠正. 2-4 夯实解题基础 冒着过于简单化的风险,解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”,因此, 解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力,同时在调动和配置知识内容时还需要经 验与良好的心理.所以,尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素,但最基本的 应有:解题的知识因素,解题的能力因素,解题的经验因素和解题的情感因素,这也就是我 们常说的解题基本功. (1)解题的知识因素. (认知结构) 人的思维依赖于必要的知识和经验, 数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借. 丰 富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件.既然, 解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条,那么,没有知识内容那来的知识逻辑链! (参见函

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数思维概念图) 要将知识按照自己的理解加以组织.没有知识谈不上解题.智慧不是别的,而是组织良 好的知识体系. (2)解题的能力因素. (思维能力) 数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维,其主要成分是 3 种基本的数学能力: ●运算能力, ●逻辑思维能力, ●空间想象能力, 核心是能否掌握正确的思维方法,并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞 察力与整体把握. (3)解题的经验因素. (经验题感) 在解题实践中,既会有成功又会有失败,这两方面的积累,都能形成有长久保留价值或 借鉴作用的经验. 解题经验就好像是建筑上的预制构件(或称为思维组块) ,遇到合适的场合,可以原封不 动地把它用上(模式识别) .解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西,并且 和他的解题思维联系起来. “如果我们着手解答一道习题,那么,第一件事就想知道:这是道什么题?它是什么形 式,属于哪种类型?换句话说,就是需要识别给定习题的类型.” (4)解题的非智力因素(情感态度) 指良好的心理素质,包括动机、兴趣、态度、品德、意志等 波利亚说:“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的;决心与情绪所起的作用很重要.” 他强调说:“教学生解题是意志的教育.当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时,他 学会了败而不馁,学会了赞赏微小的进展,学会了等待主要的念头,学会了当主要念头出现 后全力以赴.如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐,那么他的数学教育 就在最重要的地方失败了.” 2-5 防止解题错误 有一种简单化的认识,以为错误都是知识不过关造成的,其实,解题错误的类型不只一 个,在知识过关的情况下也会出现差错.既然成功的解题有知识因素,能力因素,经验因素 和情感因素,那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关,我们总结为:知识性错误,逻 辑性错误,策略性错误,心理性错误. (例 2-2,例 3-4,例 5,例 19) (1)知识性错误. 知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误.如误解题意、概念不清、记错 法则、用错定理,不顾范围使用方法等.核心是所涉及的内容是否符合数学事实. (2)逻辑性错误. 逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误.如虚假论据,不 能推出,偷换概念,循环论证等,常常表现为四种命题的混淆,充要条件的错乱,反证法反 设不真等.核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则. 知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别. (3)策略性错误. 这主要指由于解题方向上的偏差,造成思维受阻或解题长度过大.对于考试而言,即使

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做对了,若费时费事,也会造成潜在丢分或隐含失分,存在策略性错误.在解题探求中,思 维受阻或思路曲折是不可避免的,因而,探索阶段的策略性错误是很难完全消除的. (4)心理性错误. 这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能,但由于某些心理原因而产生 的解题错误.如顺序心理、滞留心理、潜在假设,以及看错题、抄错题、书写丢三落四等. 2-6 分段得分. 一道高考题做不出来,不等于一点想法都没有,不等于所涉及的知识一片空白,尚未成 功不等于彻底失败.问题是,如何将片段思路转化为得分点,从而“分段得分” . (1)考生“分段得分”的法定依据是高考“分段评分” . 在高考中,由于有的人理解得深,有的人理解的浅,有的人解决得多,有的人解决得少, 为了区别这些情况,阅卷时总是按照所考查的知识点,分段评分.踩上了知识点就给分,多 踩多给.据此考生答题就应该也必然是“分段得分” . 由于平时做作业,教师总是要求学生“全做全对” ,不实行“分段评分” ,所以学生在高 考时就不习惯“分段得分” ,这就把平时做作业与高考竞争混为一谈了,因此,考生必须从高 考性质与评分办法上去理解,转变观念,心理换位.教师在模拟训练时也应提醒这一点. (2)分段得分的基本内容是:防止“分段扣分” ,争取“分段得分” . “分段评分”本身既包含着“分段给分” ,也包含着“分段扣分” .因此,考生应“会做 的题不丢分,不会做的题拿足分” . ①会做的题目,要力求不丢分. 情况表明,对于考生会做的题目,阅卷教师更注意找其中的毛病,分段扣回一二分,这 时要特别解决好“会而不对、对而不全” 力求不丢分. 相反,对考生未能正确解答或未能完整解答的题目,阅卷教师则更注意找其中的合理成 分,分段给点分,所以“做不出来的题目得一二分易,做得出来的题目得满分难” . ②部分理解的题目,要力求多得分. 对于多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分,其实质是多 出现几个相关的知识点. 从原则上讲,每一个考生做每一道题都不会一无所知,得零分的原因无非两条:没有时 间做;不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了. (3)分段得分的技术基础是解题策略. 分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用.下文将会显示,有什么样的解题策略, 就有什么样的得分策略,暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密. (4)分段得分的总体功能. 对于一道拿不下来的题目,实施分步得分的初衷是得部分分,但实施的过程也是解题策 略的运用过程,正确策略的运用就带来了全题解决的前景.所以,运用解题策略同时具有分 段得分与全题解决的双重功能:进可全题解决,退可分段得分. (5)分段得分的主要技术有:缺步解答,跳步解答,退步解答,倒步解答,辅助解答, . ●分解分步——缺步解答. 数学研究中,遇到一个很困难的问题,实在啃不动,一个明智的策略是,将它分解为一 系列的步骤,或者是一个个子问题,先解决问题的一部分.把这种情况反映出来,那就是在 高考答题中,能演算几步就写几步,能解决到什么程度就表达到什么程度.特别是那些解题 层次明显的题和那些已经程序化的方法,每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分, 最后结果虽然没有得出来,但分数却拿了不少. 解答题有好几问,只完成一二问就是缺步解答,应用题“设、列”没有“解、答”也是 缺步解答.

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●引理思想——跳步解答. 解题过程中卡在某一个过渡环节上是常见的,这时,我们可以先承认它,作为一个中间 结论,接着往后推,看能否得出结果.如果得不出结论,说明这个途径不对,立即改变方向; 如果能得出预期结论,我们就回过头来,集中力量攻克这个“中途点”或“引理” . 这是一个常识性的解题策略,但是由于高考时间的限制, “引理”的攻克来不及了,那么 可以先把前面的写下来(已经分段得分) ,再写上“证实某某之后,继而有?” ,一直做到底, 保持了整个解题思路的完整,这就是跳步解答. 这个攻不下来的“中途点”可能就是关键步骤,理应扣分,但后面部分能得点分,如果 这个攻不下来的“中途点”并非关键步骤,那么整题的丢分就很少,这比完全不写或只写前 半部分强得多. 也许后来,中间步骤又想出来了,不要乱七八糟地插上去,可补在后面,写“事实上, 某某步可以证明如下” .这样,整个解答就天衣无缝,一气呵成,也整齐清洁了. 对于有二三问的题目,若第一问做不出来时,可“跳步解答”先做第二问或第三问.有时, 考题前后两问本来就是无关的,先做那个都无所谓;若前后两问是有关系的,则可把前一问 作为已知条件,参与解决下一问. ●以退求进——退步解答. “以退求进”是一个重要的解题策略.如果我们不能马上解决所面临的问题,那么,可 以从一般退到特殊,从抽象退到具体,从复杂退到简单,从整体退到部分,从较强的结论退 到较弱的结论.总之,退到一个能够解决的问题,认透了,钻深了,然后再上去. 高考中,退而能进,问题就解决了.但是,由于时间关系,退下去进不来怎么办?比如, 一个三角形的性质做不了,可先做正三角形或直角三角形,为了不产生“以偏概全”的误解, 我们建议用分情况讨论的办法来解决,使得“退”成为有机整体的一部分,于是宏观把握的 格局是存在的,逻辑关系是清楚的,进可全题解决,退也不是逻辑混乱、可得分段分.上面 比如的三角形性质问题,可开门见山地写上讨论分三种情况:直角三角形、锐角三角形、钝 角三角形;又如实数 x 的问题可分 x ? 0 , x ? 0 , x ? 0 三种情况,或 x 为整数,为有理数, 为无理数的三种情况来讨论,分情况讨论的标准,取决于自己能完成什么. 特殊化和分类,都是极具数学特征的思维方法, “退可分段得分,进可全题解决” . ●正难则反——倒步解答. “正难则反”是一个重要的解题策略,顺向推有困难时就逆向推,直接证有困难时就间 接证,从左边推右边有困难时就从右边推左边.如果从已知条件出发实在无法下手,前段分 就怎么也得不着了,那可转而拿后段分,主要的办法有两个: 其一,用分析法,从肯定结论入手,执果索因; 其二,用反证法,从否定结论入手,找矛盾. 应该看到,分析法是重要的思维方法,反证法是证明大法,逆向思维充满着创造性.我 们实施倒步解答,不仅想得点分段分,而且更想将全题解决. ●扫清外围——辅助解答. 一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步骤.实质性的 步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智的,既必不可少也不困难.这就像打攻坚战时先扫 清外围. 辅助解答是十分广泛的,如准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题的 未知数并写出相应的代数式,设极值题的变量并用以表示其它量,设轨迹题的动点坐标并用 以表示其它条件,进行反证法或数学归纳法的第一步等. 对于个别选择题、填空题不会做, “大胆猜测”也是辅助解答.猜测是一种能力,解答题 亦离不开大胆猜测.

