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【全国百强校】浙江省温州中学人教新课标A版 必修一 12 函数的概念 教案

时间:2017-08-22


1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
一、教材分析 本节选自《普通高中课程标准数学教科书——数学必修 1》 (人教 A 版)第一章集合与函数概念 1.2 函数及其 表示第一节内容,函数是中学数学中最重要的基本概念之一,它贯穿在中学代数的始终。在初中已初步探讨 了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制,到了高一再次学习函数,是对函数概念的再认识,是

利用集合与对应的思想来理解函数定义,从而加深对函数概念的理解。函数与方程、不等式等数学知识互相 联系、相互转化,其学习也是今后继续研究数学的基础。因此对函数概念的再认识,既有着不可替代的重要 位置,也有着重要的现实意义。 二、教学目标 1. 知识与技能: (1)进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型; (2)会用集合与对应的思想去认识理解函数; (3)理解函数的三要素及函数符号的深刻含义,会求一些简单函数的定义域; 2、过程与方法: (1)在对具体实例的分析与比较中培养学生观察、类比、推理、判断的能力; (2)在对函数概念的提炼中培养学生抽象、归纳、概括的逻辑思维能力; (3)在对函数概念的讲解中强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。 3、情感、态度与价值观: (1)渗透数学历史和文化,激发学生观察、分析、探求的兴趣与热情; (2)强化学生的参与意识,体会在探究过程中从特殊到一般,从具体到抽象,相互联系,相互制约,相互 转化的辩证唯物主义观点; (3)感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美,树立“数学源于实践,又服务于实践”的数学应 用意识。 三、教学重难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 教学难点:抽象符号 y ? f ? x ? 的理解,尤其是对 f 的意义的理解 四、学情分析与设计思路 学生在学习本节内容之前,已经在初中学习过函数的概念,并且知道函数是描述变量之间的依赖关系。 然而,函数概念本身的表述较为抽象,学生对于动态与静态的认识尚为薄弱,对函数概念的本质缺乏一定的 认识,对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中生是用运动变化的观点来认识函数,虽然这 样较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质。对于某些函数用运动变化的观点去看,就不好解释,显得 牵强,但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然。但由于函数概念本身的抽象性,学生往往会望而却 步,从而影响了学生学习数学的积极性。基于此,我根据数学概念教学的 APOS 理论及建构主义学说,以学 生对函数的原有认知水平为新知识的生长点,以学生为主体,为学生创设贴近生活的问题情境,从操作 (Action)、过程(Process) 、对象(Object) 、模型(Scheme)四个阶段引导学生自主探究,合作交流,对函 数概念进行不断的再认识, 从而逐渐理解函数的本质。 以生活实例为基础,从生活中挖掘数学,并将数学应用于生活;以学生原有的知识水平为铺垫,诱发学 生观察、思考、计算,从而理解问题的本质,归纳总结出结论。 五、课时安排 2 课时

第一课时 六、教学过程 (一) 导入新课 1、数学史导入 师:想必大家对函数都不陌生吧!我们在初中已经学习过了函数的相关内容,那你们对函数又有多少了解? 函数又是怎么一步步地发展到今天的呢?首先让我们置身于历史的长河中,追随数学家们的足迹,简单了解 函数的发展史。1673 年,“函数”一词被首次使用;1718 年,瑞士数学家约翰·伯努利定义:凡是变量和 常量构成的式子都叫做函数;1755 年,欧拉则认为函数是变量与变量之间的某种依赖关系;这已经非常接近 于我们所熟悉的函数定义了,后来又经历了近百年的发展,于 1837 年,德国数学家狄利克雷给出了一个类 似于我们初中所学的函数定义:如果对于 x 的每一个值,y 总有一个完全确定的值与之对应,则 y 是 x 的函 数。 2、温故知新 师:谁能回忆一下我们在初中是如何定义一个函数的? 生:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y ,并且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定 的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量, y 是 x 的函数。 师:根据初中所学的函数定义,请同学们判断下面的两个表达式是不是函数。 (1) y ? 1

(在(1)中怎么只有一个变量?函数值 y 为什么没有变化?在(2)中 y 与 x 是怎样一种依赖关系?你能画 出它的图像吗?) 学生:自主探索,分组讨论,自由发言。 (各组意见不能达成一致,争论不休。 ) 师:看来大家对这两个表达式不是很熟悉,而且对于它们是不是函数还存在争议,这说明我们现有的函数概 念还不够完善,因此我们有必要对函数的概念进行丰富与补充,这在历史上是由诸多数学家经过几百年才完 成的工作,今天由我和大家一起来再现这个过程,好不好?顺势给出如下三例。 (二) 新知探索 1、 函数概念引入

师:我们先一起看第一个例子。烟花飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? t 0 ? t ? 4 ,烟花距地面的高度 h 的 变化范围是数集 B ? h 0 ? h ? 29 。从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t ,按照对应关 系 ? ?? ,在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应。 我们在例 2 和例 3 中是不是同样可以找到两个非空数集?它们之间是不是也存在这样一种对应关系?大家试 试看! 师:比较、分析以上三个实例,它们有什么共同特点? 生:其共同点是 (1)都有两个非空的数集 A , B ; (2)两个集合之间都有一种确定的对应关系;

?

