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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第一章§7.3知能演练轻松闯关

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1. 用一平面去截体积为 4 3π 的球, 所得截面的面积为 π, 则球心到截面的距离为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 解析:选 C.由已知得球的半径为 R= 3,又 πr2=π,∴r=1,∴d= R2-r2= 2. 2.(2012· 高考课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的 距离为 2,则此球的体积为( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 解析:选 B.设球的半径为 R,由球的截面性质得 R= ? 2?2+12= 3,所以球的体积 V 4 = πR3=4 3π. 3 3.(2011· 高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(

)

2π A.8- 3

π B.8- 3

2π C.8-2π D. 3 解析:选 A.主视图与左视图一样是边长为 2 的正方形,里面有两条虚线,俯视图是边 长为 2 的正方形与直径为 2 的圆相切, 其直观图为棱长为 2 的正方体中挖掉一个底面直径为 2 的圆锥. 1 1 2π V 正方体=23=8,V 圆锥= πr2· h= π×2= , 3 3 3 由于该几何体的体积为正方体的体积与圆锥的体积之差,所以该几何体的体积为 V 正方体 2π -V 圆锥=8- ,故选 A. 3 4.如果两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( ) A.8∶27 B.2∶3 C.4∶9 D.2∶9 R V1 R3 8 R 2 1 1 1 ?3 解析:选 C.∵ = 3,∴? ?R2? =27,∴R2=3, V2 R2 S1 4πR2 1 ?R1?2=?2?2=4,故选 C. ∴ = 2= S2 4πR2 ?R2? ?3? 9 5.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )

6 6 π B. π 2 3 6 6 C. D. 2 3 解析:选 A.设正方体棱长为 a, 则球的半径 6 2 R= a2+? a?2= a. ?2 ? 2 2 6 6 ∴V 半球= π? a?3= πa3, 3 ?2 ? 2 6 6 ∴V 半球∶V 正方体= πa3∶a3= π. 2 2 6.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 解析:由题意可得球的直径 d 即为正方体的体对角线, 则 d= 32+32+32=3 3, 3 32 故球的表面积为 S=4π( ) =27π. 2 答案:27π 7.棱长为 2 的正方体内有一个球,并且该球与正方体的六个面相切,则球的体积是 __________. 4 4π 解析:球的直径等于正方体的棱长,则球的半径为 1,故球的体积为 π×13= . 3 3 4π 答案: 3 8.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为__________. 解析:设球的半径为 R,截面圆的半径为 R2-1, 截面圆的面积 S=π( R2-1)2=(R2-1)π=π, 4 8 2π ∴R2=2?R= 2,球的体积 V= πR3= . 3 3 8 2π 答案: 3 9.某个几何体的三视图如图所示(单位:m). (1)求该几何体的表面积(结果保留 π); (2)求该几何体的体积(结果保留 π). A.

解:由三 80 视图可知,该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径 为 1 m 的半球. (1)该几何体的表面积为 1 S= ×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2). 2 (2)该几何体的体积为

1 4 2π V=23+ × ×π×13=8+ (m3). 2 3 3 10.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓 碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直 径和圆柱的高相等,圆锥的顶点是圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱 的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比. 解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h, 则 V 圆柱=πr2h.圆锥的底面半径为 r,高为 h, 1 则 V 圆锥= πr2h.球的半径为 r, 3 4 所以 V 球= πr3.又 h=2r, 3 1 2 ? ?4 3? 2 所以 V 圆锥∶V 球∶V 圆柱=? ?3πr h?∶?3πr ?∶(πr h) 2 3? ?4 3? 3 =? ?3πr ?∶?3πr ?∶(2πr )=1∶2∶3.

1.(2011· 高考湖北卷)设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合 适的是( ) A.V1 比 V2 大约多一半 B.V1 比 V2 大约多两倍半 C.V1 比 V2 大约多一倍 D.V1 比 V2 大约多一倍半 3 解析:选 D.设正方体的棱长为 a,则球的半径为 a,得正方体的体积为 a3,球的体积 2 4π 3 3π 3 3π 3 为 ? a?3= a .则 a -a3≈1.7a3.故选 D. 3? 2 ? 2 2 2.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水, 若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 ________cm. 4 解析:设球的半径为 r cm,则由题意可得 3V 球+V 水=V 柱,即 3× πr3 3 +πr2×8=πr2×6r,解得 r=4. 答案:4

3.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心 a 2 作截面如图(1),所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr1 =πa2. 2

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图

2 2 a,所以 S2=4πr2 =2πa2. 2 (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3),所以有 2r3 3 2 = 3a,r3= a,所以 S3=4πr2 3=3πa . 2 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 2 4.高为 的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 点 S, A, 4 B,C,D 均在半径为 1 的一个球面上(如图所示),其中⊙O1 为正方形 ABCD 的外接圆,⊙O2 所在的平面平行于⊙O1 所在平面.求: (1)SO1 的长度; (2)以 O 为顶点,⊙O2 为底面的圆锥的表面积及体积. 解:(1)由球的性质可得:O1O,O2O 与⊙O1,⊙O2 所在的平面都是垂直的. ∵四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形,∴BD= 2, 1 2 ∴O1B= BD= . 2 2 2 2 连接 OB,则△O1OB 为 Rt△,且 OB=1,BO1= ,则 OO1= OB2-BO2 .又∵四 1= 2 2 2 2 棱锥 S-ABCD 的高为 ,∴O2O1= ,∴O2 为 OO1 的中点, 4 4 连接 OS,O2S,∵O2 为 OO1 的中点,且 O2S⊥O1O, ∴△O1SO 为等腰三角形,且 OS=SO1, ∴SO1=OS=1. (2),2r2= 2a,r2= (2)

1 2 由(1)知 OO2= OO1= ,且 OO2⊥⊙O2 所在平面, 2 4 2 2 14 在 Rt△OO2S 中,OO2= ,OS=1,则 O2S= OS2-OO2 1- = ,即⊙O2 2= 4 16 4 14 的半径 r= .∴以 O 为顶点,⊙O2 所在平面为底面的圆锥的表面积为: 4 14 7 7+2 14 S=πrl+πr2=π× ×1+π× = π, 4 8 8 1 1 7 2 7 2π 体积为:V= πr2· OO2= π× × = . 3 3 8 4 96


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