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北京市西城区2011年高三二模试卷数学理科


北京市西城区 2011 年高三二模试卷 数学理科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,0, a ? 3} ,且 A ?

B ,则 a 等于 (A) 1 (B) 0
2

(C) ?2
3

(D) ?3

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i+2i ? 3i 所对应的点落在 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限

3.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 为钝角三角形”的 “ (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

??? ??? ? ?

4.已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面 ABC .则下列结论不正确的是 ...
(A) CD // 平面 PAF (B) DF ? 平面 PAF (C) CF // 平面 PAB (D) CF ? 平面 PAD 5.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为 2 a b
(B) 3 (C) 2 y (D) 3 P x A O B

(A) 2

6.函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示, 设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则

tan ?APB ?

(A) 10

(B) 8

(C)

8 7

(D)

4 7

7. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ?13 , 那么满足 ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? 102 的整数 k
1

(A)有 3 个 (C)有 1 个

(B)有 2 个 (D)不存在

8.设点 A(1, 0) , B(2,1) ,如果直线 ax ? by ? 1 与线段 AB 有一个公共点,那么

a 2 ? b2
(A)最小值为

1 5 1 5

(B)最小值为

5 5 5 5

(C)最大值为

(D)最大值为

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 ?ABC 中,若 B ? 2 A , a : b ? 1: 3 ,则 A ? _____. 10.在 (

1 ? x )5 的展开式中, x 2 的系数是_____. 2 x

D C A O
?

11. 如图, AB 是圆 O 的直径,P 在 AB 的延长线上,PD 切圆 O 于点 C .已知圆 O 半径为 3 , OP ? 2 ,则

B P

PC ? ______; ?ACD 的大小为______. ? 12.在极坐标系中,点 A(2, ) 关于直线 l : ? cos ? ? 1 的对 2
称点的一个极坐标为_____. 13.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) . 则 f (2) ? ______;
开始 输入 a , b

a?b




f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为______. n?? a an , 14.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , n ?1 ? 其中 ? ? R , n ?1 n ? 1, ? . 2,
①当 ? ? 0 时, a20 ? _____;

S?b
输出 S 结束

S?a

②若存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ,则 ? 的取值范围是_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 2 x

sin( x ? ) 4

?

.

2

( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x) ?

4 x ,求 sin 2 的值. 3

16.(本小题满分 13 分) 如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿
?

对角线 AC 折起,使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . (Ⅰ)若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 ; 的 (Ⅲ)设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 ,并证明 你的结论.

M

17.(本小题满分 13 分) 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手, 乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓 球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望.

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? )e ( x ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

a x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e , 求 a 的值.
5

3

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 且椭圆上一点与椭圆的两个焦 2 a b 3

点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求 ?ABC 面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分) 若 A1 , A2 ,?, Am 为集合 A ? {1,2,?, n}(n ? 2 且 n? N* ) 的子集,且满足两个条件: ① A ? A2 ??? Am ? A ; 1 ②对任意的 {x, y} ? A ,至少存在一个 i ? {1,2,3,?, m} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} . 则称集合组 A1 , A2 ,?, Am 具有性质 P . 如图, n 行 m 列数表, 作 定义数表中的第 k 行第 l 列

a11

a12 a 22


? ?

a1m

?1 的数为 a kl ? ? ?0

(k ? Al ) (k ? Al )

a 21


a2m


.


?

(Ⅰ)当 n ? 4 时,判断下列两个集合组是否具有性 质 P ,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由; 集合组 1: A ? {1,3}, A2 ? {2,3}, A3 ? {4} ; 1 集合组 2: A ? {2,3, 4}, A2 ? {2,3}, A3 ? {1, 4} . 1

a n1

an2

a nm

(Ⅱ)当 n ? 7 时,若集合组 A1 , A2 , A3 具有性质 P ,请先画出所对应的 7 行 3 列的一 个数表,再依此表格分别写出集合 A1 , A2 , A3 ; (Ⅲ) n ? 100 时, 当 集合组 A1 , A2 ,?, At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组, 求 t 的值及 | A | ? | A2 | ?? | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数) 1

4

参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 30? 10. 5 11. 1 ; 75 14.
?

12. (2 2, ) (或其它等价写法) 13. ?2 ; ?6

? 4

1 ; (2k ?1, 2k ), k ? N* . 20

注:11、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解 : Ⅰ ) 由 题 意 , sin( x ? ( 所以 x?

? )?0, 4

??????2 分 ??????3 分 ?????4 分 ????5 分 ???7 分

? ? k ?(k ? Z) , 4 ? 所 以 x ? k ? ? (k ? Z) , 4
函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x x ? k ? ?