?

?

?

(3)对于 A 中的每一个 x ,在 B 中都有唯一确定的 y 值和它对应。

2、 函数定义剖析 (1)师:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系,其中一个变量都 是另一个变量的函数,你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的定义吗? (首先让学生尝试归纳,然后由师生共同概括) 函数定义:一般地,我们有:设 A, B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使得对于集合 A 中 的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ? x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的 一个函数 ? function? ,记作 y ? f ? x ? , x ? A. 其中 x 叫做自变量,

x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函 数 的 定 义 域 ? domain? ; 与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值 , 函 数 值 的 集 合

? f ? x ? x ? A? 叫做函数的值域 ? range? .
练习:下列图象中不能作为函数 y ? f ( x) 的图象的是(
y
2



y
2

y
2

y
2

?2

o

x

?2

o

x

?2

o

x

?2

o

x

(A) (B) (C) (D) (根据例题强调函数定义中的关键词:定义域内任意一个数,唯一确定,对应) (2)函数三要素 问题:集合 A 到集合 B 的对应:f:A→B,使得集合 B 中的元素 y ? ax ? b (a ? 0) 与集合 A 中的元素 x 对应, 如何表示这个函数?定义域和值域各是什么?函数 y ? 呢? 函数 对应 关系 定义 域 值域 教师引导学生归纳总结:函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中,当其中的两要 素已确定时,则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域,对应法则已确定,则函数的值域也就确定 了。 问题:如何判断两个函数是否相同? 引导学生根据函数的三要素进行抽象概括并归纳总结: 答:当两个函数的定义域、对应关系完全一致时,我们就称这两个函数相等。 问题:函数 f : A ? B 的值域为 C,那么集合 B ? C 吗? 答: C ? B 教师总结: 一次 函数 反比例 函数 二次函数
a?0 a?0

k (k ? 0) 呢?函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) x

1.函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应; 2.函数的核心是对应法则,通常用记号 f 表示函数的对应法则,在不同的函数中,f 的具体含义不一样。函 数记号 y=f(x)表明,对于定义域 A 的任意一个 x 在“对应法则 f”的作用下,即在 B 中可得唯一的 y.当 x 在 定义域中取一个确定的 a,对应的函数值即为 f(a). 集合 B 中并非所有的元素在定义域 A 中都有元素和它对应;值域 C ? B ; 3.函数符号 y=f(x)的说明: (1) “y=f(x)”即为“y 是 x 的函数”的符号表示; (2)y=f(x)不一定能用解析式表示; (3)在同时研究两个或多个函数时,常用不同符号表示不同的函数,除用符号 f(x)外,还常用 g(x)、F(x)、 φ (x)等符号来表示。 4.定义域是函数的重要组成部分,如 f(x)=x(x∈R)与 g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。 (2)初高中函数概念比较 初中函数定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y ,并且对于 x 的每一个确定的值, y 都 有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量, y 是 x 的函数。 我们可以看到,对照两个定义,初中的概念是从变量到变量对函数做出阐述,而高中是从一个数集到另 外一个数集,初中定义里面, “变化过程” , “两个变量”在高中的定义里不见了,不必再纠结什么是变量和 常量,什么叫变化过程了,高中定义里更强调用集合和对应来解释函数最原始的概念,突出了定义域,对应 法则和值域,我们用集合和映射的语言来描述函数更揭示了函数的本质。 3、疑难解析

师:学习了函数的新定义,我们再一起看课前的争议,大家现在认为它们是函数吗? 师: y ? 1 实际上是 f ? x ? ? 1, x ? R 的略写,它是一个函数:它的定义域是 R ,值域是 ?1? ,它是从 R 到集 合 ?1? 的一个对应。 师:第二个表达式也是一个函数:它的定义域也是 R ,值域是 ?0,1? ,它是从 R 到集合 ?0,1? 的一个对应,这 是历史上著名的狄利克雷函数 D ? x ? 。

4、区间的概念
区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

{x | a ? x ? b} ? [a, b] {x | a ? x ? b} ? [a, b) {x | a ? x ? b} ? (a, b]

{x | a ? x ? b} ? (a, b) {x | x ? b} ? (??, b] {x | a ? x} ? [a,??)
定义
{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

名称 闭区间 开区间

符号

数轴表示
? a ? b

[ a, b] ( a, b) [ a, b)