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书写也是辅助解答, “书写要工整,卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷教师的心理上 产生光环效应:书写认真——学习认真——成绩优良——给分偏高. 3 解题案例分析 3-1 第一组练习(重在说明问题) 例 18 (2011 年高考数学重庆文科第(15)题)若实数 a, b, c 满足

2 a ? 2b ? 2 a ? b , 2 a ? 2b ? 2 c ? 2 a ? b ? c ,

① ②

则 c 的最大值是 . 讲解 (1)条件是什么,一共有几个,其数学含义如何. 条件是两个等式,等式①含 a, b ,等式②含 a, b, c . (2)结论是什么,一共有几个,其数学含义如何. 结论是求 c 的最大值,它可以是 c 的不等式,或是函数的最值. (3)条件和结论有哪些数学联系,是一种什么样的结构. 理解条件和结论,我们的脑子呈现这样的数学结构:等式②提供关于 c 的函数,再借助条 件①,求出 c 的最大值. 层次解决: ①解题方向是:化归为函数求最值. ②解题方法是:求出函数的表达式和定义域,然后,用不等式法或求导法求最值. ③具体完成. 由条件②有 2 ?
c

x 2 a ? 2b x ,函数有了: c ? log 2 . ? a b x ?1 2 ?2 ? 1 x ? 1
a ?b

由条件①有 x ? 2

? 2a ? 2b ? 2 2a ?b ? x ? 4 ,定义域有了

问题化归为函数求最值. 怎样书写? 从定义域开始,建立函数,求最值. (定方法、找起点、分层次、选定理、 用文字) 解 设x?2
a b
a ?b

? 2a ? 2b ? 2 2a ?b ? x ? 4 ,当 a ? b ? 1 时 x ? 4 .
c a ?b ? c

又由 2 ? 2 ? 2 ? 2

? 2a ?2b ?2c ,有

2c ?
因y?

2 a ? 2b x , x?4) ( ? a b 2 ?2 ? 1 x ? 1



x 是一个减函数,当 x ? 4 时达到最大值,故有 x ?1 x 4 2c ? ? , x ?1 3 4 c ? log 2 . 3

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所以,当 x ? 4 时 c 取最大值 log 2 例 19

4 . 3
2 x n ( x n ? 3) (n ? 1,2, ?) .试证数列 ? xn ? 或者对任何 2 3xn ? 1

已知 x1 ? 0, x1 ? 1, 且x n ?1 ?

正整数 n 都满足 x n ? x n ?1 ,或者对任何正整数 n 都满足 x n ? x n ?1 . (1996 年数学高考理科第八题) 证明 用反证法,设结论不成立,则对一切 n 都有

x n ? x n ?1 ?


2 x n ( x n ? 3) , 2 3xn ? 1

x n ( x n ? 1)( x n ? 1) ? 0 ,

得满足条件的数列有

xn ? 0, xn ? 1, xn ? ?1 .
取 n ? 1 ,与 x1 ? 0 且 x1 ? 1 矛盾,所以,或者对任何正整数 n 都满足 x n ? x n ?1 ,或者 对任意正整数 n 都满足 x n ? x n ?1 . 评析 这个解法犯有逻辑性错误,首先表现为反设不真,原题是说 ? xn ? 必为单调数列,

其反面还有可能为摆动数列,不能肯定 x n 必为常数列.正确的反设应为:存在 p, q, 使

x p ? x p ?1 且 x q ? x q ?1 .此外,还有两个比较隐蔽的知识性错误是:
(1)数列的单调性与实数的三岐性是不同的; (2)由 x n ( x n ? 1)( x n ? 1) ? 0 只能得出数列的项可取 0,1, ?1 三个值,而不能像解三次方 程一样得出三个常数列. 例 20-1 一 条双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的 左 、右顶点 分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , 2

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点.
(Ⅰ)求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若过点 H ?0, h ? ? h ? 1? 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2
,

求 h 的值. (2010 年数学高考广东卷第 20 题) 说明 (1)本题有考查知识、思想方法与能力的多项功能,是一道难度较大的综合问题, 对考生的数学素养要求较高.

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①知识:可以考查双曲线,椭圆,直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识. ②思想方法:可以考查化归与转化、函数与方程、数形结合、分类与整合的数学思想方 法;还用到了待定系数法,代入法,消元法(代入消元或整体消元) ,反证法及设而不求等技 巧. ③能力:可以考查推理论证能力,运算求解能力与数学探究能力. (2)本例有高达 52.8%的考生 0 分,平均得 1.47 分,难度系数为 0.105,这表明本 题理论上的潜在功能尚未发挥出来(难度系数低于 0.2 的考题有“形同虚设”之嫌) .因此, 本题还有继续揭示解题思路的必要,为了提高题目的新鲜感和一般性,我们以“推广”的形 式来展开,行文中顺便也对题目与解法提出一些商讨性的改变. 如:把题目“只有一个交点”改为“只有一个公共点”.因为直线与圆锥曲线的切点常 指两个重合的交点(比如用判别式法时,对应的二次方程是有两个相等的实根、而不是只有 一个实根) ,它与直线交双曲线(或抛物线)于“一个交点”是不同的,此处的“一个交点” 有可能给题意带来歧义. 首先给出推广题目. 例 20-2 已知双曲线

x2 y 2 右顶点分别为 A1 , A2 , P ( x1 , y1 ) , 点 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 a 2 b2

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点.
(Ⅰ)求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若过点 H ?0, h ? ? h ? b ? 的两条直线 l1 、 l2 与轨迹 E 都只有一个公共点,且 l1 ? l2 , 求 h 的值. 一、第(Ⅰ)问的讲解 分 4 步作讲解. 1.弄清条件是什么,一共有几个,其数学含义如何? 我们说条件有 5 个:

x2 y 2 (1)给定一条双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b
(2)取已知双曲线的左、右顶点 A1 , A2 ,这是文字语言,不能运算、难以推理,其数 学含义是 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? . (3)取已知双曲线上不同的两个动点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x1 , ? y1 ) ,其中在“双曲线上”是文

字语言,不能运算、难以推理,其数学含义是坐标满足

x12 y12 ? ? 1 ,而“不同”也是文字语 a 2 b2

言,不能运算、难以推理,其数学含义是 y1 ? ? y1 ,即 y1 ? 0 . (4)由条件(2)(3)保证了 A1 , P 是不同的两个点,可以确定直线 A1 P ,这也是文 、

- 35 -

字语言,不能运算、难以推理,它的一个数学含义为 y ?

y1 . ? x ? a ?(直线方程的两点式) x1 ? a

(5)由条件(2)(3)保证了 A2 ,Q 是不同的两个点,可以确定直线 A2Q ,而直线 A2Q 、 的一个数学含义为 y ?

