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2011版高中数学二轮专题复习学案-4.1空间几何体


立体几何

第一讲

空间几何体

班级---- 姓名----

要点考向 1:空间几何体的三视图 考情聚焦:1.三视图是新课标教材的新增内容,是高考中新的增加点及亮点。 2.常与表面积、体积计算综合出现,多以选择题或解答题的形式呈现,属较容易的题。 考向链接:1.解答此类问题,首先由三视图想象出原几

何体的形状,并由相关数据得出几何体中的 量。 2.掌握三视图是正确解决这类问题的关键,同时也体现了知识间的内在联系,是高考的新动向。 例 1: (2012·陕西高考理科·T7)若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是( (A) ) (B)

1 3

2 3

(C) 1

(D) 2

【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力,属中等题。 【思路点拨】三视图 ? 几何体是直三棱柱 ? 该几何体 的体积 要点考向 2:几何体的表面积与体积 考情聚焦:1.几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容,应引起重视。 2.多以选择题、填空题的形式考查,有时也以解答题的形式考查,属较容易 题。 考向链接:1.求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在。 求三棱锥的体积,等积转化法是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上。 2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解。 例 2: (2013·上海高考文科·T20)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形 骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的 灯笼,请作出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 【命题立意】本题是个应用题,主要考查学生分析问题、解决问题的能力,涉及函数求最值、几何体的三 视图等相关知识. 【思路点拨】 (1)建立 S 关于 r 的函数,根据函数的性质求最值; (2)确定几何体的有关数据后,按三视 图的要求画图.

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要点考向 3:球与空间几何体的接、切问题 考情聚焦:1.有关球的知识的考查也是高考中常出现的问题,特别是球与多面体、旋转体等组合的 接、切问题。 2.多以客观题的形式呈现,属中档题目。 例 3:一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 思路分析:确定球与正六棱柱的关系→求球的半径→求得体积。 注: (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间 问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 (2)若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直,且 则

,把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形) ,从而显示出球的数量特 征,这种方法是一种常用的好方法。

【高考真题探究】
1. (2012·辽宁高考理科·T12)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值 范围是( ) (A)(0, 6 ? 2 ) (B)(1, 2 2 ) (C) ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) (D) (0, 2 2 )

【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系考查空间想象能力和运算能力。 【思路点拨】分两种情况,一种是边长为 a 的棱在一个三角形中,另一种情况时长度为 a 的棱不在一个三 角形中,分别讨论。

2. (2010·浙江高考文科·T8)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

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(A)

352 3 cm 3

(B)

320 3 cm 3

(C)

224 3 cm 3

(D)

160 3 cm 3

【命题立意】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题。 【思路点拨】解答本题要先由三视图,想象出直观图,再求体积。 【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分几部分规则的几何体,再求体积和。 3. (2010·北京高考文科·T8)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在
A1
D1

C1
E F
B1

棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A1 E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积: ( ) (A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; (B)与 x,y 都无关; (D)与 y 有关,与 x 无关;
A D P

Q
B

C

【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识,关键是找到易求面积的底面与高。 【思路点拨】把 EFQ 看作底面,点 P 到对角面 A 1B 1CD 的距离即为对应的高。

D1

C1

A1

E

F

B1

D
一、选择题

Q

C

1.下列结论正确的是( ) (A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥 (B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 (C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 (D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( ) (A)16π (B)20π (C)24π (D)32π 3. 表面积为 4 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的 体积为(
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A

P

B



A.

6 ? 3

B.

2 6 ? 3

C. 6?

D.

6 ? 27
的线段,在该几 何体的

4.某几何体的一条棱长为

,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为

左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为________. 三、解答题 5.如图所示,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C—A′DD′,求棱锥 C—A′DD′的体 积与剩余部分的体积之比.

6.如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何 体的表面积(其中 ∠BAC=30°).

7.(探究创新题)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;(2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明你的结论.

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参考答案
1. 【解析】选 D.A 错误,如图 1 是由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但 它不是棱锥.

B 错误,如图 2,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥. C 错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱 长必然要大于底面边长. D 正确,由顶点、底面圆周上一点及底面圆的圆心可得到旋转的直角三角形.

2. 【解析】选 C.设正四棱柱的底面边长为 a,球半径为 R,则 ∴球的表面积 S=4π R2=24π . 3. 【解析】选 C.因为表面积为 4 3 ,所以棱长为 2,所以外接球的半径为

解得 a=2,R2=6,

6 ,所以球的体积为 6? 。 2

4. 【解析】选 D.该几何体由正三棱柱和球组成,正三棱柱的表面积为 18 ? 2 3 ,球的表面积为 ? ,所以 该几何体的表面积为 18 ? 2 3 ? ? 。 5. 【解析】如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱,设长方体的对角 线 AC ? 7 ,则它的 正视图投影长为 A1B ? 6 ,侧视图投影长为 A1 D ? a ,俯视图投影长为 A1C1 ? b , 1 则 a 2 ? b 2 ? ( 6 ) 2 ? 2 ? ( 7 ) 2 ,即 a ? b ? 8 ,又
2 2

a?b ? 2

a2 ? b2 ,? a ? b ? 4 ,所以选 C。 2

答案:4 6. 【解析】对于第一组的两个立体图形,图(1)的正(主)视图与图(2)的俯视图相同. 对于第二组的两个立体图形,图(3)的正(主)视图与图(4)的正(主)视图不同,而侧(左)视图和俯视图都 是相同的. 答案:(1)俯视图 (2)正(主)视 正(主)视 7.
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[来源:学&科&网] 8. 【解析】由题意可知显然选项 D 正确.如果摆放的容器不是水平的,则选项 C 不正确. 设正四棱柱的底面边长为 m, 高为 n,正四棱锥的高为 h,则由

9. 【解析】设长方体的三条棱长分别为 AB=a,AD=b,AA′=c, 则 V 长方体=abc,

10.

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11. 【解析】 (1)几何体的直观图如图.

(2)∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱,∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面 ACC1A1,∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C. ∵四边形 ACC1A1 为正方形,∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1=C1.∴A1C⊥平面 AB1C1.

(3)当 E 为棱 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 证明:如图,取 BB1 的中点 F,连结 EF,FD,DE,∵D,E,F 分别为 CC1,AB,BB1 的中点, ∴EF∥AB1.∵AB1 平面 AB1C1,EF 平面 AB1C1,∴EF∥平面 AB1C1.

∵FD∥B1C1,∴FD∥面 AB1C1,又 EF∩FD=F,∴面 DEF∥面 AB1C1. 而 DE 面 DEF,∴DE∥面 AB1C1.
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