半开半 {x | a ? x ? b} 闭区间
{x | a ? x ? b} {x | x ? a} {x | x ? a} {x | x ? b} {x | x ? b}

? a

? b

指出说明: (1)区间是集合; (2)区间的左端点必小于右端点; (3)无穷大是一个符号,不是一个数; (4)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须是小括号。 (三) 例题分析 例 1.已知函数 f ( x) ?
x?3? 1 x?2

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a ? 0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。 让学生思考,并提问个别学生。 师问:函数的定义域是什么? 答:函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. 追问: f ( x) 与 f ( a ) 有何区别与联系? 点拨: f ( a ) 表示当自变量 x ? a 时函数 f ( x) 的值, 是一个常量, 而 f ( x) 是自变量 x 的函数, 它是一个变量,

2 3

f (a ) 是 f ( x) 的一个特殊值。
变式训练 例 2.下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1) y ? ( x ) 2 (2) y ? 3 x 3 (3) y ?

x2

(4) y ?

x2 x

师问:判断函数相等的依据是什么? 变式:若改(2)为 y ? 3 t 3 呢? 思考:你能举出一些函数相等的具体例子吗? (四) 拓展提升(可作课后作业) 已知函数 f ( x ) 满足: f ( p ? q) ? f ( p) f (q) , f (1) ? 3 ,则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) f 2 (5) ? f (10) ? ? ? ? ? _____ . f (1) f (3) f (5) f (7) f (9)
答案:30 (五) 课堂小结 (1) 函数的概念及其三要素 (2) 函数定义域的球阀以及对函数符号 f(x)的理解 (六) 课后作业 习题 1.2 A 组 1.5 第 2 课时 一、温故知新 1、 复习函数的概念、三要素
4 2 例:已知 A ? {1, 2,3, k} , B ? {4,7, a , a ? 3a} , a ? N , k ? N , x ? A , y ? B , f : x ? y ? 3x ? 1 是

从定义域A到值域B上的一个函数,求 a ,k,A,B. 解:由已知条件和函数的定义可知: 10= a 4 10= a 2+3 a ⑴ 或 2 3k+1= a +3 a 3k+1= a 4 ⑴显然无解,∵ a ∈N+,解⑵得: a =2,k=5 ∴A={1,2,3,5} ,B={4,7,10,16} . 2、函数相等的条件



二、如何求函数的定义域? 题型一:若 f(x)为整式,则定义域是 R 题型二:若 f(x)为分式,则定义域是使分母不等于 0 的实数的集合; 例 1:? f ( x) ?

1 x 1 x ?4 1 2、 f ( x ) ? 2 x ? 16
? f ( x) ?
2

解:要使函数有意义,必须使 分母不等于 0

1 x?2 1 练习:1、 f ( x ) ? 2x ?1 1 3、 f ( x) ? 2 x ? 2x
? f ( x) ? 例 2:? f ( x) ?

题型三:若 f(x)为偶次根式,则定义域是函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;

x

? f ( x) ? 3x ? 2 2、 f ( x) ? 3x ? 4

练习:1、 f ( x) ? 2 ? 4 x

题型四:若 f(x)为零次幂,则定义域是底数不为 0 的实数的集合; 例 3:?f(x)= x0 ?f(x)= (2x-1)0 练习:1、f(x)=(x-1) 0 2、f(x)=(4-3x) 0 题型五:若 f(x)由几部分的数学式子构成的函数,则定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部 分定义域的交集) ;

例 4、求下列函数的定义域: (1) y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

; (2) y ? 2x ? 3 ?

1 2?x

?

1 . x



(2)由 ?

? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, 得? | x | ? x ? 0 , ? ? x ? 0,

故函数 y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

是{x|x<0,且 x≠ ? 1 }.

3 ? ?x ? ? 2 , ?2 x ? 3 ? 0, ? (4)由 ? ?2 ? x ? 0, 即 ? x ? 2, ?x ? 0 ? x ? 0, ? ? ?

∴?

3 ≤x<2,且 x≠0, 2

故函数的定义域是{x| ?

3 ≤x<2,且 x≠0}. 2

题型六:实际问题中,定义域要受到实际意义的制约。 提升巩固

1 ,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是________. 1? x 2、已知函数 f ( x ) 的定义域是 [?1,1] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是_______.
1、已知函数 f ( x ) ? 3、已知函数 f (2 x ? 3) 的定义域是 [?4,5] ,求函数 f (2 x ? 3) 的定义域; (志宏 P42)

( x ? 1)2 ? 1 ? x 的定义域为_______. x ?1 1 5、若 f ( x) ? 的定义域为 M, g ( x) ?| x | 的定义域为 N,令全集 U=R,则 M ? N 等于_____ x
4、函数 y ? 三、如何求函数的值域


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