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2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)


2008 年深圳市高三年级第一次调研考试·文科数学

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)
且只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {1, 2} ,则满足条件 M ? N ? {1, 2 , 3 , 4} 的集合 N 的个数是 A. 1 A.若 ?p 则 ?q C.若 q 则 p 3. 若 ? B. 3 C. 4 B.若

?q 则 ?p D.若 ?q 则 p ( C.第三象限 D.第四象限 ( ) ) D. 8 ( ) ( ) 2008.3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,有

2. 已知命题“若 p 则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是

π ? ? ? 0 ,则点 Q(cos ? , sin ? ) 位于 2
B.第二象限

A.第一象限

4. 在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? a7 ? 10 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

5. 如图所示, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π
主视图 左视图





3 2

俯视图

6. 函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的零点个数是 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个





π? ? 7. 电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 I ? A sin ? ?t ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 )的图 6? ?
像如图所示,则当 t ? A. ?5 安 B. 5 安 C. 5 3 安 D. 10 安
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1 时,电流强度是 50





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8. 若函数 h( x) ? 2x ? A. [?2 , ? ?)

k k ( ? 在 (1, ? ?) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3 B. [2 , ? ?) C. ( ?? , ? 2] D. ( ?? , 2]



9. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ,设 甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ,则满足复数 x ? y i 的实部大于虚部的 概率是 A. ( B. )

1 6

5 12

C.

7 12

D.

1 3

10. 在 xOy 平面上, 横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点. 对任意 n ? N? , 连接原点 O 与 点 Pn (n , n ? 4) ,用 g (n) 表示线段 OPn 上除端点外的整点个数,则 g (2008) ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分.其中第 13 题前一空 2 分,后一空 3 分;第 14、15 两小题是选做题,考生只能选做一题,若两题都做,则只以第 14 题的得 分为最后得分.

? ? ? ? ? ? 11. 已知 | u |? 3 , | v |? 4 ,以 u 与 v 同向,则 u ? v ?
12. 准线方程为 x ? 2 的抛物线的标准方程是

. .

13. 图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 、 、 、 祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” , 则 f (5) ? 式表示) ; f (n) ? f (n ? 1) ? . (答案用数字或 n 的解析

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ?

π ( ? ?R )与圆 ? ? 4cos? ? 3

4 3 sin ? 交于 A 、 B 两点,则 AB ?



15. 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O
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的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离为
C



B

O

A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 AC ? 3 , sin A ? cos A ? 2 . (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 BC 的值.

17. (本小题满分 12 分) 如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为 截面,且 AB ? AD ? a , BF ? DH ? b . (Ⅰ)证明:截面四边形 EFGH 是菱形; (Ⅱ)求三棱锥 F ? ABH 的体积.
H G

F E D A B C

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18. (本小题满分 14 分) 某旅游商品生产企业,2007 年某商品生产的投入成本为 1 元/件,出厂价为流程图的输 出结果 p 元/件, 年销售量为 10000 件, 2008 年国家长假的调整, 因 此企业为适应市场需求, 计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每件投入成本增加的比例为 x ( 0 ? x ? 1 ) ,则 出厂价相应提高的比例为 0.75x ,同时预计销售量增加的比例为 0.8x .已知得利润 ? (出厂 价 ? 投入成本) ? 年销售量. (Ⅰ)写出 2008 年预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (Ⅱ)为使 2008 年的年利润比 2007 年有所增加,问:投入成本增加的比例 x 应在什么 范围内? 开始

i ? 0.1, p ? 0.2

p ? p?i
i ? i ? 0.1

p ? 1.1
Y 输出 p 结束 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

N

3 . 2

(Ⅱ)已知点 A(0 ,1) 和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平 分弦 AB ,求实数 m 的值.

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20. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 an ? 0 , a1 为常数,且 ? a1 、 Sn 、 an ?1 成等差数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 1 ? Sn ,问:是否存在 a1 ,使数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a1 的值; 若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 f ( x) ? ax2 ? bx ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意 x ? [1, 9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 t 的取值范围.