? ,k ?Z} . 4 cos 2 x cos 2 x ( Ⅱ ) f ( x) ? ? ? ? ? sin( x ? ) sin x cos ? cos x sin 4 4 4

?

2 cos 2 x sin x ? cos x

??????8 分

?

2(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2(cos x ? sin x) .????10 分 sin x ? cos x
4 2 2 , 所 以 cos x ? sin x ? . 3 3
2

因为 f ( x) ?

???11 分

所以, sin 2 x ? 1 ? (cos x ? sin x)

????12 分 ????13 分

? 1?

8 1 ? . 9 9

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点,

5

所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平 面 ABD , AB ? 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD .???3 分 (Ⅱ)解:由题意, OB ? OD ? 3 , 因为 BD ? 3 2 , 所 以 A x , O B

????1 分

z M C D y

?BOD ? 90?

OB ? OD .???4 分
又因为菱形 ABCD ,所以 OB ? AC , OD ? AC . 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.

A(3 3,0,0), D(0,3,0), B(0, 0,3) . ??? ? ??? ? 所以 AB ? (?3 3,0,3), AD ? (?3 3,3,0),
设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???6 分

??? ? ??3 3x ? 3z ? 0, ? AB ? n ? 0, ? ? 则有 ? ???? 即: ? ? AD ? n ? 0 ??3 3x ? 3 y ? 0 ? ?
令 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 3 ,所以 n ? (1, 3, 3) . ????7 分 因为 AC ? OB, AC ? OD ,所以 AC ? 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 所以平面 BOD 的法向量为 n0 ? (1,0,0) . ?????8 分

cos? n0 , n? ?

n0 ? n 1 7 , ? ? n0 n 1? 7 7

因 为 二 面 角 A ? B D? O 锐 角 , 是 所 以 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 为 的

7 . 7

????9 分

(Ⅲ)解:因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ( x1 , y1 , z1 ) , BN ? ? BD , 则 ( x1 , y1 , z1 ? 3) ? ? (0,3, ?3) , 所以 x1 ? 0, y1 ? 3?, z1 ? 3 ? 3? ,

??? ?

??? ?

??? ? 则 N (0,3? ,3 ? 3? ) , CN ? (3 3,3?,3 ? 3?) ,
解得 ? ?

?????10 分

2 2 2 由 CN ? 4 2 得 27 ? 9? ? (3 ? 3? ) ? 4 2 ,即 9? ? 9? ? 2 ? 0 ,?11 分

1 2 或? ? , 3 3

?????12 分 ????13 分

所以 N 点的坐标为 (0, 2,1) 或 (0,1, 2) .

??? ? ???? ??? ???? ? (也可以答是线段 BD 的三等分点, BN ? 2 ND 或 2BN ? ND )
6

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知

P( A) ?
?

C32 2 C52C4
1 1 1 ? ? . 10 2 20

??????3 分

??????5 分 ?????6 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 .

C32 3 1 P( X ? 0) ? 2 2 ? ? , C5 C4 10 ? 6 20 P( X ? 1) ?

?????7 分

1 1 1 C2C3C32 ? C3 2 ? 3 ? 3 ? 3 7 , ? ? 2 C52C4 10 ? 6 20 1 C32C3 3? 3 3 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

??????9 分

P( X ? 3) ?

??????10 分

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?
X 的分布列: X
P

9 .????11 分 20
3 3 20
?????12 分 ?????13 分

0 1 20

1 7 20

2 9 20

E( X ) ? 0 ?

1 7 9 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 20 20 20 20 10

18、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? a x e , x2 x2 ? 2 x ? 2 x e , x2

??????3 分

当 a ? 2 时, f ?( x) ?

f ?(1) ?

1? 2 ? 2 1 ? e ? e , f (1) ? ?e , 12

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ex ? 2e ,???5 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) , 所以,所求面积为 ???6 分 ???7 分

1 ? 2 ? ?2e ? 2e . 2

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点,

7

所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,??8 分
2

?? ? a 2 ? 4a ? 0, 则? ?a ? 0.
所以 a ? 4 . 设 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点, 则 x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? a , 因为, f ( x1 ) f ( x2 ) ? e5 , 所以,

??9 分

??10 分

??11 分

x1 ? a x1 x2 ? a x2 e ? e ? e5 , x1 x2

???12 分



a ? a2 ? a2 a x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 ? x2 e ? e5 , e a ? e 5 , e ? e5 , a x1 x2

解得, a ? 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点, 所以 a ? 5 . 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 , 所以 2a ? 2c ? 6 ? 4 2 , 又椭圆的离心率为 ???1 分 ???14 分

c 2 2 2 2 2 2 ,即 ? ,所以 c ? a , ???2 分 a 3 3 3
??4 分 ???5 分

所以 a ? 3 , c ? 2 2 .

x2 ? y2 ? 1 . 所以 b ? 1 ,椭圆 M 的方程为 9

(Ⅱ)方法一:不妨设 BC 的方程 y ? n( x ? 3),(n ? 0) ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 3) . n

? y ? n( x ? 3), 1 ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ( ? n ) x ? 6n x ? 9n ? 1 ? 0 , 2 9 ? ? y ?1 ?9
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 因为 3 x2 ?

