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高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习


高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习 一、利用向量处理平行与垂直问题(特别是探索性问题) 例 1、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 0 , ?BAC ? 30 0 , BC ? 1, A1 A ? 6 , M 是

CC1 得中点。求证: A1 B ? AM
C1 z B1

A1 M



C

B y

A

练习: 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D⊥面 PAC?

z
D1 A1 B1 P D C B C1

y

x

A

例 2 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角线

1 1 BD, AE 上,且 BM ? BD, AN ? AE ,求证: MN // 平面 CDE 3 3

z F N A B x M

E

D y C

练习 1、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F 分别是 BB1,,CD 中点,求证:D1F ? 平面 ADE
z D1 C1

A1

B1

E D F A x B C y

-1-

2、 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, ?ABC ? 60? ,PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. z P

F A

E D y

B 二、利用空间向量求空间的角的问题

x

C

例 1 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E1 ,F1 分别在 A1B1,,C1D1 上,且 E1B1= D1F1=

1 A 1B 1 , 4

1 D1C1,求 BE1 与 DF1 所成的角的大小。 4
A1

z D1 H

F1

C1 E1 B1

D

C y B

A x

G

例 2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, F 分别是 BC 的中点,点 E 在 D1C1 上,且 D1 E1 ? 试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的大小
z D1 E1 C1

1 D1C1, 4

A1

B1

D F A x B

C y

例 3 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。
z D1 C1

A1

B1

D E

C y B

-2-

A x

例 4 已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的大小; (3)二面角 C ? D1 B1 ? B 的大小。
A1 z D1

C1

B1

D

F E

C y B

A x

三、利用空间向量求空间的距离的问题 例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面 ΔABC 中,∠C=90° ,AC=BC=1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离。
A1

z

C1

x A

B1 C

B y

例 2 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2

AB ? AD ? 2
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
B

A

D O E C

例 3 如图,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; D C (Ⅱ)求二面角 B-AC-E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离。

A E

F

B

-3-

空间向量与立体几何考点系统复习 一、利用向量处理平行与垂直问题(特别是探索性问题) 例 1、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 0 , ?BAC ? 30 0 , BC ? 1, A1 A ? 6 , M 是

CC1 得中点。求证: A1 B ? AM
证明:如图,建立空间坐标系
C1 z B1

A1 ( 3 ,0, 6 ), B(0,1,0), A( 3 ,0,0), M (0,0, AM ? (? 3 ,0,
AM ? A1 B ? 0

6 ) 2

A1 M

6 ), A1 B ? (? 3 ,1,? 6 ) 2
A

C

B y

练习: 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D⊥面 PAC? 解:以 D 为原点建立如图所示的坐标系, z D1 C1 设存在点 P(0,0,z) , B1 ???? ? ???? ??? ? A1 AP =(-a,0,z), AC =(-a,a,0), DB1 =(a,a,a), P ∵B1D⊥面 PAC,∴ DB1 ? AP ? 0 , DB1 ? AC ? 0
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D

C

y

∴-a2+az=0 ∴z=a,即点 P 与 D1 重合 B x A ∴点 P 与 D1 重合时,DB1⊥面 PAC 例 2 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角线
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1 1 BD, AE 上,且 BM ? BD, AN ? AE ,求证: MN // 平面 CDE 3 3 证明:建立如图所示空间坐标系,设 AB,AD,AF 长分别为 3a,3b,3c
NM ? NA ? AB ? BM ? (2a,0,?c)
F 又平面 CDE 的一个法向量 AD ? (0,3b,0) 由 NM ? AD ? 0 得到 NM ? AD 因为 MN 不在平面 CDE 内 所以 NM//平面 CDE 练习 1、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F 分别是 BB1,,CD 中点,求证:D1F ? 平面 ADE 证明:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz B x A M N D y C z E

1 DA ? (1,0,0) , DE ? (1,1, , ) 2 1 因为 D1 F ? (0, ,?1) 2
所以 D1 F ? DA ? 0, D1 F ? DE ? 0
-4-

z D1

C1

A1

B1

E D F A x B C y

D1 F ? DA ,

D1 F ? DE

DE ? DA ? D

所以 D1 F ? 平面 ADE

2、 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, ?ABC ? 60? ,PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 解答:根据题设条件,结合图形容易得到:

3a a 2a a ,? ,0) , D(0, a, a) , E (0, , ) 2 2 3 3 3a a C( , ,0) , P(0,0, a) 2 2 3a a CP ? (? ,? , a ) 2 2 B(
假设存在点 F

z P

F

E D y

CF ? ? CP ? (?

3?a ?a ,? , ?a) 。 2 2
B x

A

? ? 3?a ? BF ? BC ? CF ? ? ? , (1 ? )a, ?a ? ? ? 2 2 ? ?
又 AE ? (0,

C

3a a 2a a , ,0) , ) , AC ? ( 2 2 3 3

则必存在实数 ?1 , ? 2 使得 BF ? ?1 AC ? ? 2 AE ,把以上向量得坐标形式代入得

? 3?1 a 3?a 1 ? ? ?? ?? ? 2 2 2 ? ? ? ?1 a 2? 2 a ? ? 1 ? ? ??1 ? ? ?(1 ? )a ? 2 2 3 2 ? ? 3 ?2 a ? ? ??a ? 3 ?? 2 ? 2 ? ?