? y1 . ? x ? a ? (直线方程的两点式) x1 ? a

能够这样理解题意至少可以得 2 分,并为思路探求奠定良好的基础.可以说 52.8%的 0 分考生尚未真正弄清题意. 2.弄清结论是什么,一共有几个,其数学含义如何? 表面上,结论是一个:求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程, “轨迹”是文字语言, 包含完备性与纯粹性两个方面,不妨理解为两个结论. (1)求两直线交点所满足的方程(得出椭圆) ,这是本题的重点. (2)验证方程解为两直线的交点(去掉椭圆的 4 个顶点,得出残缺椭圆) ,这是本题的 难点. 3.沟通条件与结论的联系(轨迹转移法) (1)由结论的需要,想到去找直线 A1 P 与 A2Q 交点. (2)为了找直线 A1 P 与 A2Q 交点,想到建立直线 A1 P 与 A2Q 的方程. (3)为了建立直线 A1 P (或 A2Q )的方程,想到已知点 A1 ? ? a, 0 ? , P ( x1 , y1 ) (或 A2 ,

Q) ,选择直线方程两点式(还要想到验证 A1 , P (或 A2 , Q )不重合) .
(4)有了直线方程,便可用消元法解出交点. 至此,思路基本打通,但还不能算完成,因为结论是求交点的轨迹. (5)由于交点 ? x, y ? 与 x1 , y1 有关,由此想到使用坐标 ( x1 , y1 ) 满足双曲线方程的条件, 即把 ? x, y ? 的等量关系转移到 x1 , y1 的等量关系,得出交点所在的曲线方程(完成必要性, 得出椭圆) . (6)验证充分性(去掉椭圆的 4 个顶点,得出残缺椭圆 基本结构:理解题目的条件和结论,我们看到,一个已知轨迹方程(双曲线)经过某种 运动变化之后(两条动直线相交)形成一个新轨迹方程,其数学结构是轨迹转移:通过解方 程沟通新旧轨迹(点)的联系,再通过旧轨迹的转移得出新轨迹. (建立方程组、消元、得出 方程. (方程) ) 4.基本解法 解法 1 (轨迹转移法)依题意有 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? ,又由 P ( x1 , y1 ) , Q ( x1 , ? y1 ) 是 双曲线上不同的两点知 y1 ? ? y1 ,有

- 36 -

y12 y1 ? 0 ? x1 ? a 1 ? 2 ? a , b



即 A1 , A2 , P , Q 是不同的四个点(可保证直线 A1 P 、 A2Q 均存在,但还没有验证它们的 交点不会是 A1 , A2 ) ,有 直线 A1 P 的方程为

y?

y1 ? x ? a? , x1 ? a



直线 A2Q 的方程为

y?

? y1 ? x ? a? . x1 ? a



联立②、③,解得交点坐标为

x?

a2 ay ,y? 1, x1 x1



但由①知 x1 ? a , 代入④得

0? x ?a.
因为点 P ? x1 , y1 ? 在已知双曲线上, 故把④变为 x1 ? 有



ay a2 ,y1 ? 后, 应满足双曲线方程, x x

x2 y 2 1 ? a2 ? 1 ? ay ? 1 ? 12 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? , 2 a b a ? x ? b ? x ?
2

2

计及⑤,整理得所求轨迹 E 的方程为(椭圆去掉 4 个顶点)

x2 y 2 ? ? 1且 0 ? x ? a . a 2 b2
若对交点“设而不求”,则有下面的变通解法. 解法 2 (整体消参法)依题意有 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? ,又由 P ( x1 , y1 ) , Q ( x1 , ? y1 ) 是 双曲线上不同的两点知 y1 ? ? y1 ,有

y12 y1 ? 0 ? x1 ? a 1 ? 2 ? a , b



- 37 -

即 A1 , A2 , P , Q 是不同的四个点(可保证直线 A1 P 、 A2Q 均存在,但还没有验证它们的 交点不会是 A1 , A2 ) . 设直线 A1 P 与 A2Q 的交点为 M ? x, y ? ,分别由“ A1 , P, M 三点共线”,“ A1 , Q, M 三点 共线”有

y?

y1 ? x ? a? , x1 ? a ? y1 ? x ? a? . x1 ? a




y?



下面证明 x ? 0 且 y ? 0 . 若 x ? 0 ,由②、③、①有

ay1 ay1 ? ? x1 ? a ? x1 ? a ? a ? 0 , x1 ? a x1 ? a
矛盾,故有 x ? 0 . 若 y ? 0 时,由②、③、①有

? y1 ? x ? a ? x ? a? ? 0 ?x ? a ? 0 ? 1 ?? ? a ? 0, ? ? ? y1 ? x ? a ? ? 0 ? x ? a ? 0 ? x1 ? a ?
矛盾,故有 y ? 0 . 这时,由②×③得 A1 P 与 A2Q 交点 M 所满足的方程

y2 ?

? y12 ? x2 ? a2 ? , x12 ? a 2



因为点 P? x1 , y1 ? 在已知双曲线上,有

x12 y12 ? ? 1 ,即 a 2 b2


? y12 b2 ?? 2 , x12 ? a 2 a

亦即直线 A1 P 、 A2Q 斜率的乘积为定值.把⑥代入⑤,计及④,得所求轨迹 E 的方程为 (椭圆去掉 4 个顶点)

- 38 -

x2 y 2 . ? ? 1( x ? 0 且 y ? 0 ) a 2 b2
二、第(Ⅱ)问的讲解 分 4 步作讲解. 1.弄清条件是什么,一共有几个,其数学含义如何? 我们说条件有 4 个: (1)第(Ⅰ)问的轨迹 E 成为了第(Ⅱ)问的首要条件,其数学含义是残缺椭圆:

x2 y 2 ? ? 1 且 0 ? x ? a .题目的这种串联式结构使得未完成第(Ⅰ)问的考生无法开始第 a 2 b2
(Ⅱ)问;而第(Ⅰ)问得出完整椭圆 解第(Ⅱ)问. (2)过点 H ?0, h ? ? h ? b ? 作了两条直线 l1 、 l2 与轨迹 E 都只有一个公共点.其中“一个 公共点”的数学含义有两种解释: ① l1 、l2 与轨迹 E 相切,其数学含义可以是相应二次方程的判别式等于 0,也可以对函数

x2 y 2 ? ? 1 (未去掉 4 个顶点)的考生则不能完整求 a 2 b2

y?

b 2 a ? x 2 求导来确定. a
② l1 、 l2 经过 A1 , A2 ,并且均与 E 交于一点. 本来还应考虑 l1 、l2 经过 ? 0,b ? ,? 0, ?b ? 的,但由于 H ?0, h ? ,? 0,b ? ,? 0, ?b ? 三点共线,

这条直线与轨迹 E 无公共点,故予排除. (3) l1 ? l2 ,其数学含义可以是 k1k2 ? ?1 .

l (4) 由于轨迹 E 是椭圆去掉 4 个顶点, l1 、2 又有 2 种类型, l1 ? l2 有三种情况 C4 ? 6 而 故
2

种可能: ① l1 、 l2 均为切线; k1k2 ? ?1 ,或由对称性得 k1 ? 1, k2 ? ?1 . ② l1 、 l2 均为割线; k3 k4 ? ?1 ,或由对称性的 k3 ? 1, k4 ? ?1 . ③ l1 、l2 中一个为切线, 另一个为割线, 4 种可能:k1k3 ? ?1 ,k1k4 ? ?1 ,k2 k3 ? ?1 , 有

k2 k4 ? ?1 ,
2.弄清结论是什么,一共有几个,其数学含义如何? 结论是一个:求 h 的值.由于 l1 ? l2 有多种可能, h 也存在多值的可能. 3.沟通条件与结论的联系(方程观点)

- 39 -

(1)为了求 h 的值,我们来确定关于 h 的方程. (2)为了建立方程,我们以 l1 ? l2 的等价条件 k1k2 ? ?1 作为等量关系. (3)由等量关系 k1k2 ? ?1 的需要,我们去找 k1 , k2 的表达式,将它们表示为 h 的函数. (4)当 l1 、 l2 均为切线时,可以由相应二次方程的判别式等于 0 来确定斜率. (5)当 l1 、 l2 均为割线时,可以由两点坐标来确定斜率. 至此,思路基本打通. 4.基本解法 设过点 H ?0, h ? 的直线为 l : y ? kx ? h ? h ? b ? , l 与轨迹 E 只有一个公共点存在两种情 况,其一, l 与轨迹 E 相切(记为切线) ;其二, l 经过 A1 ? ? a, 0 ? 或 A2 ? a, 0 ? (与残缺椭圆 E 相交,记为割线) .下面分三种情况讨论. (1)当 l1 、 l2 均为切线且 l1 ? l2 时,由

? y ? kx ? h, ? 2 (要消去 x, y, k ) ?x y2 ? 2 ? 1, ? 2 b ?a
消去 y 得关于 x 的二次方程(消去 y )

?b

2

? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 khx ? a 2 ? h 2 ? b 2 ? ? 0



有两个相等的实根,其判别式等于 0(消去 x )

? ? 4a 4 k 2 h 2 ? 4a 2 ? b 2 ? a 2 k 2 ?? h 2 ? b 2 ? ? 4a 2 ? a 2 k 2 h 2 ? ? b 2 h 2 ? b 4 ? a 2 k 2 h 2 ? a 2b 2 k 2 ? ? ? ? ? 4a 2b 2 ? a 2 k 2 ? h 2 ? b 2 ? ? 0,


a 2k 2 ? h2 ? b2 ? 0 , (可两根之积等于 ?1 ,也可以 k1 ? 1, k2 ? ?1
得出结果,但不利于第(3)种情况)

解得

k1 ?

h2 ? b2 h2 ? b2 , k2 ? ? . a a h2 ? b2 x?h, a

这时

l1,2 : y ? ?

