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直线与圆锥曲线的交点的几何作法及原理

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直线与椭圆交点的几何作法及原理 B N‘ F1 D M’ M Q P O f2 A N P 是椭圆外一点, M 是椭圆上一点,作直线 PM 与椭圆的交点 N 作法:① 作直线 PM 交椭圆左准线与 Q ,连 F ; 1 Q(F 1 为椭圆的左焦点) PM 于 N , ② 作 F1M 关于 F 1 Q 的对称直线交 下证: N 就为直线 PM 与椭圆的交点。 证明:作 MM ', NN ' 垂直与左准线交于 M ', N ' ,则 MM '// NN ' ,所以 MM ' QM ? ; NN ' QN 又F 1MN 的外角平分线,所以 1 Q 是 ?F F1M QM ? ; F1 N QN 因此 FN FM F1M MM ' ? e ,那么 N 在椭圆上 ,即 1 ? 1 ? NN ' MM ' F1 N NN ' 直线与双曲线交点的几何作法及原理 M H N‘ F1 A M’ P N F2 O Q P 是双曲线外一点, M 是双曲线上一点,作直线 PM 与双曲线的交点 N 作法:① 作直线 PM 交双曲线左准线与 H ,连 F1H ( F ; 1 为双曲线的左焦点) ② 作 F1M 关于 F1H 的对称直线交 PM 于 N , 下证: N 就为直线 PM 与双曲线的交点。 证明:作 MM ', NN ' 垂直与左准线交于 M ', N ' ,则 MM '// NN ' ,所以 又 F1H 是 ?F 1MN 的角平分线,所以 MM ' HM ? ; NN ' HN F1M HM ? ; F1 N HN 因此 FN FM F1M MM ' ? e ,那么 N 在双曲线上。 ,即 1 ? 1 ? NN ' MM ' F1 N NN ' 直线与抛物线交点的几何作法及原理 M‘ M E O N’ P Q F N P 是抛物线外一点, M 是抛物线上一点,作直线 PM 与抛物线的交点 N 作法:① 作直线 PM 交抛物线准线与 Q ,连 FQ ( F 为抛物线的左焦点) ; ② 作 FM 关于 FQ 的对称直线交 PM 于 N , 下证: N 就为直线 PM 与抛物线的交点。 证明:作 MM ', NN ' 垂直与准线交于 M ', N ' ,则 MM '// NN ' ,所以 MM ' QM ? ; NN ' QN 又 FH 是 ?FMN 的角平分线,所以 FM QM ? ; FN QN 因此 FM MM ' FN FM ? ? ? 1 ,那么 N 在抛物线上。 ,即 FN NN ' NN ' MM '

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