即有 BF ? ?

1 3 AC ? AE 2 2

所以,在棱 PC 存在点 F,即 PC 中点,能够使 BF∥平面 AEC。 二、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E1 ,F1 分别在 A1B1,,C1D1 上,且 E1B1= D1F1=

1 A 1B 1 , 4

1 D1C1,求 BE1 与 DF1 所成的角的大小。 4

解:设正方体棱长为 4,以 DA, DC, DD1 为正交基底,建立如图所示空间坐标系 D ? xyz

BE1 ? (0,?1,4) , DF1 ? (0,1,4) , BE1 ? DF1 =15

z D1 A1 H

F1

C1 E1 B1

cos ? BE1 , DF1 ??

BE1 ? DF1 | BE1 || DF1 |

?

15 17

D

-5A x G B

C y

例 2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, F 分别是 BC 的中点,点 E 在 D1C1 上,且 D1 E1 ? 试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的大小

1 D1C1, 4

解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底,建立如图所示坐标系 D-xyz

DB1 为 D1AC 平面的法向量, DB1 ? (1,1,1)

z D1

E1

C1

1 3 E1 F ? ( , ,?1) 2 4
cos ? DB1 , E1 F ?? 87 87

A1

B1

D

C y F B

所以直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值为

87 87

A x

例 3 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 解: 求出平面 A1 BD 与平面 C1 BD 的法向量
A1 z D1 C1

B1

n1 ? (1,?1,1) , n 2 ? (?1,1,1)

cos ? n1 , n 2 ??

n1 ? n 2 | n1 || n 2 |

?

1 3

D E A x B

C y

例 4 已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的大小; (3)二面角 C ? D1 B1 ? B 的大小。 解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底,建立如图所示坐标系 D-xyz (1) A1 D ? (?1,0,?1)

1 1 EF ? (? ,? ,0) 2 2
A1

z D1

C1

B1

cos ? A1 D, EF ??

A1 D ? EF | A1 D || EF |
0

?

1 2
D F E A x B C y

A1D 与 EF 所成角是 60 1 (2) A1 F ? (?1, ,?1) , AB ? (0,1,0) 2

cos ? A1 F , AB ??

A1 F ? AB | A1 F || AB |

?

1 3

-6-

(3) AC1 ? (?1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , cos ? AC1 , AC ?? 二面角 C ? D1 B1 ? B 的正弦值为

AC1 ? AC | AC1 || AC |

?

6 3

6 3 三、利用空间向量求空间的距离的问题 例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面 ΔABC 中,∠C=90° ,AC=BC=1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离。 解 1:如图建立空间直角坐标系,由已知得直棱柱各顶点坐标如下: A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0)A1(1,0, 3 ) 1(0,1, 3 ) 1(0,0, 3 ) ,B ,C
∴ A1 B =(-1,1,- 3 ) A1C =(-1,0,- 3 ) B1 A1 =(1,-1,0) , 设 平 面 A1BC 的 一 个 法 向 量 为

n ? ( x, y , z )





z

?x ? ? 3 ?n ? A1 B ? 0 ?? x ? y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? ?y ? 0 ?? ? ?? x ? 3 z ? 0 ?n ? A1C ? 0 ?z ? 1 ? ? ?
x

A1

C1

B1 A C

即 n ? (? 3 ,0,1) 所以,点 B1 到平面 A1BC 的距离 d ?

| n ? A1 B1 | |n|

?

3 2

B y

例 2 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2

AB ? AD ? 2
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。 解: (I)略 B (II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则

A

D O E C

??? ? ??? ? 1 3 B(1,0,0), D(?1,0,0), C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? ( ?1, 0,1), CD ? ( ?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BACD . 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ? ? 4 BA CD z
A

?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos
?

2 . 4
O x B

D

(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

E

C

y

-7-

? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1,0, ?1) ? 0, ? ? ? ???? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ?
?

? x ? z ? 0, ? ?? ? 3 y ? z ? 0. ?

令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量,又 EC ? (? ,

??? ?

1 3 , 0), 2 2

??? ? ? EC.n 3 21 ? . ?点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? 7 7 n
例 3 如图,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; D C (Ⅱ)求二面角 B-AC-E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离。 解(Ⅰ)略 (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O—xyz,如图. F A B ? AE ? 面 BCE,BE ? 面 BCE, ? AE ? BE , 在 Rt?AEB中, AB ? 2, O为AB 的中点,

E

?OE ? 1

? A(0,?1,0), E (1,0,0), C (0,1,2).

AE ? (1,1,0), AC ? (0,2,2). 设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
则?

? AE ? n ? 0, ? x ? y ? 0, ? y ? ? x, ? 解得 ? 即? ? z ? x, ? AC ? n ? 0, ?2 y ? 2 x ? 0. ?

令 x ? 1, 得 n ? (1,?1,1) 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

? cos(m, n) ?

m, n | m |?| n |

?

1 3

?

3 . 3
3 . 3

∴二面角 B—AC—E 的大小为 arccos

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ AD ? (0,0,2) , ∴点 D 到平面 ACE 的距离 d ?

| AD ? n | |n|

?

2 3

?

2 3. 3

-8-


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