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2013年数学高考总复习重点精品课件:4-3 三角函数的图象与性质 116张

时间:2013-03-30


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

走向高考 ·高考一轮总

复习 ·人教B版 ·数学

第四章
第三节 三 函 的 象 性 角 数 图 与 质

第四章

三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第四章

第三节

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基础梳理导学

第四章

第三节

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重点难点

引领方向

重点:三角函数的图象与性质. 难点:1.三角函数性质的应用. 2.五点法画图. 3.三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换.

第四章

第三节

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夯实基础

稳固根基

1. 向 段 一 与 标 平 的 段 以 定 有线:条坐轴行线可规两 种反方,线的向坐轴 相的向若段方与标的
正向 致 就 ___ 一 , __

规定这条线段是正的,否则,就规定它是负的.

第四章

第三节

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2.三角函数线 设角 α 的 边 单 圆 于 终与位交点 轴于 M, 点 A(0 过 1) , P,过 P 点作 PM⊥x α 的终边或终
MP __ __ 、OM 、AT __ __ __ _

作 位 的 线与 单 圆 切 ,角

边的反向延长线相交于点 T, 有 线 则向段

分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线.

第四章

第三节

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3.“五 法 ”作 y=As( ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 点 n i

第四章

第三节

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五的法: 点 取 是设 来相的 求应 x值 对 的 及应

π 3π 0,____ ,π, ,2π_ X=ωx+φ,由 X 取_______ ___2 2

y值 再 点 图 ,描作. y=As( ωx+φ)(A>0,ω>0 的 象 n i ) 图

4. 象 换 函 图 变 :数 可函 由数

y=s x 的 象 如 变 得 : n i 图作下换到

第四章

第三节

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() 相位变换:y=s x―→y=s( x+φ),把 y=s x 图 1 n i n i n i
左 象上所有的点向__ (φ>0 或向_右 (φ<0)平 移 _ ) _ _ 行 动 |φ|个

单位. () 周 变 : 2 期 换 y=s( x+φ)→y=s( ωx+φ),把 y= n i n i
伸长 (0<ω<1 或__ (ω> __ __ ) 缩短 __

s( x+φ)图 上 点 横 标 n i 象 各 的 坐

1 1 到原来的ω倍(纵坐标不变). )

第四章

第三节

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() 振幅变换:y=s( ωx+φ)→y=As( ωx+φ),把 y 3 n i n i =s( ωx+φ)图 上 点 纵 标 n i 象 各 的 坐 __ __ ) 缩短 __ 伸长 (A>1 或__ (0< ),

A<1 到原来的 A 倍(横 标 变 相 变 见 移 换 ) 坐 不 ,位 换 平 变 周期变换和振幅变换都是伸缩变换.

第四章

第三节

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5.当函数 y=As( ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(-∞, n i 2 π +∞))表示一个振动量时,则 A 叫做振幅,T= ω 叫 周 做 1 期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. T 2 π |ω| 函数 y=Acs ωx+φ)(ω≠0 的周期为__ . o ( ) _
π |ω| 函数 y=Atn ωx+φ)(ω≠0 的周期为__ . a( ) _

第四章

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6. 弦 线 正曲

y=s x 的 称 为 n i 对轴

π _______+kπ(k∈Z).对 _x=__ ____2_

(_ ,0 k k 称心 中 为 __π____ ) ∈Z) ; _______ (
余曲 弦线 y=cs x 的 称 为 o 对轴 ; kπ ( ,0 k∈Z). ) ( 2

x=kπ(k∈Z), 称 心 ______ _____ 对中

π ( +kπ,0 k 为___________ ) ∈Z) __________ ( 2

函 y=tn x 图 的 称 心 数 a 象对中为

第四章

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7. 角 数 图 与 质 三函的象性 三函 角数 y=s x n i y=cs x o y=tn x a

图象

第四章

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三 函 角数 定 域 义

y=s x n i

y=cs x o

y=tn x a {x|x∈R,且

R

R

π x≠kπ+ , k∈Z} 2

第四章

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三角 函数 y=s x n i [-1,1], π 当 x=2kπ- (k∈Z) 当 x=2kπ 时(k∈Z), 值域 R, 2 时,ym =-1, n i ym =1, x a 无最大值 [-1,1], y=cs x o y=tn x a

值域和 最值

π 当 x=2kπ+π 时(k∈ 和最小值 当 x=2kπ+ 2 (k∈Z) Z),ym =-1 n i 时,ym =1 x a

第四章

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三角函数

y=sinx 2π 奇

y=cosx 2π 偶

y=tanx π 奇

周期
奇偶性

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三角 函数 y=s x n i y=cs x o y=t x a n

