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北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学文试题


北京市东城区 2013 届高三上学期期末教学统一检测数学文试题
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试

卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,则 ? ( A ? B) 等于 U (A) {2,3} (2)复数 (B) {1, 4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}

2 等于 1? i (A) ? 1 ? i

(B) ? 1 ? i

( C) 1 ? i

( D) 1 ? i

(3)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等 于 (A) 1 (B)

5 3

(C) 2

(D) 3

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

2 (5) x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的 “

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 2 y ? 8, ?2 x ? y ? 8, ? (6)已知 x , y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 x ? 0, ? ? y ? 0, ? 32 (A) (B) 12 (C) 8 (D) 24 3
(7)已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为

K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为
(A)32 (B)16 (C)8 (D)4
1 2

(8)给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三

1

个是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则

f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④若函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? 3 , 则方程 f ( x) ? 0 有 2
个实数根,其中正确命题的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a , b 的夹角为

? ,则 a ? b = 3



a ?b ?



(10)若 sin ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ?

3 5

. . ;若直线 y ? kx 与圆 C 相

(11)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (12)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 切,且切点在第四象限,则 k ? .

(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p% ,第二次提价 q % ; 方案乙:每次都提价

p?q % ,若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 2

.

(14)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ?R}, B ? R ,已知对所有的有序正整 数对 (m, n) 满足下述条件: ① f (m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ? 1)] 则 f (2, 2) ? ; f (n, 2) ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 3

2

(16) (本小题共 13 分) 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? a (n ?N* ) . (Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(17) (本小题共 13 分) 如图,在菱形 ABCD 中, MA ⊥平面 ABCD ,且四边形 ADNM 是平行四边形. (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位置时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明. N M

D

C B

A

E

(18) (本小题共 13 分)

? 已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m ? R . 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

3

(19) (本小题共 14 分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 2

3 . 2

(Ⅱ)直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的 方程.

4

(20) (本小题共 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

?x
i ?1

n

i

? 0;



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)D (6)B (3)C (7)A (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 1

7
? 2 4

(10) ?

4 5

(11) 54

(12) (3, 0)

(13)乙

(14) 2

2n ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

5

解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? .???????????????????4 分 6 2
所以 T ? ? .??????????????????????????6 分

? ? ?x? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .?????????????????????10 分 2 6 ? 当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 的最小值是 0 , 6 ? 3 当 x ? 时,函数 f ( x ) 的最大值是 .????????????????13 分 6 2
(Ⅱ)因为 ? (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 .??????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .?????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .?????????????5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ?N ) .?????????????6 分
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 2n?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1 . ①

2Tn ?

1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n . ②

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 1? 2 ? 1? 22 ? ?? 1? 2n?1 ? n ? 2n ????????9 分

? 1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? n ? 2n ? 1 ? 2(1 ? 2n?1 ) ? n ? 2n ??????????????11 分 ? ?(n ? 1) ? 2n ? 1.???????????????????12 分
所以 Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1.???????????????????????13 分 (17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD ,

6

因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN . ??????????????????6 分 N M F D A B

(Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC .??7 分

CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, F 是 BN 的中点,
因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .????????10 分 又 平面 ,

C

EF ?

MEC


E

AN ?

平面

MEC

所以 AN // 平面 MEC .????????13 分 (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , 3

又 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 . 又 f (2) ?

5 , 3
5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3

所以所求切线方程为 y ?

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15x ? 3 y ? 25 ? 0 .???6 分 (Ⅱ)因为 f ' ( x) x ? 2mx ? 3m , ?
2 2

令 f '( x) 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m .?????????8 分 ?

? 当 m ? 0 时, f '( x) x2 ? 0 恒成立,不符合题意. ???????????9 分
当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

??3m ? ?2, 解得 m ? 3 .?????????????????11 分 ?m ? 3.

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (m, ?3m) , f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 若 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ??3m ? 3.

7

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 . (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

??????????13 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 , ? ? 2 ?a 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, ??????????????????3 分 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
解得 a 2 ? 4 , b2 ? 1 .

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.?????????????????????6 分 4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E (?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A(?1 , ),B(?1,-

3 2

3 ) 显然 EA ? 2 EB 不成立.??????????7 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 .??????????????????9 分
2 2 2 2

由 ? ? (8k ) ? 4(4k ? 1)(4k ? 4)
2 2 2 2

? 4 8 2 ? 1 6? . k 0
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . 故 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ,① 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . ②????????????10 分 4k 2 ? 1

因为 EA ? 2 EB ,即 x1 ? 2x2 ? ?3 .③ ①②③联立解得 k ? ?

15 . 6
8

????????????13 分

所以直线 l 的方程为 (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: ?

15x ? 6 y ? 15 ? 0



15x ? 6 y ? 15 ? 0

.?????14 分

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? ? x1 ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2 1 ? ? x1 ? ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 ?x ? 1 . ? 2 2 ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1.??????????????????9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an , 即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .???????????11 分

?a x
i ?1

n

i i

?

?a x ? 2 a ? x ? 2 a ? x
i ?1 i i 1 i ?1 i n i ?1

n

1

n

1

n

i

?

1 2

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

9

?

1 n 1 n ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? ? ( a1 ? an xi ) ? 2 i ?1 2 i ?1
n

?
?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

1 ( a1 ? an ) .???????????????????????14 分 2

10


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