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1.3.2必修二


第一章

1.3.2

1.若火星的半径与地球的半径之比是 1∶2,则地球表面积与火星表面积的比是( A.1∶4 C.1∶8 B.4∶1 D.8∶1

)

解析:地球表面积与火星表面积之比是地球半径与火星半径的平方比. 答案:B 2.一飞行昆虫被长为 12 cm 的细绳绑在房间一角,则飞虫活动范围的

体积为( A.144π cm3 C.576π cm3 B.288π cm3 D.864π cm3 )

解析:飞虫活动的范围是以墙角为球心,半径为 12 cm 的球在房间内的部分,即整个球 1 的 , 8 1 4 ∴飞虫活动范围的体积为 × ×π×123=288π(cm3) 8 3 答案:B 3.如图所示,在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都 接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

解析:钢球与三棱锥的四个面相切,与棱无公共点,且三棱锥的高过钢球的球心. 答案:B 4.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面 积的______倍. 解析: 设球的半径为 r, 则其表面积为 4πr2, 分成的两半球的表面积是 4πr2+2·πr2=6πr2, 6πr2 3 ∴两半球的表面积是原整球表面积的 2= 倍. 4πr 2 3 答案: 2 5.某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形(如图).现 把半径为 10 cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽

略不计),求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到 0.01).

解析:设圆锥的底面半径为 r,高为 h. 2 ∵2πr= π·10,∴r=2,h= 102-22=4 6. 5 ∴该蛋筒冰淇淋的表面积 π·102 S= +2π·22=28π≈87.96(cm2), 5 1 2 16 体积 V= π·22×4 6+ π·23= ( 6+1)π 3 3 3 ≈57.80(cm3). 故该蛋筒冰淇淋的表面积约为 87.96 cm2,体积约为 57.80 cm3.

(时间:60 分钟,满分:60 分) 知识点及角度 球的体积与表面积 球的轴截面问题 球的切、接问题 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.若一个球的体积扩大到原来的 27 倍,则它的表面积扩大到原来的( A.3 倍 C.9 倍 答案:C 2.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为( π A. 2 π C. 4 π B. 3 π D. 6 ) B.3 3倍 D.9 3倍 ) 难易度及题号 基础 1、5 3 2、6 10 中档 4、7、8 稍难 9

a?2 2 解析:由轴截面可知,正方体的棱长等于球的直径,所以 S 正=6a2,S 球=4π·? ?2? =a π, S球 π = . S正 6

答案:D 3.一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4 cm,则该球的 体积是( ) 208π B. cm3 3 416 13π D. cm3 3

100π A. cm3 3 500π C. cm3 3

4 500π 解析:根据球的截面性质,有 R= r2+d2= 32+42=5,∴V 球= πR3= (cm3),选 3 3 C. 答案:C 4.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长之和为 12π,这两个球的半径之差为 ( ) A.4 C.2 解析:令 S 球 1=4πR2,S 球 2=4πr2, 由题可知 4πR2-4πr2=48π,① 又 2πR+2πr=12π,② ① 得 R-r=2. ② 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 5.若三个球的表面积之比是 1∶2∶3,则它们的体积之比是__________. 解析:R1∶R2∶R3=1∶ 2∶ 3,
3 3 3 3 3 R1 ∶R3 2∶R3=1 ∶( 2) ∶( 3)

B.3 D.1

=1∶2 2∶3 3. 答案:1∶2 2∶3 3 6. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为______. 解析:由题意可知长方体的体对角线长为 12+22+32= 14, ∴长方体外接球的半径为 ∴球的表面积为 S=4π·? 答案:14π 14 , 2

14?2 =14π. ? 2 ?

7.将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半 径是______. 解析:圆柱形玻璃容器中水面升高 4 cm,则知钢球的体积为 V=π·32· 4=36π cm3,即有 4 3 πR =36π, 3 ∴R=3 cm. 答案:3 cm 三、解答题(共 32 分) 8.(10 分)某个几何体的三视图如图所示(单位:m).

(1)求该几何体的表面积(结果保留 π); (2)求该几何体的体积(结果保留 π). 解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球. (1)该几何体的表面积为 1 S= ×4π×12+6×22-π×12=(24+π)(m2). 2 1 4 (2)该几何体的体积为 V=23+ × ×π×13 2 3 2π 8+ ?(m3). =? 3? ? 9.(10 分)

如图所示,在直径 AB=4 的半圆 O 内作一个内接直角三角形 ABC,使∠BAC=30° ,将 图中阴影部分以 AB 为轴旋转 180° 形成一个几何体,求该几何体的表面积. 解:

如图,过 C 作 CD⊥AB 于 D. ∵AB=2R=4,∠BAC=30° ,AC⊥BC, ∴BC=2,AC=2 3,CD= 3. 所得几何体是以 R=2 为半径的半球 O 挖去以 CD= 3为半径,高分别为 AD、BD 的圆 锥的一半. ∵S 半球=2πR2=2π×22=8π, 1 π S 半圆锥 AD 侧= π·AC· CD= ×2 3× 3=3π. 2 2 1 π S 半圆锥 BD 侧= π·BC· CD= ×2× 3= 3π. 2 2 ∴几何体表面积 S=S 半球+S 半圆锥 AD 侧+S 半圆锥 BD 侧 =8π+3π+ 3π=(11+ 3)π. 10.(12 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内有两球互相外切,并 且第一个球与过 A 点的三个面相切,第二个球与过 C1 点的三个面相切.

(1)求两球半径之和; (2)两球半径各为多少时,两球体积之和最小? 解:(1)如图,AA1C1C 为过球心的对角面,AC1= 3.设两球半径分别为 R、r,则有 R+ r+ 3(R+r)= 3, 3- 3 ∴R+r= . 2

(2)设两球的体积之和为 V,则 4 4 V= π(R3+r3)= π(R+r)(R2-Rr+r2) 3 3

4 = π(R+r)[(R+r)2-3Rr] 3 3- 3 2 4 3- 3 2 3?3- 3? = π× [3R - R +( ) ]. 3 2 2 2 3- 3 ∴当 R=r= 时,V 有最小值. 4


必修二3.2.1训练案

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