把 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 代入知均矛盾,故 l1 、 l2 与 E 相切于 A1 , A2 之外的点. (几何 意义很明显,但应有所交待)

- 40 -

又由 l1 ? l2 ,有 k1k2 ? ?

h2 ? b2 ? ?1 ,解得(消去 k ) a2


h1 ? a 2 ? b 2 . ? h ? b ?

(2)当 l1 、l2 均为割线且 l1 ? l2 时, A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 代入 l : y ? kx ? h ? h ? b ? , 把 得

0 ? ? ka ? h , h h 得 k3 ? , k 4 ? ? . a a
2 2 2



把⑨(即 a k ? h )代入二次方程⑦的判别式,有

? ? 4a 4 k 2 h 2 ? 4a 2 ? b 2 ? a 2 k 2 ?? h 2 ? b 2 ? ? 4a 2b 4 ? 0 ,
故 l1 、 l2 与 E 均有( A1 , A2 之外的)一个交点. (几何意义很明显,但应有所交待) 又由 l1 ? l2 ,有 k3 k4 ? ?

h2 ? ?1 ,得 a2


h2 ? a . ? h ? b ?

(3)当 l1 、 l2 中一条为切线、另一条为割线,且 l1 ? l2 时,考虑四种可能

k1k3 ? ?1 , k1k4 ? ?1 , k2 k3 ? ?1 , k2 k4 ? ?1 ,


h2 ? b2 h ? ? ?1 ,左边大于 0、右边小于 0,矛盾; a a
h2 ? b2 a b 2 ? b 4 ? 4a 4 ? h? ; ? ? ? ?1 ? h ? ? 2 ? a?

? h2 ? b2 ?? ? a ?

?h b 2 ? b 4 ? 4a 4 ; ? ? ?1 ? h ? ?a 2 ?

? h2 ? b2 ?? ? a ?


?? h ? ? ? ? ? ? ?1 ,左边大于 0、右边小于 0,矛盾. ?? a ? ?
11 ○

h3 ?

b 2 ? b 4 ? 4a 4 . ?h ? b? 2



b 2 ? b 4 ? 4a 4 b 2 ? b 4 ? 4a 2 b 2 ? 4a 4 ? ? a 2 ? b2 , 2 2
- 41 -

b 2 ? b 4 ? 4a 4 0 ? 0 ? 4a 4 ? ?a, 2 2
即 a ?b ?
2 2

b 2 ? b 4 ? 4a 4 11 ? a .所以,由⑨、⑩、○ 2

得符合条件的 h 为三个不同的值: (如图 21 所示)

a 2 ? b2 ,

b 2 ? b 4 ? 4a 4 ,a. 2
图 21

三、得分技术指导 1. 防止“会而不对、对而不全” . (1)左、右顶点的坐标 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 不要弄反了,弄反了的考生主要不是知识 性错误,而是心理性错误. (存在扣分危险) ( 2 )要 去掉 椭圆 的 4 个 顶 点, 得出 残缺 椭圆. 这 既有 知识 性错 误又有 逻 辑性 错 误. ( 0 ? x ? a ”不全或没有写出扣 1 分) “ (3)两条直线 l1 、 l2 与轨迹 E 都只有一个公共点存在三种情况,不是两种情况. (标准 答案写错了,试评才改) 2. 分段得分. (1)辅助得分 ①把左、右顶点翻译为: A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? . ②把“直线 A1P 、 A2Q ”翻译为

y?

y1 x? 2 , x1 ? 2 ? y1 x? 2 . x1 ? 2

?

?

(1 分)

y?

?

?

(2 分)

③把“交点”翻译为“解方程” x ? :

2 y1 2 ,y? ,即 x1 x1
(4 分)

x1 ?

2 , y1 ? x

2y , x

对于绝大多数考生来说,直线方程两点式、解方程求交点应是过关的,得 0 分只能是考 试技术不过关. 算到 4 分段是“缺步解答” (已经第(Ⅰ)问得分过半) ,更重要的是,还有机会继续由

- 42 -

“点 P? x1 , y1 ? 在双曲线 消去 ? x1 , y1 ? ,得

x2 y 2 x2 y 2 (即 12 ? 1 ? 1 )(5 分) , ? 2 ? 1 上” a2 b a b2

x2 y 2 ? ? 1且 0 ? x ? a . a 2 b2
这就第(Ⅰ)问全题解决了. 已知函数 f ? x ? ?

(7 分)

例 21

x , g ? x ? ? a ln x, a ? R .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 相交(有公共点) ,且在交点处有相同的切线, 求 a 的值及该切线的方程; (Ⅱ) 设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , h ? x ? 存在最小值时, 当 求其最小值 ? ? a ? 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? ? a ? 和任意的 a ? 0, b ? 0 ,证明:

?/ ?

/ / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? ? 2ab ? ? ? ?/ ? ? ?. 2 ? 2 ? ? a?b?

(2010 年数学高考陕西卷理科第 21 题,14 分) 讲解 第一、思路分析 第(Ⅰ)问 (1)条件是什么,一共有几个,其数学含义如何? 条件 1:给出两个函数 f ? x ? ? 以由解 析式确定,函数 f ? x ? ?

x , g ? x ? ? a ln x .从而这两个函数的定义域、值域可 x 的定义 域为 [0, ??) ,函数 g ? x ? ? a ln x 的定义域 为

(0, ??) ,进一步它们的公共定义域也是可知的,为 (0, ??) .
条件 2:曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 有公共点(相交) .其数学含义是方程

? y ? f ? x?, ? 或 f ? x? ? g ? x? ? ? y ? g ? x?, ?
有实数解. 条件 3:两曲线在交点处有相同的切线(两条曲线相切的背景) ,其数学含义是方程

? f ? x? ? g ? x?, ? (x ?0) ? / / ? f ? x? ? g ? x?, ? 有实数解. (关于 x, a 的方程组)
(2)结论是什么?一共有几个,其数学含义如何?

- 43 -

结论 1:求 a 的值; 结论 2:切线的方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ——关键是求切点的坐标和斜率,共 3 个数值 ( x0 , y0 , k ) . (3)沟通条件与结论的联系(方程观点) ①已知条件提供了关于 a, x 的方程组

? f ? x? ? g ? x?, ? (x ?0) ? / f ? x? ? g / ? x?, ? ?
由此可以求出 a ,及切点的横坐标 x . ②由切点的横坐标 x 可以求出切点和斜率,从而写出切线方程. 思路已通.理解条件和结论,其数学结构是建立并求解方程. 第(Ⅱ)问 (1)条件是什么,一共有几个,其数学含义如何? 条件:组合式给出一个函数 ( h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ln x . x ? 0 ) (2)结论是什么?一共有几个,其数学含义如何? 求 h ? x ? 最小值(存在时) .因 h ? x ? 含有参数 a ,所以其最小值是 a 的函数 ? ? a ? . (3)沟通条件与结论的联系. 当 a ? 0 时, ( h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ln x . x ? 0 ) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,无最小值. 当 a ? 0 时,应用导数求最小值,方法是现成的. (求导、解方程、列表确定极小值、得 最小值) 思路已通. 第(Ⅲ)问. (不要一看就不敢做) (1)条件是什么,一共有几个,其数学含义如何? 条件 1:串联式给出一个函数式 ?
/

? a ? 题目的这种串联式结构使得未完成第(Ⅱ)问的考
/

生无法完成第(Ⅲ)问. (不知道 ? ? a ? ,更不知道 ?

