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提优辅导2:基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)含答案


高三数学提优辅导:基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)
1 .函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________.

1 x

【答案】 ? 0,1?

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 解: ? ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? x

2 ? ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1
1 2

2 2.若函数 f ( x) ? log a (2 x ? x)( a ? 0, a ? 1)在区间( 0, )内恒有 f ( x) ? 0, 则 f(x)的单

调递增区间是__. 【答案】 (?? ,? ) 3 .已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) ,则

1 2

a 2 ? b2 的最小值等于_________. a ?b

【答案】 2 2 4 .不等式 log2 (2 x ?1) ? log 2 (? x ? 5) 的解集为______________.

1 ? x? ? ?2 x ? 1 ? 0 2 ? ? 1 ? ? 【答案】 log 2 (2 x ? 1) ? log 2 (? x ? 5) ? ?? x ? 5 ? 0 ? ? x ? 5 ? ? x ? 2 ,故所 2 ? ? ? ?2 x ? 1 ? ? x ? 5 ? x ? 2 ? ?
求的解集为 ( , 2) . 5 .方程 4 ? 2
x x ?1

1 2

? 0 的解为_______.

【答案】

x ?1

6 .当 x ? [ ?2,0] 时,函数 y ? 3x?1 ? 2 的值域是___. 【答案】

5 [ ? ,1] 3

7 . 若 幂 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 过 点 (2, _____________. 【答案】设 f ( x) ? x ,则由 2? ?
?

2 ) , 则 y ? f ( x2 ? 2x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2

1 1 ? ? 1 2 1 ,该函数是 ? 2 2 ? ? ? ? ,所以 f ( x) ? x 2 ? 2 2 x

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定义在 (0, ?? ) 的单调减函数 . 而 u ? x2 ? 2 x ? 0 ? x ? 2 或 x ? 0 , 且 u ? x ? 2 x 的对称
2

轴为 x ? 1 ,故所求函数 y ? f ( x2 ? 2x) 的减区间为 (2, ??) . 8 .函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 【答案】 【命题立意】本题主要考查复合函数的单调性及函数的定义域等基础知识.复合 函数的单调性由“同增异减”的原则确定.

1 1 (? ,?? ) 【解析】函数 f ( x) 的定义域为 (? , ??) , f ( x) ? log5 u(u ? 0) 是单调增函 2 2
数,因此只需求函数 u ? 2 x ? 1 的单调增区间,而函数 u ? 2 x ? 1 在定义域内单调递增 9 .若 f ( x) ? x
?? 1 2

? 1 ,且 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围为______.
? 1 2

【答案】由 f ( x) ? x

? 1 为定义在 (0, ??) 上的减函数,可知

?a ? 1 ? 0 ?a ? ?1 ? ? ? ? f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ? ?10 ? 2a ? 0 ? ?a ? 5 ? 3 ? a ? 5 ? ? ?a ? 1 ? 10 ? 2a ?a ? 3 ? ?
10.若幂函数 y ? mx (m, n ? R) 的图象经过点( 8,
n

1 ),则 n=______________. 4

【答案】 ?

2 3

11 .若 函数 f ? x ? ? log ( a 2 ?3) (ax ? 4) 在 ??1,1? 上是单 调增函数 , 则实数 a 的 取值范围是 _______ 【答案】 ?2, ? 3

?

?

? 2, 4 ?

| x| 12.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是__________________.

【答案】 答案: (?1,0) ? (1,??) 13.已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 x 及函数 g ( x) ? 3 ? 2 x 的图象分别相交于 A,B 两点,则 A,B 两 点之间的距离为________. 【答案】 log2 3 14.对数函数 f ( x ) 的图像过点 (3, ?2) ,则 f ( 3) ? ___________. 【答案】 ?1
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x 15 .已知 a ? 0且a ? 1 , 函数 y ? a ? 2 与 y ? 3a 的图像有两个交点 , 则 a 的取值范围是

______________. 【答案】 (0, ) 16. 已知 f ( x) ? 32 x ? (k ? 1) ? 3x ? 2 ,当 x ? R 时, f ( x ) 恒为正值,则 k 的取值范围是_______. 【答案】 解法一(函数法 1):依题意可知 32 x ? (k ? 1) ? 3x ? 2 ? 0 恒成立,即

2 3

2 2 x 恒成立,故 k ? 1 ? [3 ? x ]min x 3 3 2 2 x x 设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,则 y ? 3 ? x ? t ? 在 t ? 2 时取得最小值 2 2 3 t k ? 1 ? 3x ?
所以 k ? 1 ? 2 2 即 k ? 2 2 ?1 . 法二函数法(2):设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,且 y ? f ( x) ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2
x

依题意可知 y ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 在 t ? (0, ??) 时恒大于 0 ①当对称轴 t ?

k ?1 ? 0 即 k ? ?1 时 , 关 于 t 的 二 次 函 数 y ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 在 2

(0, ??) 单调递增,故有 y ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 成立;
②当对称轴 t ? 取 得

k ?1 k ?1 ? 0 即 k ? ?1 时, t 的二次函数 y ? t 2 ? ( k ?1) ? t ? 2在对称轴 t ? 2 2
最 小 值 , 依 题 意 须 有

(

k ?1 2 k ?1 ) ? (k ? 1) ? ? 2 ? 0 ? k 2 ? 2k ? 7 ? 0 ? ?1 ? 2 2 ? k ? ?1 ? 2 2 , 故 此 时 2 2

?1 ? k

? 1 ? 2? 2

综上可知 k ? 2 2 ?1 .
2 法三(零点分布法):设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,且 y ? f ( x) ? t ? (k ? 1) ? t ? 2 ,依题意可知
x

t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 没有正根
2 2 而方程 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 有正根的条件为(注意到 t ? 0 时 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 2 )

?? ? (k ? 1) 2 ? 8 ? 0 ? ? ?k ? ?1 ? 2 2或k ? ?1 ? 2 2 ? ? k ? ?1 ? 2 2 ? k ?1 ? ? 0 k ? ? 1 ? ? ? ? 2
2 故方程 t ? (k ? 1) ? t ? 2 ? 0 没有正根的条件为 k ? 2 2 ?1 .