???6 分

81n 2 ? 9 27n 2 ? 3 ,所以 x 2 ? , 9n 2 ? 1 9n 2 ? 1 27 ? 3n 2 , 9 ? n2
8

???7 分

同理可得 x1 ?

???8 分

所以 | BC |? 1 ? n

2

6 9n 2 ? 1

, | AC |?

1 ? n 2 6n 2 , n 9 ? n2

???10 分

1 2(n ? ) 1 n , S ?ABC ? | BC || AC |? 1 2 64 2 (n ? ) ? n 9 1 设t ? n ? ? 2 , n 2t 2 3 则S ? ? ? , 64 64 8 t2 ? t? 9 9t 8 当且仅当 t ? 时取等号, 3 3 所以 ?ABC 面积的最大值为 . 8
方法二:不妨设直线 AB 的方程 x ? ky ? m .

???12 分

??13 分

???14 分

? x ? ky ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 消去 x 得 (k ? 9) y ? 2kmy ? m ? 9 ? 0 , ???6 分 2 ? ? y ? 1, ?9
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,

2km m2 ? 9 , y1 y2 ? 2 . ① k2 ? 9 k ?9 ??? ??? ? ? 因为以 AB 为直径的圆过点 C ,所以 CA ? CB ? 0 . ??? ? ??? ? 由 CA ? ( x1 ? 3, y1 ), CB ? ( x2 ? 3, y2 ) ,
则有 y1 ? y2 ? ? 得 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? 0 . 将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 3)( y1 ? y2 ) ? (m ? 3)2 ? 0 .

??7 分

??8 分

12 或 m ? 3 (舍). ???10 分 5 12 12 所以 m ? (此时直线 AB 经过定点 D ( , 0) ,与椭圆有两个交点) , 5 5 1 所以 S ?ABC ? | DC || y1 ? y2 | 2
将 ① 代入上式,解得 m ?

1 3 9 25(k 2 ? 9) ? 144 2 .??12 分 ? ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 2 5 5 25(k 2 ? 9)2

9

设t ?

1 1 ,0 ? t ? , k ?9 9
2

则 S?ABC ? 所以当 t ?

9 144 2 ? ?t ? t . 5 25
25 1 3 ? (0, ] 时, S?ABC 取得最大值 . 288 9 8
???14 分

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:集合组 1 具有性质 P . 所对应的数表为:
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

????1 分

????3 分 ????4 分

集合组 2 不具有性质 P . 因为存在 {2,3} ? ?1,2,3,4} ,

有 {2,3} ? A ? {2,3}, {2,3} ? A2 ? {2,3} , {2,3} ? A3 ? ? , 1 与对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ,有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} 矛盾, 所以集合组 A ? {2,3, 4}, A2 ? {2,3}, A3 ? {1, 4} 不具有性质 P .???5 分 1 (Ⅱ)
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

????7 分

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .
(Ⅲ)设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②, 由条件①: A ? A2 ??? At ? A , 1 可得对任意 x ? A ,都存在 i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai , 所以 a xi ? 1 ,即第 x 行不全为 0, 所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0.

????8 分

(注:表格中的 7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同)

?????9 分

由 条 件 ② 知 , 对 任 意 的 {x, y} ? A , 都 至 少 存 在 一 个 i ?{1, 2,3,?, t} , 使

Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} ,所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列的
两个数一定不同.

10

所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同.
t

????10 分
t

因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个, 去掉全是 0 的 t 元有序数组, 共有 2 ? 1 个, 又因数表 M 中任意两行都不完全相同,所以 100 ? 2 ? 1 ,
t

所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个, 选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表,则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性 质P . 所以 t ? 7 . ?????12 分 因为 | A | ? | A2 | ??? | At | 等于表格中数字 1 的个数, 1 所以,要使 | A | ? | A2 | ??? | At | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少, 1 而 t ? 7 时,在数表 M 中,

1 的个数为 1 的行最多 7 行;
2 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行; 3 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行; 4 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行;

因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 . 所以 | A | ? | A2 | ??? | At | 的最小值为 304 . 1 ?????14 分

11


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