?a? )

条件 2:任取 a 的两个 a1 ? 0, a2 ? 0 ,题目记为 a ? 0, b ? 0 . (2)结论是什么?一共有几个,其数学含义如何? 证明不等式 ? ?
/ / / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? ? 2ab ? ? ? ?/ ? ? ?. 2 ? 2 ? ? a?b?

可以分解为两个不等式

- 44 -

结论 1:

?/ ?

/ / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? , ? ? 2 ? 2 ?

结论 2:

? / ? a ? ? ? / ?b?
2

? 2ab ? ? ?/ ? ?. ? a?b?
/

(3)沟通条件与结论的联系 ①由(Ⅱ)中 ? ? a ? 求 ? ②由 ?
/

?a? ;

/ / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? ? 2ab ? a? 求? / ? , ,? / ? ? ? ?; 2 ? 2 ? ? a?b? / / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? / ? 2ab ? , ,? ? ? ? 的大小. 2 ? 2 ? ? a?b?

③比较 ? ?
/

思路已通. 第二、解法. 解 函数 f ? x ? ?

x 的定义域为 [0, ??) ,函数 g ? x ? ? a ln x 的定义域为 (0, ??) ,它们

的公共定义域为 (0, ??) . (Ⅰ)由已知两曲线有公共点且在公共点处有相同的切线,得

? f ? x? ? g ? x?, ? (x ?0) ? / / ? f ? x? ? g ? x?, ?
把 f ? x? ?

x , g ? x ? ? a ln x , f / ? x ? ?

1 2 x

,g

/

? x? ?

a 代入,得 x

? x ? a ln x, ? ? 1 a (两个未知数、两条方程,解不了也要列出来) ? , ? ?2 x x


? x ? a ln x, ? ? ? x ? 2a ? 0, ?

相除,消去 x , a ,有 ln x ? 2 ,得

x ? e2 ,
从而

a?
2

e . 2
x 与 f / ? x? ?

再把 x ? e 代入 f ? x ? ?

1 2 x

得切点坐标 e , e 和切线斜率

?

2

?

1 ,求得切 2e

- 45 -

线方程为

y?e ?

1 ? x ? e2 ? 或 x ? 2ey ? e2 ? 0 . 2e

(Ⅱ)由 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?? x ? 0 ? 知,

h/ ? x ? ?

1 2 x
/

?

a ? x

x ? 2a . (第一问已有了,可以独立完成) 2x

(1)当 a ? 0 时,有 h (2) a ? 0 时, h 当 令
/

? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,无最小值.

? x ? ? 0 ,解得 x ? 4a 2 .并且当 0 ? x ? 4a 2 时,h / ? x ? ? 0 ,h ? x ?
2
/

在 0, 4a 2 上为减函数;当 x ? 4a 时, h

?

?

? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? 4a 2 , ?? ? 上为增函数.所以,

x ? 4a 2 是 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上唯一的极小值点,从而也是 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的最小值点,最
小值为

? ? a ? ? h ? 4a 2 ? ? 2a ? 2a ln 2a ? 2a ?1 ? ln 2a ? .
综上得 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的最小值 ? ? a ? 的解析式为

? ? a ? ? 2a ?1 ? ln 2a ? ? a ? 0 ? .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ?
/

? a ? ? ?2 ln 2a ,对任意的 a ? 0, b ? 0 ,有

?/ ?

a?b 2 ? a?b? ? ? ln ? a ? b ? , ? ? ?2 ln 2? 2 ? 2 ? ?? 2 ln 2a ? 2 ln 2b ? ? ln 4ab , 2
2

? / ? a ? ? ? / ?b?
2

?/ ?

2ab ? 2ab ? ? 4ab ? ? ? ln ? ? ? ?2 ln 2? ? , a?b ? a?b? ? a?b?

又由“算术平均——几何平均”不等式有 0 ?

2 ab ? 1 ,且 a?b

a?b 2 ab 2ab ? ab ? ab ? ? , 2 a?b a?b
可得

4ab ? 2 ? a ? b ? ? 4ab ? ? ? ? , ? a?b?

2

再由 y ? ? ln x 为减函数,得
- 46 -

2 ? 4ab ? ? ln ? a ? b ? ? ? ln 4ab ? ? ln ? ? , ? a?b?

2



?/ ?

/ / ? a ? b ? ? ? a ? ? ? ?b? ? 2ab ? ? ? ?/ ? ? ?. 2 ? 2 ? ? a?b?

第三、本题能考查什么? 本题以函数为载体,把函数性质、导数应用、几何切线、不等式证明等多项内容结合起 来,有考查知识、思想方法与能力的综合功能,对考生的数学素养要求较高.也体现了“能 力立意,在知识交会处命题”的理念. (1)知识:可以考查导数的概念,基本初等函数(幂函数,对数函数)的导数,导数的 四则运算法则,复合函数的导数,导数的几何意义,直线方程的点斜式,求导确定函数的单 调性,求导确定函数的极值;均值不等式,不等式证明等不下 10 项知识. (2)思想方法:可以考查函数与方程的数学思想,数形结合的数学思想,分类与整合 的数学思想,化归与转化的数学思想;还用到了待定参数法,代入法,消元法,求导法. (3)能力:可以考查推理论证能力,运算求解能力以及面对新情境调动已有知识去分析 问题、解决问题的应用能力. 第四、考查的效果怎么样? 数据显示,本题平均得 3.81 分,难度系数 0.27,区分度 0.51,满分 200 人,可以将 学生的知识、能力拉开距离,既有利于高校选拔,又有利于中学教学. 并且,本题虽属拉开距离的高难题,但并不是形同虚设、零分扎堆的无效题(通常表现 为难度系数低于 0.2) ,难度和区分度都比较恰当,还给最优秀的考生提供了充分展示的空间 (满分) . 还有,本题虽有满分,但二十多万理科考生出 200 个满分不算多(千里挑一) ,而全省的 数学理科满分卷仅 20 人(全省的数学文科满分卷 15 人) ,没有满分扎堆(万里挑一) ,体现 了“变个别难题把关为全卷把关”.

例 22

已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3an 3 , an ?1 ? , n ? 1, ? . 2, 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 ,

an ≥

1 1 ?2 ? ? ? x ? , n ? 1, ? ; 2, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

n2 (Ⅲ)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ? . n ?1
(2008 年高考数学陕西卷理科第 22 题) 讲解 第(Ⅰ)问.由 an ?1 ?

3an ,有 2an ? 1
- 47 -

1 2 1 , ? ? an ?1 3 3a n


? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? , an ?1 3 ? an ? ? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,所以 ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列.得 3 3 an 3 ? an ?
1 2 1 2 ? 1 ? ? n ?1 ? n , an 3 3 3





an ?

3n . 3n ? 2

说明 点,解方程

a1 ?

3an 3 3 3x , an ?1 ? 就是 a1 ? , f ? x ? ? 的迭代,可以先找迭代不动 5 5 2x ?1 2an ? 1

x?
得 x1 ? 1, x2 ? 0 . 然后计算

3x , 2x ?1

an ?1 ? x1 ,有 an ?1 ? x2

3an ?1 an ?1 ? 1 2an ? 1 a ?1 ? ? n 3an an ?1 ? 0 ? 0 3an 2an ? 1


? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? . an ?1 3 ? an ?

方向是转化为等差等比数列来解决. 第(Ⅱ)问. 可以认为是一道数列不等式的恒成立问题: 已知数列 an ?

3n , 证明: 对任意的 x ? 0 , 3n ? 2


an ≥

1 1 ?2 ? ? ? x ? , n ? 1, ? . 2, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

对比①式左右两边可以看到,有 3 个明显的差异(差异分析法) : (1)右边有正数 x ,左边没有. (恒成立问题)
- 48 -

(2)左边有 an ,右边没有明显表出. (3)右边有 3 或 但由 an ?
n

2 ,左边没有明显表出. 3n

3n 知 3n ? 2

an ?

1 1? 2 3n



2an 2 1 , ? ? 1 , 3n ? n 3 an 1 ? an



这就提供了沟通①式左右联系的线索:

2 统一为 an 的不等式; 3n 2 思路 2:把左边的 an 统一为 n 的不等式; 3
思路 1:把右边的 思路 3:把左右两边统一为 3 的不等式; 事实证明这些思路全都是可行的,比如 证明 把
n

2 2 1 统一为 an ,有 n ? ? 1 ,得 n 3 3 an
1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
?? 1 ? ? ?? ? 1 ? ? x ? ?? an ? ?
(关于
2

右边=

?