π kπ 对称中心(kπ,0)k∈Z 对称中心(kπ+2, 对称中心( 2 , 0), 对称 π 对称轴 x=kπ+ 2 ,k 0),k∈Z k∈Z 性 对称轴 x=kπ,k ∈Z 无对称轴 ∈Z

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三角 函数 y=s x n i π π 增区间[2kπ-2,2kπ+2] y=cs x o y=tn x a

减 区 间 [2kπ , 在(kπ-π,kπ 2 单调 2kπ+π] π 3π π 减区间[2kπ+2, 2kπ+ 2 ](k 增 区 间 [2kπ - + 2 )(k∈Z)上 区间 ∈Z) π,2kπ k∈Z) 是增函数 ] (

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疑难误区

点拨警示 y=As( ωx+φ)(A>) 在 个 期 n i 0 一周

1. 五 法 函 用 点画 数 内图时应 的象,使

π 3π ωx+φ 取五个值 0、2、π、 2 、2π 算出

对应的 x 的值和 y 值 表 . 如

第四章

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x ↑ ωx+φ y=As( ωx+φ) n i 0 π 2 A π 3 π 2 -A 2π

0

0

0

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也可以先求出其一个值(如令 ωx+φ=0), 后 据 然依 =As( ωx+φ)的 期 顺 列 其 各 . 别 意 出 n i 周,次出余值特注画 正弦数某区内图时所点须闭间 余函在闭间的象,取必在区 内,且必须列出区间的两端点. ...........

y

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2. 既 平 变 、 有 缩 换 三 函 图 变 在 有 移 换又 伸 变 的 角 数 象 换题,特注先移伸和伸再移平 问中应别意平再缩先缩平时 移单位数的区别. 3. 缩 换 应 乘 伸变中该以 1 而不是 m(m 是 缩 倍 伸的数 m ),

牢记无论平移还是伸缩,都仅对坐标进行变换.

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π π 4. 数 y=s x 在[2kπ- ,2kπ+ ],(k∈Z)的每一个 函 n i 2 2 区间上都是增函数,但在 k 取不同值时,对应的两个区间 的并集上不单调.y=cs x,y=tn x 都 类 特 . o a 有似点 如函数 y=tn x 在 一 限 是 函 是 误 ,能 a 第 象 内 增 数 错 的你 说明原因吗?

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5. 数 y=s x、y=cs x 的 象 对 轴 过 象 函 n i o 图的称经图的 最点最点 高或低. 6.y=As( ωx+φ)的 调 间 确 : n i 单区的定 () 当 A>0,ω>0 时 由 1 ,于 =As U 单 (减)时复 函 n i 增 ,合 数 而不式 解等 U=ωx+φ 是 函 , 增数故 y

y=As( ωx+φ)单 (减). n i 增 从

π π 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z)求 x 的 值 出 取范 π 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+

围即 函 的 区 ,不 式 ,该 数 增 间解 等 3 π 得函的调区. 2 (k∈Z)可 该 数 单 减 间

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() 当 A>0, 2 ω<0 时, ∵U=ωx+φ 为减函数, 故再如(1) 的解法,求出单调区间则会导致错误,同样 A<0,ω<0 时 也有类似情况,这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进 行.余弦、正切函数都有类似情形. 一般地,求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,若 ω<0, 先用诱导公式化 x 的系数为正,然后利用复合函数判单调 性的方法,解关于 ωx+φ 的一个不等式即可求得.

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思想方法技巧

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一、“数形结合”方法 在三角函数的图象和性质中, 数形结合思想的运用主要体 现在用三角函数的图象和单位圆中的三角函数线解相关问题, 如求函数的定义域、解三角不等式等. [例 1] 求 数 y= 函 1 s x+2+ cs x的定义域. n i o

第四章

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1 ? ?s x≥- , n i 2 解析:由题意? 如图由单位圆中的三角函数 ?cs x≥0. ?o π 7π ? ?2kπ-6≤x≤2kπ+ 6 , 线可知? ?2kπ-π≤x≤2kπ+π. 2 2 ?

(k∈Z),

∴满足条件的 x 的取值集合为 π π {x|2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 6 2

第四章

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点评:用单位圆中的三角函数线处理三角函数相关问题, 直 、捷准 ,免 复 的 母 论单 圆 三 函 观简 、确避 了 杂 字 讨 .位 是 角 数中的一个重要工具, 三角函数的很多知识都能通过单位圆来 理解、记忆、沟通,复习中应注意单位圆对知识的整合作用.

