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1.积分计算


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(9-01):积分计算(185)

519

积分计算 [母题]Ⅰ(9-01):(2009 年福建高考试题) ? 2? (1 ? cos x)dx 等于(
? 2

/>
?

) (A)π

(B)2

(C)π -2

(D)π +2

[解析]:因 F(x)=x+sinx ?

F ? (x)=1+cosx ? ? 2? (1 ? cos x)dx =F(
? 2

?

? ? )-F(- )=π +2,故选(D). 2 2

[点评]:对于式子 F ? (x)=f(x),从左到右是求导,即己知函数 F(x),可求其导函数 F ? (x)=f(x);那么从右至左呢?即己知
导函数 F ? (x)=f(x),如何求函数 F(x)?我们首先给出如下定义:㈠原函数:如果函数 F(x)满足 F ? (x)=f(x),那么 F(x)叫做 函数 f(x)的原函数,函数 f(x)叫做被积函数;我们知道:[F(x)+c ]? = F ? (x),所以,如果函数 F(x)是函数 f(x)的一个原函数, 则 F(x)+c 也是函数 f(x)的原函数,并且函数 f(x)的原函数都可以表示成 F(x)+c 的形式.根此可进一步给出如下定义:㈡ 不定积分:我们把 f(x)的所有原函数 F(x)+c 叫做函数 f(x)的不定积分,记作 ? f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx =F(x)+c;㈢运算法则:①
? kf ( x ) dx ? k ? f ( x )dx (k≠0)② ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x) dx .根据原函数的定义可以给出定积分的定义 :㈣定积分:如果
b f ( x)dx , 函数 F(x)是函数 f(x)的一个原函数,即 F ? (x)=f(x),则 F(b)-F(a)叫做函数 f(x)在区间 a,b]上的定积分,记作 ?a

b b b c f ( x)dx =F(b)-F(a),其中 a 与 b 分别叫做积分下限与上限;㈤定积分的性质:① ?a kdx =k(b-a);② ?a f ( x)dx ? ?a f ( x)dx + 即 ?a

b ?c f ( x)dx .

[子题](1): (2013 年江西高考试题)若 S1= ?12 x 2 dx,S2= ?12 1 dx,S3= ?12 e x dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为(
x

)

(A)S1<S2<S3
1 2 7 3

(B)S2<S1<S3
1 x

(C)S2<S3<S1
7 3

(D)S3<S2<S1

x 2 2 2 2 [解析]:由 S1= ?12 x 2 dx= x3 |1 = ,S2= ?12 dx=lnx |1 =ln2,S3= ?12 e x dx=e |1 =e -e> >1>ln2.故选(B).

注:掌握如下函数 f(x)的原函数 F(x)是求定积分的关键:①若 f(x)=x ,则 F(x)=
x x x

α

1 1 α+1 x +c(α≠-1);②若 f(x)= , α ?1 x

则 F(x)=ln|x|+c; ③若 f(x)=e , 则 F(x)=e +c; ④若 f(x)=a , 则 F(x)= f(x)=inx,则 F(x)=-cosx+c.
1 x (e ? 2 x)dx 等于( [子题](2): (2011 年福建高考试题) ?0

ax +c; ⑤若 f(x)=cosx, 则 F(x)=sinx+c; ⑥若 ln a

)

(A)1

(B)e-1

(C)e

(D)e+1

x 2 1 1 x 1 1 x (e ? 2 x)dx = ?0 2 xdx =e |1 e dx + ?0 [解析]:由 ?0 0 +x |0 =(e-1)+(1-0)=e.故选(C).

b b b b b b kf ( x)dx =k ?a f ( x)dx ;② ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx = ?a f ( x)dx ? ?a g ( x)dx ;③ ?a f ( x)dx = 注:掌握定积分的如下法则是必须的:① ?a

c b ?a f ( x)dx + ?c f ( x)dx .

[子题](3): (2000 年上海交通大学保送生考试试题)设 f(x)的原函数是 [解析]:令 t=2x,则 dx= dt ?
1 2
1 ?0 f (2 x)dx =

1 x +1,则 ?0 f (2 x)dx =

.

