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直线与圆的位置关系教学案


高一数学教学案
4.2.1 直线与圆的位置关系
班级: 姓名: 学号:

材料编号:11

设计人:李荣 审查人:徐峰 使用时间:3.10

一.学习目标: 1、能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,熟练运用直线和圆的位置关系解 决有关问题。 2、让学生从运动的观点来研究直线和圆相交、相切

、相离的关系。 二. 学习重点与难点: 重点:直线和圆的位置关系的判定方法。 难点:直线和圆的位置关系判定方法的选择及应用。 三.课前自学: (一) 复习检测: 1、已知直线 l 将圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 平分且不经过第四象限,求 l 的斜率的范围。

(二)自学导学: 基础知识梳理: 1.直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 M: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 。有两种方法判断其关系:

⑴几何法:圆心 M 到直线 l 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



①直线与圆相交: d ? r ,其中相交弦长为 2 r 2 ? d 2 ; ②直线与圆相切: d ? r ; ③直线与圆相离: d ? r .
1

⑵代数法:即求直线方程与圆的方程所组成的方程组的实数解的个数。当△>0 时,相交; 当△=0 时,相切;当△<0 时,相离。

2.圆的切线分三类 ⑴过圆上一点的圆的切线; ⑵知切线斜率的圆的切线; ⑶过圆外一点的圆的切线。

(三)自学检测:
2 2 1.已知直线 l :3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置

关系;如果相交,求它们交点的坐标。

2.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x ? y ? 1 相交, 则点 P ( a, b) 与圆的位置关系是
2 2





A.在圆上

B.在圆外

C.在圆内

D.不能确定

(四)例题分析: 题型一:直线与圆相交的问题
2 2 例 1.已知圆的方程是 x ? y ? 2 ,直线 y ? x ? b ,当 b 为何值时,圆与直线有两个公共点;

只有一个公共点;没有公共点。

2

例 2 已知过点 M (?3,?3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程。

题型二:直线与圆相切的问题 例 3. 已知圆的方程是 x ? y ? r ,求过圆上一点 M( x0 , y0 )的切线方程。
2 2 2

例 4.已知圆C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 ,若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相
2 2

等,求此切线的方程

3

题型三:综合应用 例5.圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点有多少个?

四、课堂导学: (一) 重、难点突破: 直线与圆的位置关系问题就是直线和圆的公共点个数问题, 但通常是通过比较圆心到直线的距 离和圆的半径来研究。 (二) 当堂检测:
2 2 1 、 由 直 线 y ? x ? 1 上 一 点 向 圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引 切 线 , 则 切 线 长 的 最 小 值 为

( A. 1 B.2 C. 7 D. 3



2 2 2 、 若 圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的 圆 心 到 直 线 x ? y ? a ? 0 的 距 离 为

2 ,则 a 的值为 2
( )

A.-2或2

B.

1 3 或 2 2

C.2或0

D.-2或 0

(三)课堂小结: 1.直线与圆的位置关系 2.圆的切线问题。
4

1.2.2 平行直线的跟踪训练:
一、选择题 1.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于 A. 12 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2 ( )

2.经过点 M(2,1)作圆 x 2 ? y 2 ? 5 的切线,则切线方程为 A. 2 x ? y ? 5 C. 2 x ? y ? 5 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0





3.直线 l : (k ? 1) x ? ky ? 1 ? 0(k ? R) 与圆 C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1的位置关系是 A. 相交 B.相切 C.相离 D. 相交或相切





4.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 3 的点共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个





5.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x ? y ? 1 相切,则点 P(a,b)的位置是
2 2





A.在圆上

B.在圆外

C.在圆内

D.以上都有可能

6.直线 l 将圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程为(
2 2

)

A.y=2x

B.y=2x-2

C. y ? ?

1 3 x? 2 2

D. y ?

1 3 x? 2 2

5

7. 一束光线从点 A(-1,1) 出发经 x 轴发射到圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 上的最短途径是 ( A.4 B.5 C. 3 2 ? 1 D. 2 6 )

8.若 p(x,y) 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 6 上运动,则 A.

y 的最大值等于 x

( D. ? 3 ? 2



?3? 2 2

B. ? 3 ?

2

C.

?3? 2 2

二、填空题 9.半径是 5,圆心在 y 轴上,且与直线 y=6 相切的圆的方程为

.

10.圆 (x ? 3) ? ( y ? 1) ? 1 关于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是
2 2

.

三、问答题 11. 求过点(2,4)向圆 (x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 所引的切线的方程。
2 2

6

12.光线 l 过点 P(?3,3) 经 x 轴反射后与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 的方程。

13.求与 x 轴切于点(5,0) ,并在 y 轴上截得弦长为 10 的圆的方程。

7

(奥赛班选做)已知直线 l : y ? x ? m 与曲线 C: y ? 1 ? x 2 。 ⑴ m 为何值时,直线 l 与曲线 C 无公共点 ⑵ m 为何值时,直线 l 与曲线 C 有唯一公共点 ⑶ m 为何值时,直线 l 与曲线 C 有两个公共点

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