第四章

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二、转化与化归的思想 有关三角函数的图象与性质的问题, 通常都是通过三角变 换归 基三 函 ,用 本角 数 应性 来 化为 本 角数 利基 三 函相 的质 解 决. 三、解题技巧 (一)五点法求函数 y=As( ωx+φ)的解析式 n i [例 2] 若 数 f(x)=s( ωx+φ)的 分 象 下 所 , 函 n i 部图如图示 则 ω 和 φ 的取值是( )

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π A.ω=1,φ=3 1 π C.ω= ,φ= 2 6

π B.ω=1,φ=-3 1 π D.ω= ,φ=- 2 6

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解析:方法 1:由五点法及图象知: ? π ?- ω+φ=0, ? 3 ? ?2πω+φ=π. ② 2 ?3 ? 1 ? ?ω=2, 解①,②组成的方程组得? ?φ=π. 6 ? ①

第四章

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T 2 π 方法 2:由图可知 = π-(- )=π. 4 3 3 2π 1 ∴T=4π,∴ω= T =2. 1 2 π ∴f(x)=s( n i x+φ),将( π,1)代入可求 φ= +2kπ(k∈ 2 3 6 Z).故选 C.

答案:C

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(二)三 函 的 象 换 巧 角数图变技 1. 移 换 平变 向 x取 , 上 左 负向 与 标 同 为 、向 负 坐 轴 向 正反 为 y取 , 下 正向 y 取 ). 负 3 个位再上移 单后向平 2 (向 x 取 , 右 正

如 y=f(x)图 上 点 左 移 象各向平 个位则需 单,只用

x-(-3 代 x,y-2 代 y 即 得 ) 替 替 可 , ∴y

-2=f(x+3 , y=f(x+3 +2 ) 即 ) . 2. 缩 换 伸变 (或 短 )到 来 缩 原的 从 ) 略
第四章 第三节

将 y=f(x)图 上 点 横 象各的

(或 )坐 伸 纵 标长

x y m倍 则 ,用 代 x(或 代 y)即 . (推 替 替 可 证 m m

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(三)注意弦函数的有界性 (四)在含 s x± x 与 s x、cs x 的 系 中 常 换 n cs i o n i o 关式,作元 s x+cs x=t 化为代数问题解决. n i o

第四章

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(五)三角函数的奇偶性 函数 y=As( ωx+φ)(ωx≠0)为 函 的 要 件 n i 奇数充条为 kπ,k∈Z, 偶 数 充 条 为 为函的要件 φ=

π φ=kπ+2,k∈Z.函数 y=

π Acs ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数的充要条件为 φ=kπ+ ,k∈ o ( 2 Z.为 函 的 要 件 偶 数 充 条 为 φ=kπ,k∈Z.函数 y=Atn ωx+ a( kπ φ= ,k∈Z.它不可能是 2

φ)(A,ω≠0)为 函 的 要 件 奇数充条为 偶函数.

第四章

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(六)直线 y=a 与函数 y=tn x 的图象交点中任两点距离的 a 最小值为周期. 函数 y=s x(y=cs x)相邻两个最大(小)值 之 距 为 n i o 点 间 离 周期,与 x 轴相邻两交点之间距离为半周期.

第四章

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考点典例讲练

第四章

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三角函数图象的变换

[例 1]

要得到函数 y=2( s n i ..

x π + ),x∈R 的 象 只 图,需 3 6 )

把函数 y=2 x,x∈R 的图象上所有的点( s n i A. 左 移 向平

π 单长,把得点横标短 6个 位 度 再 所 各 的 坐 缩

1 到原来的 倍(纵坐标不变) 3

第四章

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B. 右 移 向平

π 个位度再所各的坐缩 单长,把得点横标短 6

1 到原来的3倍(纵坐标不变) C. 左 移 向平 π 个位度再所各的坐伸 单长,把得点横标长 6

到原来的 3 倍(纵坐标不变) D. 右 移 向平 π 单长,把得点横标长 6个 位 度 再 所 各 的 坐 伸

到原来的 3 倍(纵坐标不变)

第四章

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解析:y=2 x s n i

y=2 s n i

? π? ?x+ ? 6? ?

答案:C

点评: 要特别注意: (一)由哪个函数变换为哪个函数. (二) 先平移和先伸缩时,平移单位数的差别.

