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2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学参考答案与评分标准(细则)


2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 11. 180

1
C

2
B 12. (??,1]

3
A

4
C

13. ? 3

5
D

6
D 14. 2 3

7
C

8
B 15. 2

9
D

10
A

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 【解析】解法 1:(Ⅰ) 因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………………………………2 分

a 2 ? c 2 ? b2 3 b ,所以 cos B ? 又a ? , 2 2ac 3 2 b 3 4 ……4 分, ? ? 2 4 3b
解法 2:∵ a ?

…………………3 分

……………………5 分

3 3 b ,∴ sin A ? sin B ……………………………………………………2 分 2 2 3 sin B ………………………………………3 分 ∵ B ? C ,且 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 2 B ? 2
又 2sin B cos B ?

3 sin B 2

………………………………………4 分

∵ sin B ? 0 , ∴ cos B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

3 .……………………………………………………………………5 分 4
13 ,………………………………………………………………7 分 4

(注:直接得到 sin B ? 所以 f ?

13 不扣分) 4
………………………………………………………………8 分 ………………………………………………10 分 …………………………………………………………11 分 …………………………………………………………12 分

?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ?6? ?3 ?

? sin
?

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B

3 3 1 13 ? ? ? 2 4 2 4 ? 3 ? 13 . 8

17.(本题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5 分 (注:写对茎叶图 3 分,方差结论正确 2 分) (Ⅱ) 两队所有身高超过 178 cm 的同学恰有 5 人,其中 3 人来自
第 1 页 共 4 页

排球队,记为 a, b, c ,

……………………………6 分

排球队

篮球队

2 人来自篮球队,记为 A, B ,……………………………7 分
则从 5 人中抽取 3 名同学的基本事件为:

3 2 18 8 8 3 2 16 8 15

1 2 5 8 9

abc , abA , abB , acA , acB , aAB , bcA , bcB , bAB , cAB 共 10 个;……………………………9 分
其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:

9 1 0 17 0 3 6 8 9

abA , abB , acA , acB , bcA , bcB 共 6 个, ………………11 分 6 3 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是 P ? ? .………………………………………12 分 10 5
18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)连结 EF ,由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 , 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,
2 2 2

P Q

所以 PF ? BF ………………………………2 分 在图 1 中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,……3 分
2
2 2 2

D A

E F B

C

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以 PF ? EF ………………………………………4 分 又 BF ? EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED ,所以 PF ? 平面 ABED .…………………6 分 (注:学生不写 BF ? EF ? F 扣 1 分) (Ⅱ) 当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, FQ // 平面 PBE . ………………………………………………7 分 (注:只讲存在 Q 满足条件 1 分) 证明如下: 因为 AQ ?

2 2 AP , AF ? AB ,所以 FQ // BP 3 3

……………………………8 分

又 FQ ? 平面 PBE , PB ? 平面 PBE ,所以 FQ // 平面 PBE .…………………………………………10 分 (注:学生不写 FQ ? 平面 PBE ,扣 1 分) (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,所以 PF 为三棱锥 P ? ABE 的高. ………………………………11 分 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA? PBE ? VP ? ABE , 即 ? S?PBE h ? 所以 h ? ……………………………………12 分

1 3

1 1 1 ? S?ABE ? PF ,又 S?PBE ? ? 6 ? 9 ? 27 , S?ABE ? ?12 ? 6 ? 36 , 3 2 2

S ?ABE ? PF 36 ? 2 5 8 5 8 5 ? ? ,即点 A 到平面 PBE 的距离为 .………………………14 分 S ?PBE 27 3 3

(注:指出 VA? PBE ? VP ? ABE 给 1 分,若能最终得到结果 19.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 依题意, 2b ? 又 c ? 1,

8 5 给 4 分) 3

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ), a 2 b2
………1 分,所以 b ? 2
2 2 2

1? 9 2

? 4,

……………………2 分 ……………………………4 分

…………3 分,所以 a ? b ? c ? 5 ,

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所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 5 4 x2 y2 ? ? 1 ), 5 4
2 2

………………………………………………………………………5 分 ……………………………………………………………………6 分

(Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中
2

圆 P 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , ………………………………………………………………………7 分 因为 PM ? QM ,所以 QM ?

PQ ? t 2 ? 1 ? x2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 …………………8 分
2 2

? ?

1 2 ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t 2 4

……………………………9 分 ……………………………………………10 分 ………………………………………………11 分

当 ?4t ? ?2 即 t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值, 2
3 2 3 1 ,解得 t ? ? (舍去). 2 8 2

max

? 4t ? 3 ?

当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, …………………………………………12 分 2
3 2 2 1 1 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .………………………………13 分 4 2 2 8

max

? 4 ? 4t 2 ?

综上,当 t ?

2 3 2 时, QM 的最大值为 . ……………………………………………………………14 分 4 2
2 a2 ? 36 . ………………2 分 b1

20.(本题满分 14 分)
2 【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 . 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

(Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 a
2 n ?1

………………………………………3 分

? bn bn ?1 ,
…………………………………4 分 将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,……6 分 …………………………………………………7 分
2
2

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bn bn ?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn …③. 因此数列
n

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . 则 an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? 9 分 当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .…………………………10 分 (Ⅲ)方法一:

1 1 1?1 1 ? 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 cn ? ? ? .……………………12 分 an 4n ? 4n 4 ? n n ? 1 ? an an ?1 4 ? n n ? 2 ?
1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ??? ? ?? ? 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
……………………………………………………………………14 分

于是 c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn ?

1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ?? . 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8
21.(本题满分 14 分)

【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .……………………………………………………………………………1 分

1 (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 . 2
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1 5 ,所以 f ? ?1? ? , …………………………………………………………………2 分 2x 2 5 所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 5x ? 2 y ?1 ? 0 .………………………………………………………3 分 2 (注:有求导思想,虽然运算不对,给 1 分)
因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

1 (Ⅱ)由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . 2
1 4 x 2 ? 2ax ? 1 1 ⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? , ? 2x 2x 2
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ,………………………………5 分 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4

且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 .……6 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 ⑵ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ?
当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ? 若 若

………………………………7 分

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 4 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? ?a (舍去). 8 分 4 4 2x

?a ? a 2 ? 4 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; ? ?a ,即 a ? ? 4 2 ?a ? a 2 ? 4 2 ? ?a ,即 ? ? a ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 4 2

所以 f ? x ? 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增. ……………………………………9 分 ① 当 0 ? x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 . ? 2x 2x
……………………………………10 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a2 ? 16 ,

若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减; 若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? ?a , 4 4

当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ? a ? 上单调递减. ………………12 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? 当 ?2 ? a ? ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 x ? ; 4 4

?a ? a 2 ? 4 2 2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 当a ? ? 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? .14 分 4 2 2 注:第二问:3 大类,每类全正确给 3 分; (1)若步骤清晰(即求导,解方程,比较两根大小,明确单调区间,得到极值) ,但计算不全对,给 2 分; (2)有这个思路,但步骤不清晰,给 1 分;
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