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立体几何中二面角(2)

时间:2012-12-31


立体几何之二面角
1、如图 8-32,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E∈BB1,截面 A1EC⊥侧面 AC1。 (1)求证:BE=EB1; (2)若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角的度数。

2、如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD =60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.

3、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 。 (1)求证 BC ? SC; (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小。 (3)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小。

4、如图,在直角梯形 P1DCB 中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=6,BC=3,DC= 6 ,A 是 P1D 的中点,E 是线段 AB 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P -CD-B 成 45° 角. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 PEC 和平面 PAD 所成的锐二面角的大小.

5、如图所示,在边长为 12 的正方形 ADD1 A1 中,点 B, C 在线段 AD 上,且 AB ? 3 ,BC ? 4 , 作 BB1 ? AA1 ,分别交 A1 D1 , AD1 于点 B1 , P ,作 CC1 ? AA1 ,分别交 A1 D1 , AD1 于点 C1 ,

Q, 将该正方形沿 BB1 , 1 折叠, 使得 DD1 与 AA1 重合, 构成如图所示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 . CC

⑴ 求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; ⑵ 求四棱锥 A ? BCQP 的体积; ⑶ 求平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面角的余弦值.

6、如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD, AB ? 2 3 。 (1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

7、 如图,? 是半径为 a 的半圆,AC 为直径, E 为 ? 的中点, B 和点 C 为线段 AD 点 点 AEC AC 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? FD ? 5a , EF ? 6a 。 (1)证明: EB ? FD ; (2)已知点 Q, R 为线段 FE, FB上的点, FQ ?

2 FE , 3

FR ?

2 FB ,求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值。 3

8、 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是 a 的正方形, PA⊥ 平面 ABCD, 且 PA=2AB. (Ⅰ )求证:平面 PAC⊥ 平面 PBD; (Ⅱ )求二面角 B—PC—D 的余弦值.

9、已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD, 且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点。 2

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

10、已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD, 且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点. 2

P M E B

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角;
A N

(Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.
D C

11、如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. P ⑴求证: BD ? FG ; ⑵确定点 G 在线段 AC 上的位置, FG //平面 PBD , 使 并说明理由. 2π ⑶当二面角 B ? PC ? D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成 3 角的正切值.

F

A E G B C

D

12、如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°。 (1)求点 P 到平面 ABCD 的距离; (2)求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。

13、 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, ? 底面 ABCD, SD AB//DC, ? DC, AD ? 平面 SBC . AB=AD=1, DC=SD=2, 为棱 SB 上的一点, E 平面 EDC (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

14、 如图, 正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 ? 2 AB ? 4 , E 在 CC1 点 AA 1 上且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ)证明: AC ? 平面 BED ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小.

D1 A1 B1

C1

E D A B C

15、如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 ,

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60° (I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

16、 P ? ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,其中 AB ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ)求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离.

17、 如图, 棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2, ABC=60° ∠ , 平面 AA1C1C⊥平面 ABCD, A1AC=90° 是 BB1 的中点, 在 BD ∠ .M N 上,3BN=ND (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A1DC1 ; (Ⅱ)求二面角 D—A1A—C 的大小;

18、 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,

CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。

19、 如果在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形, , 侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. P ⑴ 若 G 为 AD 边的中点,求证 BG⊥平面 PAD; ⑵ 求证 AD⊥PB; ⑶ 求二面角 A-BC-P 的大小; ⑷ 若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 D DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论. G C A B

20、如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF 2

(Ⅰ)证明: C , D, F , E 四点共面; (Ⅱ)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小;

PA 21、如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 ,
? ?

点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (I)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由。

22、如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2, BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.

23、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AD ? BC 且 AD ? CD ;平面 CSD ? 平面 ABCD ,

CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2 ; E 为 BS 的中点, CE ? 2, AS ? 3 .求:
(Ⅰ)点 A 到平面 BCS 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? CD ? A 的大小.

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24、如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在 平面互相垂直,△ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45 (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得
?

PM ?平面BCE ?若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;
若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。

25、已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且

AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点。 (I)求证:DE∥平面 ABC; (II)求证:B1F⊥平面 AEF; (III)求二面角 B1—AE—F 的大小的正弦值

26、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、 PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线

EF ? 平面 PCD?

27、已知正方形 ABCD

E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ? ADE

沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) (1) 证明 BF // 平面 ADE ; (2)若 ? ACD 为正三角形, 试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在 直线 EF 上,证明你的结论,并求角 ? 的余弦值。

28、四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 ,

CD ? 2 , AB ? AC .
(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45? ,求二面角 C ? AD ? E 的 大小.
C

A

B

E D

29、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A1 B1 D A E

C1

(Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60° B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 ,求 C B

30、如题,在五面体 ABCDEF 中, AB ? DC ,?BAD ?

?
2

, CD ? AD ? 2, 四边形 ABFE

为平行四边形, FA ? 平面 ABCD , FC ? 3, ED ? 7 ,求: (Ⅰ )直线 AB 到平面 FECD 的距离: (Ⅱ )二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值,
w.w.w.k.s. 5.u.c.o.m

31、如图 9,已知四棱锥 P ? ABCD,PA ⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD为直角梯形,

1 ?BAD ? 90? ,且 AB ∥ CD,AB ? CD . 2
(1)点 F 在线段 FC 上运动,且没

PF FC

? ? ,问当 ? 为何值时,

BF ∥平面 PAD ?并证明你的结论;
( 2 ) 当 BF ∥ 面 PAD 时 , 若 二 面 角 F ? C D? B为 45? , 求 二 面 角

B ? PC ? D 的大小;
(3)在(2)的条件下,若 AD ? 2,CD ? 3 ,求点 A 到平面 PBC 的距离.

32、如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 ,中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移 1 动
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(1)证明: D1E ? A D ; 1

(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 4

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PA 33、如图, 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点, ? 1 , P P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 (Ⅰ)证明 PA ⊥ BF ; (Ⅱ)求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小

34、 如图, 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,?ACB ? 90? ,E 是棱 CC1 上动点,F 是 AB 中点 ,
AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 .

C1

(1)求证: CF ? 平面 ABB1 ;
A1 B1 E

(2)当 E 是棱 CC1 中点时,求证: CF ∥平面 AEB1 ; (3)在棱 CC1 上是否存在点 E , 使得二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45? , 若存在,求 CE 的长,若不存在,请说明理由.
A

C

F

B

35、 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE//CF,? BCF= ? CEF= 90 ? ,AD=

3 ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60 ? ?

D
A

C

B

F
E
36、 如图, 在矩形 ABCD 中, E , F 分别在线段 AB, AD 上,AE ? EB ? AF ? 点
' ' 沿直线 EF 将 V AEF 翻折成 V A EF ,使平面 A EF ? 平面BEF .
' (Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;

2 FD ? 4 . 3

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形

MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长。

37、 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD ,PD ? CD ,E 为 PC 中点, 底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ?ADC =90° AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . , ⑴ 求证: BE ∥ 平面 PAD ; P ⑵ 求证: BC ? 平面 PBD ; E ??? ? ??? ? ⑶ Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二 设 面角 Q ? BD ? P 为 45° .
A D C

B

38、如图,在四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,底面为直角梯形, ?BAD ? 90? ,

BC ? AD 且 AD=2,AB=BC=1,PA= ? (? ? 0).
(Ⅰ )设 M 为 PD 的中点,求证: CM ? 平面 PAB; (Ⅱ )若二面角 B—PC—D 的大小为 150° ,求此四棱锥的体积.

P M A B C D


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