1 2 1 2 . ? f (t )dt = [( 2 +1)-1]= 2 0 2 2

520

[母题]Ⅰ(9-01):积分计算(185)

b ? f ( x)dx = ?? f ( g (t )) g ?(t )dt ,其中,g(α)=a,g(β)=b. 注:应拓展掌握定积分的换元积分公式: ?a

[子题系列]:
4 dx 等于( 1.(2010 年湖南高考试题) ?2

1 x

)

(A)-2ln2

(B)2ln2

(C)-ln2

(D)ln2

1 (2 x ? e x )dx 的值为( 2.(2014 年陕西高考试题)定积分 ?0

)

(A)e+2

(B)e+1

(C)e

(D)e-1

1 2 3.(2012 年江西高考试题)计算定积分 ?? 1 ( x ? sin x)dx =__________.

4.(人教 A 版,选修 2-2.复习参考题) ?02 sin 2 dx =
T 2 x dx =9,则常数的值为 5.(2013 年湖南高考试题)若 ?0

?

x 2

. .

1 2 6.(2009 年安徽八校三质检试题)设函数 f(x)=ax +1,若 ?0 f ( x)dx =2,则 a=

.

7.(2009 年安徽八校二质检试题) ?02 (sin x ? a cos x)dx =2,则实数 a 等于(

?

)

(A)-1

(B)1

(C)- 3 .

(D) 3

1 1 1 2 8.(原大纲教材例题)若二次函数 f(x)满足:① ?? 1 f ( x ) dx =1;② ??1 xf ( x)dx =2;③ ??1 x f ( x)dx =1.则 f(1)=

9.(2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题) ?12

1 x
3

1

e x dx =

. .

1 10.(2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题) ?0 2x ? x2 dx =

[子题详解]:
4 dx =lnx |4 1.解:由 ?2 2 =ln4-ln2=ln2.故选(D).

1 x

1 (2 x ? e x )dx =(x +e ) |1 2.解:由 ?0 0 =(1+e)-(0+1)=e.故选(C).
2 x

1 2 3.解:由 ?? x -cosx) |1 -cos1)-(?1 =( 1 ( x ? sin x)dx =(
3

1 3

1 3

1 2 -cos1)= . 3 3

4.解:由 ?02 sin 2 dx = ?02
1 3
3

?

x 2

?

x ? sin x 2 ? ? 2 1 ? cos x dx = |0 = . 2 4 2

?

T 2 x dx = x | T 5.解:由 9= ?0 0 =

1 3 T ? T=3. 3
?

1 a 3 a 6.解:由 ?0 f ( x)dx =( x +x) |1 +1=2 ? a=3. 0=

3

3

7.解:由 ?02 (sin x ? a cos x)dx =(-cosx-asinx)| 02 =-a+1=2 ? a=-1.故选(A).
1 8.解:设 f(x)=ax +bx+c,由 ?? 1 f ( x ) dx =1 ? (
2

?

a 3 b 2 2 a 4 b 2 c 2 1 2 1 x + x +cx) |1 a+2c=1; ?? x + x + x ) |?1 = b=2; ?1 = 1 xf ( x)dx =( 3 2 3 4 3 2 3

1 2 ??1 x f ( x)dx =(

a 5 b 4 c 3 1 2 2 15 3 x + x + x ) |?1 = a+ c=1 ? a= ,b=3,c=- ? f(1)=6. 5 4 3 5 3 4 4
1

9.解:令

1 1 1 1 1 1 1 t 1 t 3 t =t,t∈[ ,1],则(- 2 )dx=dt ? dx=- 2 dt ? ?12 3 e x dx = ?1 =- ?1 e 1 te dt =-(t-1)e | 1 = 1 t e (? 2 )dt x 2 2 x t x t 2
2
2

1 2

.

10.解:令 x=1+sint,t∈[-

? ? 1 1 1 1 ,0],则 dx=costdt ? ?0 2x ? x2 dx = ? 0 ? cos2 tdt = ? 0 ? (1 ? cos 2t )dt = (x+ sin2t)| 0 ? = . ? 2 4 2 ? 2 2 ?
2 2
2


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