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

??

1 1 2 ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x

1 的二次三项式) 1? x

? ? 1 (二次三项式求极值) ? an ? ? ? an ? ≤ an . ? a ?1 ? x ? ? ? n ?
这个证明表现为一系列恒等变形,若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式

? ? 1 1 ?2 1 ? ? ? x ? ? an ? ? ? an ? . ? ? a ?1 ? x ? ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ? ? n ?
这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示,将其改写为不等式左边减右边的形式,有

2

? 1 1 ?2 1 ? ? an ? ? ? . ③ ? n ? x ? ? ? an ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3 ? ? ?1 ? x ? an ? ? ?
这就清楚了,不等式①通过②可以等价于实数的平方为非负数,并且 x ? 0 的条件不是必 要的( x ? ?1 就够了) ,书写也立即可以改写为基本不等式证法.

2

- 49 -

跳步解答: 完成第 (Ⅰ) 问得 an ?

2 3n 后, 立即做第 (Ⅲ) 问就是跳步解答. bn ? n , 记 n 3 3 ?2

有 an ?

n n 1 1 ? n 2 ,得 ,由柯西不等式 ? ?1 ? bk ?? 1 ? bn k ?1 k ?1 1 ? bk

n2 a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n = ? ? . n 1 2 n ?1? n n ?1 ? ?1 ? bk ? n ? ? 3k 3 k ?1 k ?1
3-2 第二组练习(重在练中感悟) 例 23 已知 a, b 不同时为 0 , a, b, c 成等差数列,求直线 bx ? ay ? c ? 0 与抛物线

n2

n2

n2

1 y 2 ? ? x 的相交弦的中点轨迹方程. 2
讲解 这是一道轨迹方程与等差数列交叉的综合题,常规思路是联立方程求交点,写出 中点,消参得轨迹.关键是“等差数列”的条件如何用?这可以有一个认识逐渐深化的过程. 第一、题意的初步理解. (1)弄清题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如何. 初步理解条件有 4 个. 条件1: a, b 不同时为 0 ” “ .这既可以保证等差数列 a, b, c 不全为 0 ,又可以保证

bx ? ay ? c ? 0 为直线.
条件 2: a, b, c 成等差数列” “ .但文字语言 “等差数列”不便于运算或推理,需要进行 “数 学含义”的解读,可以有多种表征,如: a ? b ? b ? c , 2b ? a ? c , a ? 2b ? c ? 0 ,

?b ? a ? d , ?a ? b ? d , 等. ? ? ?c ? a ? 2d , ?c ? b ? d ,
这些形式哪个更适合本题暂时还不清楚. 条件 3: “直线 bx ? ay ? c ? 0 ” .因为 a, b, c 不是具体的数字,所以这是一条动直线,但 受 a, b, c 成等差数列的制约,怎样使用这个制约条件暂时还不清楚. 条件 4: “抛物线 y ? ?
2

1 x” ,并且抛物线与动直线相交. 2

(还有一个隐含条件要在思路探求和结果反思中发现) (2)弄清题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如何. 题目的结论是求直线与抛物线相交弦的中点轨迹方程.这包含着两个方面 必要性:相交弦的中点坐标是轨迹方程上的一个解; 充分性:轨迹方程上的每一个解都是相交弦中点的坐标.

- 50 -

(3)弄清题目的条件和结论有哪些数学联系,是一种什么样的结构. 理解题目的条件和结论,我们看到,一个已知轨迹方程(抛物线)经过某种运动变化之 后(与动直线相交、产生相交弦的中点)形成一个新轨迹方程,在我们的眼前就出现这样一 个数学结构:通过解方程(组)沟通新旧轨迹(点)的联系,消去参数( a, b, c )能得出新轨 迹. (轨迹转移——例 20) 至于如何建立和求解方程,怎样实施“消参”等,则是“思路探求”和“书写解答”的 问题了. 思路 1 联立方程

?bx ? ay ? c ? 0, ? ? 2 1 ? y ? ? 2 x, ?
把 x ? ?2 y 2 代入直线方程,消去 x ,得

2by 2 ? ay ? c ? 0 ,
由韦达定理得

y1 ? y2 ?
进而

a , 2b
a ? y1 ? y2 ? ? 2c a 2 ? 4bc , ? b 2b 2

x1 ? x2 ? ?

由此,可得中点坐标

? x ?x a 2 ? 4bc x? 1 2 ? , ? ? 2 4b 2 ? ? y ? y1 ? y ? a . ? 2 4b ?
这时,有部分学生会由于消参(消去 a, b, c )困难而做不下去.“等差数列”的条件如何 ( 用?) (变形消参见思路 2) 思路 2 联立方程

?bx ? ay ? c ? 0, ? (要消去 x,y,a,b,c) ? 2 1 ? y ? ? 2 x, ?
把 x ? ?2 y 代入直线方程,消去 x,得
2

2by 2 ? ay ? c ? 0 ,
由求根公式,得

a ? a 2 ? 8bc y1,2 ? , 4b
- 51 -

把 2b ? a ? c 代入消去 b,得(用“等差数列”的条件)

y1 ? 1, y2 ? ?
代入抛物线方程得

c . a?c
2

? c ? x1 ? ?2, x2 ? ?2 ? ? . ?a?c?
设相交弦中点的坐标为 ? x, y ? ,则(消去了当初的 y)
2 ? x1 ? x2 ? c ? ? ?1 ? ? ?x ? ? , 2 ? ?a?c? ? ? y ? y1 ? y2 ? 1 ?1 ? c ? , ? ? ? 2 2? a?c? ?

消去

c ,得相交弦中点的轨迹方程为(消去了 a,c) a?c
1? 1 ? ? y ? ? ? ? ? x ? 1? . 2? 4 ?
第二、题意的深入理解. 对思路 1、思路 2 作反思,至少可以获得三个新的认识.
2

(1)方程 2by 2 ? ay ? c ? 0 是否为二次方程需对 b 作出讨论. 当 b ? 0 时, a, b 不同时为 0 知, ? 0 ; 由 又由 a ? c ? 2b ? 0 , 得此时直线 bx ? ay ? c ? 0 a 为 y ? 1 ,与抛物线只有一个交点 ? ?2,1? ,没有相交弦的中点轨迹.当 b ? 0 时,才有相交弦

1? 1 ? 的中点轨迹 ? y ? ? ? ? ? x ? 1? . 2? 4 ?
(2)由思路 2 知,动直线与抛物线相交于一个定点 ? ?2,1? . 这时重新理解题意,即可发现 a, b, c 成等差数列应表示为 ?2b ? a ? c ? 0 ,这就是直线

2

bx ? ay ? c ? 0 过定点 ? ?2,1? .所以,本例还应有一个隐含条件:
条件 5:由 a, b, c 成等差数列知,直线 bx ? ay ? c ? 0 过定点 ? ?2,1? . (3)既然动直线与抛物线相交于一个定点 ? ?2,1? ,那么题目的结构就成为动直线绕定点

? ?2,1? 旋转,除了恰有一个公共点的两种情况外:
x ? 4y ? 2 ? 0 , (与抛物线相切)

- 52 -

(与对称轴平行) y ? 1, 动直线均与抛物线相交于两点,这时,借助另一交点的“轨迹转移” ,便可求出新轨迹. (轨 迹转移法,但与例 20 不同) 思路 3 (1)当 b ? 0 时,已知直线为 ay ? c ? 0 ,由 a, b 不同时为 0 知, a ? 0 ,再由

a ? c ? 2b ? 0 得 c ? ?a ? 0 ,故已知直线为 y ? 1 ,与抛物线只有一个交点.无相交弦,更无
相交弦的中点轨迹. (2)当 b ? 0 时,由 a, b, c 成等差数列有 ?2b ? a ? c ? 0 ,这表明直线 bx ? ay ? c ? 0 过 定点 A ? ?2,1? .设直线与抛物线的另一个交点为 B ? x2 , y2 ? ,相交弦 AB 的中点为 ? x, y ? ,由 中点公式,有.

?2 ? x2 ? ? x ? 2 , ? x2 ? 2 x ? 2, ? ?? ( x ? ?2, y ? 1 ) ? ? y2 ? 2 y ? 1, ? y ? 1 ? y2 , ? ? 2
但点 B ? x2 , y2 ? 在抛物线上,有

? 2 y ? 1?

2

??