第四章

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(03 21·

陕西师大附中上学期一模)函数 f(x)=As( ωx+φ)(其 n i g(x)=s2 x 的 n i 图

π 中 A>0,|φ|<2)的 象 图 示 为 得 函 图如所,了到数 象则需 ,只将 f(x)的 象 ( 图 )

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π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向右平移12个长度单位 π C.向左平移 个长度单位 6 π D.向左平移12个长度单位

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T 7π π π 解析:由图可知 A=1, = - = ,∴T=π, 4 12 3 4 2π ∴ ω =π,∴ω=2,∴f(x)=s( n i2 x+φ),

7π 7π 将( ,-1)代入得 s( n i +φ)=-1, 12 6 7π 3π π ∴ 6 +φ= 2 +2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+3,k∈Z. π π ∵|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=s( n i2 2 3 π x+ ), 3

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将 f(x)的 象 右 移 图 向 平 s2 x,故选 A. n i

π 个单位可得,s[( n i2 6

π π x- )+ ]= 6 3

答案:A

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依据三角函数的图象求解析式

[例 2]

如图所示某地夏天从 8~14 时用电量变化曲线近似满足 函数 y=As( ωx+φ)+b. n i
第四章 第三节

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() 这 一 天 的 最 大 用 电 量 为 ______ , 最 小 用 电 量 为 1 ________; () 这段曲线的函数解析式为________. 2 分析: 由三角函数 y=As( ωx+φ)+k 的 象 解 式 , n i 图求析时 第 步由 大 与 小 求 一 ,最 值 最 值 A 及 k;二 ,周 第 步由 期
? T T? T?或2,4? ? ?

求 ω;第三步,代入点的坐标求 φ,若代入点为对称中心时, 须检验.

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解析:() 最大用电量为 50 万 , 小 电 为 1 度最用量

30 万度.

() 观察图象可知,从 8~14 时的图象是 y=As( ωx+φ) 2 n i +b 的半个周期的图象, 1 1 ∴A= ×(0 -30)=10,b= ×(0 +30)=40, 5 5 2 2 1 2π π ∵2· =14-8,∴ω=6, ω ∴y=1s 0 n i
?π ? ? x+φ?+40. ?6 ?

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将 x=8,y=30 代 上 , 得 入式解 ∴所求解析式为 y=1s 0 n i

π φ= . 6 (x∈[1] 84 ,) .

?π π? ? x+ ?+40 6? ?6

答 : ()0 案 1 5 () y=1s 2 0 n i

万 度

30 万 度 (8≤x≤14)

?π π? ? x+ ?+40 6? ?6

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(文)01 ( 1· 2

北海期 京淀中

)如 存 正 数 果在整

ω 和 数 φ, 得 实 使 (0 1) , ,么 ω 那

函 f(x)=cs 2(ωx+φ)的 象 图 示 数 o 图如所 的为 ( 值 )

(图 经 点 象过

A.1

B.2

C.3

D.4
第四章 第三节

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1 1 解析:f(x)= + cs o ( 2 2 2

ωx+2φ),由图可知,

T 3 4 4 2π π 3 1 2 << 4T,∴3<T<2,3<2ω<2,2<ω<4π, 又 ω∈N*,∴ω=2.故选 B.

答案:B

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(理)02 ( 1· 2 (A>0,ω>0 0< ,

河 六 联 南 市 考 φ<) , 导 数 π 其函 )

)已知函数 f(x)=As( ωx+φ), n i f ′(x)的 分 象 图 示 则 部图如所,

函数 f(x)的解析式为(

A.f(x)=4( s n i C.f(x)=2( s n i

1 π x+ ) 2 4 π x+ ) 4

B.f(x)=2( s n i D.f(x)=4( s n i

1 π x+ ) 2 4 1 3π x+ ) 2 4
第四章 第三节

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解析: ′(x)=Aωcs ωx+φ),图 知 f o ( 由象, π 1 2)),∴ω=2,又 Aω=2,∴A=4, ∴f ′(x)=2o cs (

2π 3π =2×( -(- ω 2

1 π x+φ),由 f ′(x)的图象过点( ,0)得, 2 2 1 π 故 2x+4), 选

π π cs 4+φ)=0,∵0<φ<π,∴φ=4,∴f(x)=4( o ( s n i A.
答案:A

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五点法作图

[例 3] 为 π,且

π f(x)=cs ωx+φ)(ω>0,-2<φ<) 的 小 周 o ( 0 最 正期 3 2.

?π ? f?4?= ? ?