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故所求 k 的取值范围是 k ? 2 2 ?1 . 法四(图像法):设 t ? 3 ,则 t ? (0, ??) ,且 y ? f ( x) ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2
x

依题意可知,关于 t 的二次函数 y ? t 2 ? (k ? 1) ? t ? 2 要么与 x 轴没有交点,要么与 x 轴的 交点都在 x 轴的负半轴上 ①与 x 轴没有交点时,只须满足 ? ? (k ?1)2 ? 8 ? 0 ? ?1 ? 2 2 ? k ? ?1 ? 2 2 ; ②与与 x 轴的交点都在 x 轴的负半轴时,只须满足

?? ? (k ? 1) 2 ? 8 ? 0 ? ? ?k ? ?1 ? 2 2或k ? ?1 ? 2 2 ?? ? k ? ?1 ? 2 2 ? k ?1 ?0 k ? ? 1 ? ? ? ? 2
综上可知 k ? 2 2 ?1 . 17.关于 x 的不等式 2 【答案】
x2 ? x

? 4 的解集为____________ .

?? 2,1?
?? x ? a, x ? 1,
x ?2 , x ? 1

18.设函数 f ( x) ? ? 【答案】

的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范围是_______.

a?3

19.函数 f ( x) ? log 2 (4 ? x 2 ) 的值域为______. 【答案】 (??, 2] 20.方程 4 ? 2
x x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.
x

【答案】

x 2 x x x [解析] (2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , (2 ? 1)(2 ? 3) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log2 3 .

21.已知对数函数 f ( x) ? (m ? m ?1)log( m?1) x ,则 f (27) ? _________.
2

【答案】3 22.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为____. 【答案】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ?? ? 0< x ? 6 . 1 ? 1?? 2= 6 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? x ? 6 2 ? ?
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23.函数 f(x)= ? 【答案】

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ?2 , ?
x

的值域为_________.

x ?1

1 1 (-∞,2) [解析] 函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数,当 x≥1 时,函数 y=log x 的值 2 2

域为(-∞,0];函数 y=2x 在上是增函数,当 x<1 时,函数 y=2x 的值域为(0,2),所以原函数的值域 为(-∞,2). 24 . 已 知 命 题 p : 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 的 解 集 为 ? ; 命 题 q : 函 数

y ? (2a 2 ? a) x 为增函数,若函数“ p 或 q ”为真命题,则实数 a 的取值范围是________.
【答案】 高三一轮复习错误人数:68/89 1 1 答案:a> 或 a<3 2 解析:命题 p 为真,则有 Δ=(a-1)2-4a2<0. 1 解得 a> 或 a<-1;命题 q 为真命题,则 2a2-a>1, 3 1 解得 a>1 或 a<- . 2 又∵“p∨q”为真命题, 1 1 ∴a> 或 a<- . 3 2 25.已知 a

?

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m, n 的 2

大小关系为____. 【答案】 m ? n 26.若 y ? f ( x) 是幂函数,且满足

f (4) 2 ,则 f (3) ? ___________. ? f (2) 2

【答案】

3 3

27.函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域是__________. 【答案】 【解】 ? 2, ??? .函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域满足 x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , 所以函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域为 ? 2, ??? .
x 28 . 若 函 数 f ( x)? a (a ? 0 ,a ? 在 1 ) [-1,2] 上 的 最 大 值 为 4, 最 小 值 为 m, 且 函 数

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g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.
【答案】 答案:

1 1 解析:当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ? ,此时 g ( x) ? ? x 4 2

1 1 为减函数,不合题意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16
另解:由函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数可知 1 ? 4m ? 0, m ?

1 ; 4 1 不 2

?1 2 当 a ? 1 时 f ( x) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? a ?

?1 符合题意,舍去;当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4 ,解得 a ?

1 ,此时 4

最小值为 m ? a ?
2

1 1 ? ,符合题意, 16 4

故 a=

1 . 4
1

? 0 ? x ? c, ?x 2 , 29. 已知函数 f ( x) ? ? 其中 c ? 0 .那么 f ( x ) 的零点是_____;若 f ( x ) 的 2 ? ? x ? x, ? 2 ? x ? 0,
值域是 [? , 2] ,则 c 的取值范围是_____ 【答案】

1 4

?1 和 0 , (0, 4] ;

30.在函数 f ( x) ? 1gx 的图象上有三点 A、B、C,横坐标依次是 m ? 1, m, m ? 1(m ? 2). (1)试比较 f (m ? 1) ? f (m ? 1)与2 f (m)的大小; (2)求△ABC 的面积 S ? g (m) 的值域.

【答案】
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(2) S ? g (m) ? S ABB1 A1 ? SCBB1C 1 ? SCAA1C 1

1 1 1 ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg m] ? [lg(m ? 1) ? lg(m ? 1)] ? 2 2 2 2
1 m2 S ? lg 2 (m ? 1)(m ? 1)
1 m2 1 1 ? lg 2 ? lg(1 ? 2 ) , 2 m ?1 2 m ?1
因为 m ? 2 时,单调递减,所以 0 ? S ? lg

1 2

4 3

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