1 ? 2x ? 2? 2

得相交弦中点的轨迹方程为

1? 1 ? ( ? y ? ? ? ? ? x ? 1? . x ? ?2, y ? 1 ) 2? 4 ?
1? 1 ? 综 上 得 , 当 b ? 0 时 无 轨 迹 ; 当 b ? 0 时 , 轨 迹 方 程 为 ? y ? ? ? ? ? x ? 1? 2? 4 ?
( x ? ?2, y ? 1 ) . 说明 因为 B ? x2 , y2 ? 是与 A ? ?2,1? 不同的另一个交点, 所以按照中学的习惯, ? ?2,1? 点
2

2

应从轨迹方程中去掉.但也有一种观点认为,添上极限点 ? ?2,1? 能使轨迹方程更加完整,不 妨把两个重合交点的中点认定为 ? ?2,1? 本身.我们的建议是不作纠缠,考试中去不去掉极限 点都不要扣分. (但例 20 不一样,必须去)

例 24

(北京 2011 理 19 题)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点 ? m, 0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 4

- 53 -

切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

条件 1:椭圆 G :

x2 ? y2 ? 1 . 4

条件 2:圆 x 2 ? y 2 ? 1 . (圆在椭圆内部) 条件 3:动点 ? m, 0 ? . 条 件 4 : 动直线 l 满 足 三个 条件 :过动 点 ? m, 0 ? , 与 x 2 ? y 2 ? 1 相切 ,与椭圆

G:

x2 ? y 2 ? 1 相交于两点 A, B . 4
条件 5(隐含条件) | m |? r ? 1 . : (事关函数的定义域) (Ⅰ)由已知得 a ? 2 , b ? 1 ,得



c ? a 2 ? b2 ? 3 ,
所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3, 0) , ( 3, 0) . 离心率为 e ?

c 3 . (考基本概念、基本运算,压轴题的垫底分) ? a 2

(Ⅱ)由题意知,圆的半径 r ? 1 ,点 ? m, 0 ? 不在圆的内部, | m |? r ? 1 . 当 m ? 1 时(无斜率) ,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A, B 的坐标分别为 (1, 此时

3 3 ), (1,? ), 2 2

| AB |? 3
当 m ? ?1 时,同理可得 | AB |?

3.

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), (有斜率)



? y ? k ( x ? m), ? 2 (要消去 x,y,k) ?x 2 ? ? y ? 1. ?4

- 54 -



(消去 y) (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 . 设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x 2 ?

4k 2 m 2 ? 4 . (消去 x) 1 ? 4k 2

又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,得

| km | k 2 ?1
即 所以

? 1,
(为消去 k 作准备)

m2 k 2 ? k 2 ? 1 .

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
? 64k 4 m 2 4(4k 2 m 2 ? 4) ? ? (1 ? k 2 ) ? ? 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ? 16(1 ? k 2 ) ? 4k 4 m 2 ? (1 ? 4k 2 ) ? k 2 m 2 ? 1? ? ? 2 2 ? ? (1 ? 4k ) 16(1 ? k 2 ) ? 4k 4 m 2 ? (1 ? 4k 2 ) ? k 2 m 2 ? 1? ? ? 2 2 ? ? (1 ? 4k ) 16(1 ? k 2 ) ? 4 k 4 m 2 ? ( k 2 m 2 ? 1 ? 4k 4 m 2 ? 4k 2 ) ? ? 2 2 ? ? (1 ? 4k )

16(1 ? k 2 ) ? (1 ? 4k 2 ? k 2 m 2 ) (把 1 ? k 2 ? m 2 k 2 代入) 2 2 (1 ? 4k ) ?
?

16(k 2 m 2 )(3k 2 ) (k 2 m 2 ? 3k 2 ) 2
(运算量最集中)

4 3|m| m2 ? 3 .

由于当 m ? ?1 时, | AB |?

3 ,也适合上式,所以

| AB |?

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . (既分解又合并) m2 ? 3

因为

| AB |?

4 3|m| 4 3 ? ? 2, 2 m ?3 |m|? 3 |m|
- 55 -

| AB |?

4 3|m| 4 3|m| ? ?2 m2 ? 3 2 3m

且当 m ? ? 3 时, AB =2,所以 AB 的最大值为 2.

反思 (1) m ? ?1 既分解又合并,有思维回路(策略性错误) ,用斜率的倒数可避 开,还可以简化运算. (2)用到两根之差,没有必要算两根之和与两根之积. (3) | AB |?

4 3|m| 4 3 ? ? 2 ,变分母不策略. 2 m ?3 |m|? 3 |m|

另解

(Ⅰ) (同上)

(Ⅱ)由题意知,圆的半径 r ? 1 ,点 ? m, 0 ? 不在圆的内部, | m |? r ? 1 . 因为过点 ? m, 0 ? 与圆相切的直线 l 不能为 x 轴但可以与 x 轴垂直,所以切线 l 的方程 可以设为 ( ty ? x ? m . t ? R ) 由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,得

|m| 1? t2


?1,

t 2 ? m2 ? 1 .
?ty ? x ? m, ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1. ?4

①(消 t 很方便)

又由切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点,知方程组

有两个解 A( x A , y A ) , B ( xB , yB ) .消去 x ,得关于 y 的一元二次方程

(t 2 ? 4) y 2 ? 2tmy ? m 2 ? 4 ? 0 .
由求根公式相减,有 .

y A ? yB ?

? a
- 56 -

?

? ?2tm ?

2

? 4 ? t 2 ? 4 ?? m 2 ? 4 ? t2 ? 4

?

4 t 2 ? m2 ? 4 , t2 ? 4



把①、②代入 AB 的距离公式,有

| AB |? ( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? yB ) 2 ? 1 ? t 2 y A ? yB

4 t 2 ? m2 ? 4 ? t 2 ? 1? t2 ? 4
把 t ? m ? 1 代入,得 AB 表示为 m 的函数为
2 2

| AB |?

4 3|m| , m ? (??, ?1] ? [1, ??) m2 ? 3

2 3|m| m2 ? 3 分子放大 | AB |? 2? 2 ?2 2 ? 2, m ?3 m ?3
当 m ? ?3 时, AB 的最大值为 2.

A ? (a1 , a2 , …, an ), B ? (b1 , b2 , …, bn )
例 25 (北京 2010 文 20 题)已知集合

S n ? { X | X ? ( x1 , x2 , …,xn ), xi ? {0,1}, i ? 1, 2, …, n}(n ? 2) .
对于 A ? (a1 , a2 , …, an ), B ? (b1 , b2 , …, bn ) ? S n ,定义 A 与 B 的差为

A ? B ? ? a1 ? b1 , a2 ? b2 ,? , an ? bn ? ;

A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 | .
i ?1

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (0,1, 0, 0,1), B ? (1,1,1, 0, 0) ,求 A ? B , d ( A, B ) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? S n ,有 A ? B ? S n ,且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A, B ) ; (Ⅲ)证明: ?A, B, C ? S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数; 讲解 第一、题意分析 题目在六个基本知识的基础上给出了三个相继的定义. 知识 1:数字 0,1;

- 57 -

知识 2:绝对值; 知识 3:集合 知识 4:差; 知识 5:距离; 知识 6:向量. 定义 1: n 维 ? 0,1? 向量:

S n ? { X | X ? ( x1 , x2 , …,xn ), xi ? {0,1}, i ? 1, 2, …, n}(n ? 2) , S n 有 n 个分量,每个分量不是 0 就是 1;可以有 2n 个元素.
定义 2:集合 S n 上两元素 A 与 B 的差:对应分量差的绝对值

A ? (a1 , a2 , …, an ), B ? (b1 , b2 , …, bn ) ? S n ,
A ? B ? ? a1 ? b1 , a2 ? b2 ,? , an ? bn ? ;
定义 3:集合 S n 上两元素 A 与 B 的距离.差的分量之和 (新信息) d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 | .
i ?1

第二、解答 (Ⅰ) (验证定义) 解:由 A ? (0,1, 0, 0,1), B ? (1,1,1, 0, 0) ,有

A ? B ? ( 0 ? 1 , 1 ? 1 , 0 ? 1 , 0 ? 0 , 1 ? 0 ) ? ?1, 0,1, 0,1? ,

d ( A, B) ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 3 .
(Ⅱ) 第 1 问即证 ai ? bi ? {0,1} . (感悟:0 和 1 差的绝对值还是 0 和 1) 第 2 问要证 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A, B ) ,只需证

|| ai ? ci | ? | bi ? ci ||?| ai ? bi |
对 比 左 右 两 边 , 要 害 是 ci . 有 两 种 可 能 , ci ? 0 显 然 成 立 ; ci ? 1 时 ,

|| ai ? ci | ? | bi ? ci ||?| ? ci ? ai ? ? ? ci ? bi ? |?| ai ? bi | 也成立.
证明:设 A ? (a1 , a2 , ???, an ), B ? (b1 , b2 , ???, bn ), C ? (c1 , c2 , ???, cn ) ? S n ,因为

a1 , b1 ? {0,1} ,所以

ai ? bi ? {0,1}, (i ? 1, 2, ???, n)
- 58 -

从而

A ? B ? ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , ???, an ? bn ) ? S n .