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() 求 ω 和 φ 的值; 1 () 在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象; 2 2 () 若 f(x)> 2 ,求 x 的取值范围. 3

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2π 解析:() 周期 T= =π,∴ω=2, 1 ω
?π? ? ? ?π ? π ∵f?4?=cs ?2×4+φ?=cs ?2+φ?=-s o o n i ? ? ? ? ? ?

3 φ= 2 ,

π π - <φ<0,∴φ=- . 2 3

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() f(x)=cs 2 o

? π? ?2x- ?, 表 下 3? 列 如 : ?

π 2x-3 x f(x)

π -3 0 1 2

0 π 6 1

π 2 5 π 12 0

π 2 π 3 -1

3 2π 11 π 12 0

5 3π π 1 2

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图象如图:

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() ∵cs 3 o

? π? ?2x- ?> 3? ?

2 , 2

π π π ∴2kπ-4<2x-3<2kπ+4, π 7π ∴2kπ+ <2x<2kπ+ , 12 12 π 7π ∴kπ+24<x<kπ+24,k∈Z, π 7π ∴x 的范围是{x|kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z}. 24 24

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点评:用“五点法”作图应抓住四条:①化为 y=As( ωx n i +φ)(A>0,ω>0)或 y=Acs ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;② o ( 2π 求出周期 T= ω ;③求 振 出幅 A;④列出一个周期内的五个特

殊 ,画 某 定 间 的 象 ,列 该 间 的 殊 点当 出 指 区 上 图 时应 出 区 内 特 点和区间端点.

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(01 21·

福建莆田市质检

) 某同学利用描点法画函数 π π ω<2,- <φ< )的 象 列 的 分 图,出部数 2 2

y=

As( ωx+φ)(其中 A>0 n i 0< , 据如下表:

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x y

0 1

1 0

2 1

3 -1

4 -2

经 查发 表 中 有 组 据 算 误请 根 上 检 ,现 格 恰 一 数 计 错 ,你 据 述息断数 信推函 y=As( ωx+φ)的 析 应 n i 解式是 ________.

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解析:∵(1 0) ,

和(1 2) ,

关直 于线

x=1 对 , 称故

x=1 与函数 (4,

图象的交点应是最高点或最低点, 故数据(0 1) , -2)在图象上知 A=2,由过(1 0) , π π π ∵- <φ< ,∴φ= , 2 2 6 ∴y=2 s n i 2 s n i
? π? ?ωx+ ?,再将点(,) 2 1 6? ?

错 ,而 误从 由

点知 2 φ=1, s n i

代入得,

? π? ?2ω+ ?=1, 6? ?

第四章

第三节

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π π π 5π ∴2ω+ = +2kπ 或 2ω+ = +2kπ,k∈Z, 6 6 6 6 π ∵0<ω<2,∴ω=3,∴解析式为 y=2 s n i
?π π? ? x+ ?. 6? ?3

答案:y=2 s n i

?π π? ? x+ ? 6? ?3

第四章

第三节

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三角函数的定义域

[ 例 4]

( 文 )01 ( 1· 2

湛江调研)函数 y=g l( s n i

x) +

1 cs x- 的定义域为________. o 2

第四章

第三节

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解: 要函有义应足 析 使数意,满 如, 图使 s x>0 的 x 取 范 是 n i 值围

n i ?s x>0, ? ? 1 o . ?cs x-2≥0 ? 2kπ<x<2kπ+π,k∈Z.

第四章

第三节

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1 使 cs x≥ 成立的 x 取值范围是 o 2 π π 2kπ-3≤x≤2kπ+3,k∈Z, π ∴2kπ<x≤2kπ+ ,k∈Z. 3

π 答案:(2kπ,2kπ+3],k∈Z

第四章

第三节

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(理)求函数 y=lg(2sinx- 2)- 1-2cosx的定义域.

第四章

第三节

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? 2 n i ?2 ?s x> 2 , n i ? s x- 2>0, 解 : x应 足 ? 析 满 ∴? ?1-2s x≥0, c o ? ?cs x≤1. o 2 ? 利单圆的角数可, 用位中三函线得 π 3 π ∴3+2kπ≤x< 4 +2kπ(k∈Z), ∴所 定 域 求义为 π 3 π [2kπ+3,2kπ+ 4 )(k∈Z).