1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) . 4

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2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 A 7 B 8 A 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分.其中第 13 题前一空 2 分,后一空 3 分;第 14、15 两小题是选做题,考生只能选做一题,若两题都做,则只以第 14 题的得 分为最后得分. 11. 12 14. 8 12. y 2 ? ?8 x 15. 5 13. 41 , 4( n ? 1)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

π? π? ? ? 16. 解: (Ⅰ)由 sin A ? cos A ? 2 sin ? A ? ? ? 2 得 sin ? A ? ? ? 1 ,由此及 4? 4? ? ?
0 ? A ? π ,即

π π 5π ? A? ? 4 4 4

得 A?

π π π ? ,故 A ? ; 4 2 4 1 3 2 c ? 3 得 c ? 2 2 ,由此及余弦定理得 (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? 2 4 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 9 ? 8 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ?5, 2

故a ? 5 . 17. 解: (Ⅰ)证明:因为平面 ABEF ∥平面 CDHG ,且平面 EFGH 分别交平面 ABFE 、 平面 CDHG 于直线 EF 、 GH ,所以 EF ∥ GH . 同理, FG ∥ EH . 因此,四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 BD ? AC ,而 AC 为 EG 在底面 ABCD 上的射影,所以 EG ? BD . 因为 BF ? DH ,所以 FH ∥ BD . 因此, FH ? EG . 由(1)(2)可知:四边形 EFGH 是菱形; 、 (Ⅱ)因为 DA ? 平面 ABFE , HD ∥ AE ,所以 H 到平面 ABF 的距离为 DA ? a .于 是,由等体积法得所求体积
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??(1)

??(2)

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1 1 1 1 VF ? ABH ? VH ? ABF ? ? S?ABF ? DA ? ? ab ? a ? a2b . 3 3 2 6 18. 解: (Ⅰ)由流程图可知: p ? 1.2 .依题意,得
y ? [1.2 ? (1 ? 0.75 x) ? 1? (1 ? x)] ?10000 ? (1 ? 0.8 x) ? ?800 x 2 ? 600 x ? 2000 ( 0 ? x ? 1 ) ;
(Ⅱ)要保证 2008 年的利润比 2007 年有所增加,当且仅当

??800 x 2 ? 600 x ? 0 ? y ? (1.2 ? 1) ? 10000 ,即 ? . ? ?0 ? x ? 1 ?0 ? x ? 1

3 . 4 x2 ? y2 ? 1 ; 19. 解: (Ⅰ) 4 (Ⅱ)由条件可得直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 .于是,有
解之得 0 ? x ?

? y ? ?x ?1 8 3 ? 2 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 ? xB ? , yB ? ? xB ? 1 ? ? . ?x 2 5 5 ? ? y ?1 ?4
设弦 AB 的中点为 M ,则由中点坐标公式得 xM ?

4 1 , yM ? ,由此及点 M 在直线 l 得 5 5 1 4 3 ? ?m?m?? . 5 5 5

20. 解: (Ⅰ)依题意,得 2Sn ? an?1 ? a1 .于是,当 n ? 2 时,有

?2Sn ? an ?1 ? a1 . ? ?2Sn ?1 ? an ? a1
两式相减,得 an ?1 ? 3an ( n ? 2 ) . 又因为 a2 ? 2S1 ? a1 ? 3a1 , an ? 0 ,所以数列 {an } 是首项为 a1 、公比为 3 的等比数列. 因此, an ? a1 ? 3n ?1 ( n ? N? ) ;

a1 (1 ? 3n ) 1 1 ? a1 ? 3n ? a1 ,所以 1? 3 2 2 1 1 bn ? 1 ? Sn ? 1 ? a1 ? a1 ? 3n . 2 2 1 要使 {bn } 为等比数列,当且仅当 1 ? a1 ? 0 ,即 a1 ? ?2 . 2
(Ⅱ)因为 S n ? 21. 解: (Ⅰ)依题意,有

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1 ? 1 1 ? f (1) ? a ? b ? ? 1 ? a ? ,b ? . 4 ? 4 2 ? f ?(1) ? 2a ? b ? 1 ?

? x ?1? 因此, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? ? ; ? 2 ?
2

? x ? t ?1? (Ⅱ)由 f ( x ? t ) ? x ( 1 ? x ? 9 )得 ? ,解之得 ? ? x (1 ? x ? 9 ) ? 2 ?
2

( x ? 1)2 ? t ? ( x ? 1)2 ( 1 ? x ? 9 )
由此可得

t ? [( x ? 1)2 ]min ? 4 且 t ? [( x ? 1)2 ]max ? 4 ,
所以实数 t 的取值范围是 {t | t ? 4} .

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