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1.2.4诱导公式(3)


1.2.4 诱导公式(三) 练习课

诱导公式的综合运用 例1.求下列三角函数的值: 5? (1)sin240? ; (2) cos ; (3) cos(-252? ); (4)
7? sin(- 6

4



解:(1)sin240? =sin(180? ) +60?

r />=-sin60?
3 ?? 2

5? ?? ? ? cos ? ? ? ? (2)cos 4? 4 ? 2 ?
? ? cos 4
?? 2

(3) cos(-252? )=cos252? = cos(180? ) +72? =-cos72?
5 ?1 ?? 4

?? 7? ? (4) sin(- )=-sin ? ? ? ? 6 6? ? ?

=-sin(- 6 )
? =sin 6 1 ? 2

例2.求下列三角函数的值:
5? (1)sin(-119?45′); (2) cos ; 3 7? (3)cos(-150? ); (4) sin
4

解:(1) sin(-119?45’)=-sin119?45’

=-sin(180? -60?15’)
= -sin60?15′ =-08682.

? 5? (2) cos 3 =cos( 2? ? 3 )

1 ? =cos 3 = 2

(3)cos(-150? )=cos150?

=cos(180? -30? )
=-cos30?
3 ?? 2

7? ? (4) sin =sin( 2? ? ) 4 4

? =-sin 4

2 ?? 2

? 31? 例3.求值:sin ? ? ? 6

? 11? ? 4? ? ? -cos ? 2? ? ? -sin 解:原式=-sin? 3 ? 6 ? ? 10 ?? ? ? ?? ? =-sin? ? ? ? -cos ? ? ? ? +sin 10 6? 3? ? ?

10? 11? ? ) ? sin ? ? cos(? 3 10 ? 7? ? 4? ? ?

? ? ? =sin 6 +cos +sin 10 3
1 1 = 2 + 2 +0.3090=13090

sin(3? ? ? ) ? cos(? ? 4? ) 例4.化简: cos(?? ? 5? ) ? sin(?? ? ? )

sin(? ? ? ) ? cos? 解:原式= cos(? ? ? ) ? [? sin(? ? ? )]

cos ? ? ?1 cos ?

sin? [? ? (2n ? 1)? ] ? 2 sin? [? ? (2n ? 1)? ] (n ? Z ) 例5.化简: sin(? ? 2n? ) cos(2n? ? ? )

sin[(? ? ? ) ? 2n? ] ? 2 sin[(? ? ? ) ? 2n? ] 解:原式= sin(? ? 2n? ) cos(2n? ? ? )

sin(? ? ? ) ? 2sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2sin ? ? sin ? cos ?
3 ?? cos ?

1 ? cos(180? ? ? ) cos(?? ) ? tan3 ? 例6.求证: 1 ? sin(360? ? ? ) sin(540? ? ? )

证明:左边=

1 ? cos ? cos ? 1 ? sin ? sin(180? ? ? )

1 ? cos ? ? cos ? 1 ? sin ? sin ?

1 ? cos 2 ? ? cos ? 2 1 ? sin ? sin ?

sin 2 ? sin ? ? cos ? cos 2 ?

=tan3α=右边,

所以,原式成立.

1 3? cos( 例7.已知. ? ? ? ) ? ? , ? ? ? 2? 2 2 求 sin(2? ? ? ) 的值.
1 解:由已知条件得 cos ? ? 2 3? ? ? ? 2? 又
2

所以 sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ? ?(? 1 ? cos2 ? )
1 2 3 ? 1? ( ) ? 2 2

练习:
1.在△ABC中,若最大角的正弦值是 △ABC必是 ( C ) (A)等边三角形 (B)直角三角形
2 2

,则

(C)钝角三角形

(D)锐角三角形

2. 设A,B,C是三角形的三个内角,下列关 系恒等成立的是( B ) (A)cos(A+B)=cosC (C)tan(A+B)=tanC (B)sin(A+B)=sinC
C A? B (D)sin =sin 2 2

3.化简

1 ? 2sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos 170?
2

=

1

.

4.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中α、β、 a、b均为非零常数,且已知
15 f(2006) = ? 16

,则f(2007) =

15 16

.

2cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 解:f(θ)= 2 ? 2cos2 ? ? cos?
(cos? ?1)(2cos2 ? ? cos? ? 2) ? 2 2cos ? ? cos? ? 2

2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? cos( ?? ) ? 3 5.设f(θ)= , 2 2 ? 2 cos (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? 求f( )的值. 3

? ? 1 ∴f( )=cos 3 -1=- 2 3

=cosθ-1

6.已知cosα= 值.

1 , 3

cos(α+β)=-1,求cos(2α+β)的

解:∵cos(α+β)= - 1, ∴α+β=2kπ+π, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β) = cos(π+α)=-cosα
1 =-3


诱导公式2.3.4

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