点 : 运 三 函 图 解 也 以但 现 种 角 评 用 角 数 象 答 可 ,出 多 三 函 数,是单圆的角数为. 时还用位中三函线宜
第四章 第三节

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函 y=tn x+ cs x的 义 为 数 a o 定域

____ ____



第四章

第三节

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π ? ?x≠kπ+ , 2 解析:要使函数有意义,应有? ?cs x≥0, ?o π ? ?x≠kπ+2, ∴? ?2kπ-π≤x≤2kπ+π. 2 2 ? π π ∴2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z). 2 2
π π 答案:(2kπ- ,2kπ+ ),k∈Z 2 2

(k∈Z),

(k∈Z),

第四章

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三角函数的值域问题

[例 5]

求列数值: 下函的域

π () y=s x+ 3cs x(|x|≤ ); 1 n i o 2 () y=cs 2x+2 x(-π≤x≤0); 2 o s n i () y=s 2x+2 xcs x+3o 3 n i s n i o cs
2

x.

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分析:三 函 属 初 函 , 而 面 过 求 数 角数于等数因前学的函 值的般法也用三函. 域一方,适于角数 但及弦余函 涉正、弦

数的值域时,应注意正弦、余弦函数的有界性(即| x|≤1, s n i cs x|≤1)对 域 影 . | o 值的响

第四章

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解析:() y=s x+ 3cs x=2( 1 n i o s n i

π x+ ). 3

π π π π 5π 因为-2≤x≤2,所以-6≤x+3≤ 6 . π 所以 s( x+ )有 小 - n i 最值 3 故值域为[-1 2 ,] 1 ,最大值 1, 2

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() y=1-s 2x+2 nx=-( x-1)2+2. 2 n i s i s n i 因为-π≤x≤0, 以 所 - 1≤s x≤0. n i 当 s x=0 时,ym =1, n i x a 当 s x=-1 时,ym =-2. n i n i 所以函数 y=cs 2x+s x(-π≤x≤0)的值域是[-2,1]. o n i

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() y=s 2x+2 xcs x+3o 3 n i s n i o cs 1-cs x o 2 3+3o cs 2 = +s2 x+ n i 2 2 =s2 x+cs x+2= 2s( n i o 2 n i2

2

x x

π x+4)+2.

故函数的值域为[2- 2,2+ 2].

第四章

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点评:求三角函数值域常用的方法. 1. 所 的 角 数 化 二 函 , 过 方 求 将给三函转为次数通配法值 域,例如转化成 y=as 2x+bs x+c 型的值域问题. n i n i 2.化为一角一函形式求. 3.利用 s x、cs x 的 界 求 域 n i o 有性值. 4.换元法. 利 换 法 三 函 的 域 要 意 元 后 等 用 元 求 角 数 值 , 注 换 前 的 价 性,不能只进行换元,不注意其等价性. 5.数形结合.
第四章 第三节

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(文)函数 y=s 2x+s x-1 的值域为( n i n i A.[-1] 1 , 5 C.[- ,1 D ] 4 5 B.[- ,-1 ] 4 5 .[-1, ] 4

)

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解析:令 t=s x,则-1≤t≤1, n i 函数化为 y=t
2

? 1?2 5 +t-1=?t+2? -4, ? ?

1 5 ∴当 t=- 时,ym =- ;当 t=1 时,ym =1. n i x a 2 4 5 ∴-4≤y≤1,故选 C.

答案:C

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(理)01 ( 1· 2

重庆一中月考)函数 f(x)=s 2x+ 3s xcs x 在 n i n o i )

π π 区间[4,2]上的最大值是( A.1 1+ 3 B. 2

3 C.1+ 3 D . 2

第四章

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? 1-cs x o 2 π? 1 3 解析:f(x)= + s2 x=s ?2x-6?+ , n i n i 2 2 ? ? 2

π π π π 5 由 x∈[4,2]知3≤2x-6≤6π, π π π 3 ∴当 2x- = 即 x= 时,f(x)m = ,故选 D. x a 6 2 3 2

答案:D

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三角函数的周期性

[ 例 6] ________.

( 文 ) 函 数 f(x) = s n i

2

? π? ?2x- ? 的最小正周期是 4? ?

第四章

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解析:f(x)=s n i

o ? π? 1-cs 2 ?2x- ?= 4? ?

? π? ?4x- ? 2? ?