由题意知 ai , bi , ci ? {0,1}, (i ? 1, 2, ???, n) 当 ci ? 0 时, ai ? ci ? bi ? ci ? ai ? bi 当 ci ? 1 时, ai ? ci ? bi ? ci ? (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) ? ai ? bi 所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

? a ?b
i ?1 i

n

i

? d ( A, B ) .

(Ⅲ)这是本题的难点.评分标准是这样的:设

A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? S n ,


d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0, 0,..., 0) ? S n ,由(Ⅱ)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k , d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l , d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h ,
所以 | bi ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 1 的个数为 l . 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1 成立的 i 的个数,则 | bi ? ai | ? | ci ? ai | 中 1 的个数为

h ? l ? k ? 2t .
由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 则 d ( A, B ) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数.

第三、反思 题意再理解:关键数据是 xi ? {0,1} ,即只有两个取值,因而,0 和 1 差的绝对值还是 0 和 1 两个取值. ( 1 ) 因 为 xi ? {0,1} , 所 以 | ai ? bi |? ?0,1 ( ai ? bi ?| ai ? bi |? 0 , ? ,进而差 ai ? bi ?| ai ? bi |? 1 )

A ? B ? ? a1 ? b1 , a2 ? b2 ,? , an ? bn

?
- 59 -

还是 n 维 ? 0,1? 向量.即 ?A, B, C ? S n ,有 A ? B ? S n . (几乎不证自明) (2) 因为 ai , bi , ci ? ?0,1?( ai , bi , ci 只有两个取值) 所以 ai , bi , ci 中至少有两个是相等的, , 当 ai ? bi 时,有 || ai ? ci | ? | bi ? ci ||? 0 ?| ai ? bi | ; 当 bi ? ci 时,有 ai ? ci ? bi ? ci ? ai ? ci ? ai ? bi ; 当 ai ? ci 时,有 ai ? ci ? bi ? ci ? bi ? ci ? ai ? bi . (都是与0打交道) (3)第三问理解评分标准,可以得出两点看法 ①关键是证明 h ? l ? k ? 2t ,其实质是证明 h ? l ? k 为偶数; ②证明 h ? l ? k ? 2t 的方法是用第(Ⅱ)问. 一个改进是用证明第(Ⅱ)问的方法, 另一个改进是直接证明“ h ? l ? k 为偶数” . 新证1 设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? S n ,

因为 ai , bi , ci ? ?0,1? ,至少有两个是相同的,所以 (1)当 ai , bi , ci 全同时,

ai ? bi ? ai ? ci ? bi ? ci ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ,为偶数;
(2)当 ai , bi , ci 中恰有两个相等时,

ai ? bi ? ai ? ci ? bi ? ci ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ,为偶数.


d ( A, B) ? d ( A, C ) ? d ( B, C )
? ? ai ? bi ? ? ai ? ci ? ? bi ? ci
i ?1 n i ?1 i ?1 n n n

? ? ? ai ? bi ? ai ? ci ? bi ? ci ? ,为偶数,
i ?1

得 d ( A, B ) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数. 新证2 利用同余知识证明

设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? S n ,因为

ai ? bi ? ? ai ? bi ?? mod 2 ? ,

- 60 -

所以

d ( A, B) ? ? ? ai ? bi ?? mod d 2 ? ,
i ?1 n

n

同理

d ( A, C ) ? ? ? ai ? ci ?? mod d 2 ? ,
i ?1

d ( B, C ) ? ? ? bi ? ci ?? mod d 2 ? ,
i ?1

n

将以上三式相加,得

d ( A, B) ? d ( A, C ) ? d ( B, C ) ? 2 ? ai ? ci ? ,为偶数,
得 d ( A, B ) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数.

3-3 自我练习 第一套 题目 1 (14 分)在直角坐标系 xOy 的横轴上取两个定点 A1 ? a, 0 ? , A2 ? ?a, 0 ? ,在纵轴 上取两个动点 N1 ? 0, b1 ? , N 2 ? 0, b2 ? ,满足 b1b2 ? b , a ? b ? 0 ( a, b 为常数) ,联结 A1 N1 ,
2

A2 N 2 相交于点 M .
(Ⅰ)求点 M 所在的曲线方程 P ; (Ⅱ)过点 F

?

a 2 ? b 2 , 0 ,作斜率为

?

1 ? m ? 0 ? 的直线交曲线方程于 A, C 两点,若 m

??? ???? ??? ? ? AC OA ? OC ? OB ,且点 B 也在曲线方程 P 上,求证 为定值. a
题目 2 (13 分)称直角坐标系中纵横坐标均为整数的点为“格点”,称一格点沿坐标线 到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离” (是一个正整数),格点距离为定值(正整数) 的点的轨迹称为“格点圆”,该定值称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为一条半径,原 点称为格点圆的圆心. (Ⅰ) 写出半径为正整数 n 的格点圆方程; (Ⅱ)求出半径为正整数 n 的格点圆上的格点数 N n ; (Ⅲ)(文科)求和 N1 ? N 2 ? ? ? N n . (理科) 求出半径为正整数 n 的格点圆半径的条数. 第二套 题目 3 (14 分) 已知 P ? x, y ? 是直角坐标系中的动点, 满足: 复数 ? x ? 1? ? yi( i ? ?1 )
2

的模等于 x ? 1 .

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(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 E ; (Ⅱ)取点 Q ? ?1, 0 ? ,求直线 PQ 斜率的取值范围; (Ⅲ) 设 a, b, c 成等差数列, a, b 不同时为 0, 且 求直线 ax ? by ? c ? 0 与 E 的相交弦的中 点轨迹方程. 题目 4 (13 分)已知函数 f ? x ? ? a
x

( a ? 0, a ? 1 )与 g ? x ? ? x 的图象在公共点处的
2

切线重合. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求公共点处的切线方程; (Ⅲ)对(Ⅰ)中求出的 a 值作函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? R ? ,试问 F ? x ? 是否有 极值(极小值或极大值)( e ? 2.7182 , ln 2 ? 0.6931 ) . 第三套 题目 5

?c? ( 14 分 ) 已 知 f ? x ? ? ? ? ?4?

n?2

?c? x ? 6? ? ?2?
2

n?2

, x ? 10c n ? 2 ( 2n ?1 ? x ? 2n )

n ? 1, 2, ? ,请问是否存在正数 c ,使得函数 y ? f ? x ? 取到极小值的点 ? xn , yn ? 均落在“以原
点为顶点、以坐标轴为对称轴”的同一条抛物线上?若存在,求出正数 c 的所有值及相应的抛 物线方程;若不存在,证明你的结论. 题目 6 (13 分)有 8 名运动员将分别获得某项比赛的一、二、三等奖,已知一等奖的 人数不少于 1 人,二等奖的人数不少于 2 人,三等奖的人数不少于 3 人.又知一、二、三等 奖 的 奖 金 分 别 为 3600 元 、 2400 元 、 1200 元 , 记 奖 金 总 额 为 随 机 变 量

? ? 3900a ? 2600b ? 1300c(元) 其中,a, b, c 分别获一、 三等奖的人数 a ? b ? c ? 8 ) , 二、 ( ,
求随机变量 ? 的数学期望.(精确到元)

共勉

x ? a ? a ? 0 ? ? ?a ? x ? a :一个甘于自我封闭的人,他只能越过弱者,永远也超不过
强者.

x ? a ? a ? 0 ? ? x ? a 或 x ? ?a :一个勇于突破封闭的人,既能超过强者,又能谦让
弱者. 数学上负数比零更小,学习中自我封闭比未知更糟. 数学上实数和虚数都是真实的数,奋斗中成功与失败都是生命的歌. 但愿能为你深深激动的高考,提供点微微有益的帮助.

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