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高中数学竞赛模拟试卷(4)


浙江省高中数学竞赛模拟试卷(4) 班级
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c) ? 4 x 2 ? 16 x ? 15, 那么 c ? 2b 的值等于 ( A.3 B.7
3xn ? 1 3 ? xn

姓名


/>C.-3 ,则 ? x n =(
n ?1 2005

D.-7 )

2.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A,1 B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

3.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 4.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 1 2 5 5.设 t ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为 2 3 6 6.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 7.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。 8.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+ xy+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=__________. 三、解答题(小题 16 分+20 分+20 分,共 56 分) kabc 9.已知 a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

1

10.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A, 使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? 11. 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an ?
30 ,求正整数 n. 19

2

高二数学竞赛模拟试卷(4)答案
1.设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c) ? 4 x ? 16 x ? 15, 那么 c ? 2b 的值等于
2 2

解 :取 x ? ?2, 有f (c ? 2b) ? 16 ? 16 ? 2 ? 15 ? ?1 ,而 当 x ? 6 x ? 8 ? ?1时有x ? ?3 ,所 以
2

c ? 2b ? ?3 。
2.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=

3 ? 3 , x =tanα , 解:n+1= x 令 n ), ∴xn+6=xn, x1=1,2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x4=-1, x n ∴xn+1=tan(α n+ 6 3 1? xn 3 xn ?
2005

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。

3.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 答案: 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 4.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 答案:46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数 字时,能组成 C3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不
1 1 1 1 1

2

4

同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 5.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为
x x x

1 2

2 3

5 6

答案:4 解:令

1 2 5 3 4 5 f(x) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 变形为 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 可以发现 2 3 6 6 6 6

函 数 f (x) 是 R 上 的 减 函 数 。 又 因 为 f (3) ? 1, f (1) ? 2, f (0) ? 3 , 从 而 关 于 x 的 方 程

(t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的解分别为 0、1、3,

3

6.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 答案:

13 ? 1 21 ? 1 t ?1 t ?1 , 。 ①若 t2-4>0, t<-2 或 t>2, 解: 即 则由 2 >x(|x|≤1)恒成立, 2 得 ? 1, 2 2 t ?4 t ?4

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 t2-4=0, ?t ? 2 2 2 2

则 t=2 符合题意。 ③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由

t ?1 t ?1 <x(|x|≤1)恒成立, 2 得 t+1>-t2+4; ? ?1 , 2 t ?4 t ?4

t2+t-3>0,解得:t<

? 1 ? 13 ? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或 t> ,从而 <t<2。综上所述,t 的取值范围是: 2 2 2

13 ? 1 21 ? 1 <t< 。 2 2
7.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 解 : 设 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a,b, 。

a 2 ? b2

,





1 1 ab =a+b+ a 2 ? b 2 ,? ab - a - b ? a 2 ? b 2 ,两边平方并整理有 ab-4a-4b+8=0, ?(a-4)(b-4)= 2 2 8,?a,b 都是正整数,?a=5 时 b=12;a=6 时 b=8,所以满足题意的三角形有 2 个。
8.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有 整数 a=__________. 答案: 或-2。 x=y=0 得 f(0)=-1; x=y=-1, f(-2)=-2 得, 1 令 令 由 f(-1)=-2, 又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0, 由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的 正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 二、解答题: 9.已知 a, b, c∈R+,且满足

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) abc

≥ 8(53

1 a 2b 2 c ) ? (55 ) ? 100 。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 10.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外

4

切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求 ∠MAN 的度数。 解: l 为 x 轴, P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, Q 的坐标为(x, 0), A(k, 以 点 设 点 λ ), ⊙Q 的半径为 r, M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。 则: 所以 x=± r ? 2r ? 3 ,
2 2 2

∴tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ? ? ,令 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ? k) ? r ? h ( ? r ? 2r ? 3 ) ? r ? h h ? k ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 2 2 ,所以 m+r ? k r ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r ? 2r ? 3 , n

两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 2 以 ?2m(1 ? nh) ? 2k (2) ,由(1)(2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 h ? (1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ? 1 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 n
时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? 11. 数列 ? an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an ? 解

30 ,求正整数 n. 19

由题设易知,an ? 0, n ?1, 2, ? . 又由 a1 ? 1 , 可得, n 为偶数时,an ? 1 ; n (?1 当 当 )

是奇数时, an ?

1 ?1. an ?1

由 an ?

30 11 30 n ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 19 19 2 2

于是依次可得:

an ?
2 ?1

19 n ? 1 , ? 1 是偶数, 11 2

an?2 ?
4

19 8 n?2 ?1 ? ? 1 , 是奇数, 11 11 4

5

an?2 ?
4 ?1

11 n?6 是偶数, ? 1, 8 4

a n ?6 ?
8

11 3 n?6 是奇数, ?1 ? ? 1 , 8 8 8
8 n ? 14 是偶数, ? 1, 3 8

a n ?6 ?
8 ?1

8 5 n ? 14 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 3 3 16 16 5 2 n ? 14 a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, 3 3 32 32 a n ?14 ?
32 ?1

3 n ? 46 ? 1, 是偶数, 2 32

a n ?46 ?
64

3 1 n ? 46 ?1 ? ? 1 , 是奇数, 2 2 64

an?46 ? 2 ? 1 ,
64 ?1

n ? 110 是偶数, 64

an?110 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 128

6


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