2

1 1 =-2s4 x+2, n i 2π π ∴T= = . 4 2
π 答案:2

第四章

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(理)设 数 函

f(x)=2( s n i

π π x+ ). 对 意 若 任 2 5

x∈R, 有 都 )

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立 则 |x1-x2|的最小值为( , A.4 B .2 C.1 D . 1 2

第四章

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分析:∵f(x)的 大 为 最值

2,最小值为-2,

∴对?x∈R,-2≤f(x)≤2. 即 f(x1)=-2 为最小值,f(x2)=2 为 大 , 最值且 (x2,f(x2))为相邻的最小(大)值点,即半个周期. (x1,f(x1)),

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T 解析:f(x)的周期 T=4,|x1-x2|m = =2.故选 B. n i 2
答案:B

点评:考查三角函数的周期,而又不提周期,题目难度不 大,却能考查学生的思维能力,应加强这种小题训练.

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(文)01 ( 1· 2

武调 汉 研 )已 函 知数

f(x)= 3s ωx+cs ωx(ω>) , n i o 0 π, f(x) 则

y=f(x)的 象 直 图与线 的调增间 单递区是
? π ?kπ- A. 1 2 ? ? 5 π ?kπ+ B. 1 2 ?

y=2 的 个 邻 点 距 等 两相交的离于 ( )

5 ? π ,kπ+ ?,k∈Z 1 ? 2 1π ? 1 ,kπ+ ?,k∈Z 1 ? 2

? π π? C.?kπ-3,kπ+6?,k∈Z ? ? ? π 2 ? π ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z D. 6 3? ?
第四章 第三节

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解析:f(x)= 3s ωx+cs ωx=2( n i o s n i

π ωx+ ), 6

由 y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离为 π, 2π 得函数 f(x)的周期为 π,∴ =π,∴ω=2. ω π ∴f(x)=2 n x+6). s ( i 2 π π π 令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,k∈Z, π π 得 kπ-3≤x≤kπ+6,k∈Z.

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∴f(x)的 调 增 间 单递区为 故选 C.

π π [kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 3 6

答案:C

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(理)02 ( 1· 2 5π =4是 数 函 =( ) π π A.4 B 3 .

新标国 课全卷

)已知 ω>0 0< ,

π φ<π, 线 x= 和 x 直 4 φ

f(x)=s( ωx+φ)图象 两 相 的 称 , n i 的条邻对轴则

π 3π C. D . 2 4

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π 5π 解析: 由于直线 x= 和 x= 是三角函数 f(x)=s( ωx+φ) n i 4 4 的图象的两条相邻的对称轴,所以函数 f(x)的 小 周 最正期 T=

5π π π π 2( - )=2π,以 ω=1,以 +φ=kπ+ (k∈Z), 0<φ<π, 所 所 又 4 4 4 2 π 所以 φ=4.

答案:A

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三角函数的奇偶性、单调性

[例 7]

(文)已知函数 f(x)=s2 x-2 n i s n i

2

x.

() 求函数 f(x)的 小 周 ; 1 最正期 () 求函数 f(x)的 大 及 2 最值 f(x)取最大值时 x 的 合 集.

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解析:() 因为 f(x)=s2 x-(1-cs x) 1 n i o 2 = 2s n i
? π? ?2x+ ?-1, 4? ?

所以函数 f(x)的 小 周 为 最正期

2π T= =π. 2

π π π () 由() 知 当 2x+4=2kπ+2, x=kπ+8(k∈Z)时, 2 1 , 即 f(x) 取最大值 2-1.因此函数 f(x)取最大值时,x 的 合 集 为 {x|x=kπ π + ,k∈Z}. 8

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x x 2x (理)已知函数 f(x)=2 s n cs -2 3s i o n + 3. i 4 4 4 () 求函数 f(x)的 小 周 及 值 1 最正期最; π () 令 g(x)=f(x+ ),断 数 2 判函 3 g(x)的 偶 , 说 理 . 奇 性并 明 由

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x 解析:() ∵f(x)=s + 3(1-2 1 n i s n i 2 x x =s 2+ 3cs 2=2( n i o s n i x π 2+3),

2x

) 4

2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 x π 当 s( 2+3)=-1 时,f(x)取得最小值-2; n i x π 当 s( + )=1 时,f(x)取 最 值 n i 得大 2 3 2.

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() 由() 知 f(x)=2( 2 1 s n i π 又 g(x)=f(x+3), ∴g(x)=2[ s n i =2( s n i

x π + ), 2 3

1 π π (x+ )+ ] 2 3 3

x π x cs 2+2)=2o 2. x x - )=2o cs =g(x), 2 2

∵g(-x)=2o cs (

∴函数 g(x)是偶函数.

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(02 21·

北理 京 , 1) 已 函 5 知数

?s x-cs x?s2 x n i o n i f(x)= . s x n i

() 求 f(x)的 义 及 小 周 ; 1 定域最正期 () 求 f(x)的 调 增 间 2 单递区.

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解析:() 由 s x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 1 n i 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?s x-cs x?s2 x n i o n i 因为 f(x)= =2o x(s x-cs x) cs n i o s x n i =s2 x-cs x-1= 2s( n i o 2 n i2 π x- )-1, 4

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

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() 函数 y=s x 的 调 增 间 2 n i 单递区为 Z).

π π [2kπ- ,2kπ+ ](k∈ 2 2

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z)得, 2 4 2 π 3π kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). 所以 f(x)的 调 增 间 单 递区 为 ∈ Z). π 3π [kπ-8,kπ)和(kπ,kπ+ 8 ](k

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点评: 利用三角函数的基本公式作恒等变换, 化三角函数 式为“一角一函”形式后讨论三角函数的性质, 是考查三角函 数的主要命题方式之一, 另外结合解三角形或与平面向量相结 合,都是三角函数常见命题方式.

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(文)01 ( 1· 2 滨州月考)如果函数 y=3o cs ( 2 x+φ)的图象关 )

4π 于点( 3 ,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( π π A. B . 6 4 π π C.3 D 2 .
[答案] A

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[解析]

由件 条知

cs o

? ? 4π ?2× +φ?=0, 3 ? ?

8π π 13π ∴ 3 +φ=kπ+2,∴φ=kπ- 6 ,k∈Z, π ∴当 k=2 时,|φ|取 小 最值 . 6

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(理)03 ( 1· 2

辽大二四上期中试 宁连十中学期考 f ′(x)的 大 为 最值 )

)设 数 函

f(x)

π =s( ωx+6)-1(ω>) 的 函 n i 0 导数 图象的一条对称轴的方程是( π π A.x= B.x= 2 3 π π C.x=6 D.x=9
[答案] D

3,则 f(x)的

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[解析]

π f ′(x)=ωcs ωx+ ), o ( 6 π x+6)-1,

由条件知 ω=3,∴f(x)=s( n i3

π π π kπ 令 3x+ = +kπ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z. 6 2 9 3 π 令 k=0 得 x=9,故选 D.

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2. 列 数 , 下 函 中以 上为减函数的是( )

π为 小 周 的 函 ,在 最 正 期 偶 数且

?π ? ? ,π? ?2 ?

A.y=s2 x+cs x B .y=| x| n i o 2 s n i C.y=cs 2x o
[答案] B

D.y=tn x a

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[解析] 数,排除 C.

由 数 偶 数排 函 为 函 ,除

?π ? A、D;由?2,π?上为减函 ? ?

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二、解答题 3.(文)已 函 知 数 的最小正周期为 4. π () 求 ω 的值; 1 () 求 f(x)的 调 增 间 2 单递区. 1 f(x)=( 3s ωx+cs ωx)o ωx-2(ω>) n i o cs 0

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[解析]

1 () f(x)= 3s ωxcs ωx+cs ωx- 1 n i o o 2
2

? π? 3 1 1 1 = 2 s2 ωx+2cs ωx+2-2=s ?2ωx+6?, n i o 2 n i ? ?

2π 1 ∵T= =4π,∴ω= . 2ω 4 () 由() 知,f(x)=s 2 1 n i
?1 π? ? x+ ?, 6? ?2

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π 1 π π ∵- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 6 2 4 2 ∴-3π+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z, ∴f(x)的 调 增 间 单递区为 4π 2π [- +4kπ, +4kπ k∈Z). ] ( 3 3

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(理)已知函数 f(x)=2acs 2x+bs xcs x(a>0,b>) ,f(x)的 o n o i 0 1 最大值为 1+a,最小值为-2. () 求 f(x)的 小 周 ; 1 最正期 () 求 f(x)的 调 增 间 2 单递区.

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[解析] =

b () f(x)=a(1+cs x)+2s2 x 1 o 2 n i x+φ)+a, b2 1 2 a + =- , 4 2

b2 a2+ 4 s( n i2

由题设知

b2 a2+ =1,a- 4

1 所以 a=2,b= 3. 3 1 1 所以 f(x)= 2 s2 x+2cs x+2 n i o 2 =s n i
? π? 1 ?2x+ ?+ , 6? 2 ?
第四章 第三节

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所以 f(x)的 小 周 为 最正期

π.

π π π () 由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2得, 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π 所以 f(x)单调增区间为[kπ-3,kπ+6](k∈Z).

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课后强化作业(点此链接)

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