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浙江省台州市2010-2011学年高二数学下学期六校期中联考 文 新人教A版


台州市 2010 学年第二学期高二年级六校联考期中试题数
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.设 p 是椭圆 A.4

学(文科)

x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等于 25 16
B.5 C.8 D.10

>2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 3.如果命题“┓P”为假,命题“P∧q”为假,那么则有 A.q 为真 B.p∨q 为假 C.p∨q 为真 D. (┓p)∧(┓q)为真

4.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1 ,则 A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 5.设 a∈R,则 a>1 是 B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

1 <1 的 a
B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件

6.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导数, y ? f '( x) 的图像如图所示,则 y ? f ( x) 的图像最有可能

y
的是 1 0 2

y ? f '( x)

x
y

y

y
1 0 2 x 0

y
1 2 2 2 0
?

x

1

x

0

1

x

7.设 △ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 A C D B 为 A.

1? 2 2

B.

1? 3 2
用心

C. 1? 2

D. 1? 3

爱心

专心

-1-

8.已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ,
2 2
?

则 P 到 y 轴的距离为 A.

3 2
2

B.

6 2

C.

10 2

D. 6

9.函数 y ? x ? bx ? c (x ? [0,??) )是单调函数的充要条件是 A. b ? 0
3

B. b ? 0
2

C. b ? 0

D. b ? 0

10. 函数 f(x)=x +ax +x 在(0,+∞)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞, 3)∪ ( 3,+∞) C.( 3,+∞) B.(- 3, 3) D.(-∞,- 3)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 11. 双曲线

x2 y2 =1 的顶点到渐近线的距离为 4 12





x2 ? a 12.若函数 f ( x ) ? 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
13.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x









14.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是
2

▲ . 15.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线
2

?

段 AB 的长为 8,则 p ? _______▲_________. 16.一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0, (a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
2





17.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 过焦点 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点 ,若 16 9 y
A M

?ABF2 的内切圆的面积为 ? , A , B 两点的坐标
分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为 ▲ .
B

F1

O

F2

x

三、解答题:本大题共 5 小题,第 18、19、20 小题各 14 分,第 21,22 题各 15 分共 72 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知 B 、 C 是两个定点, BC ? 6 ,且 ?ABC 的周长为 16 . (1)求三角形顶点 A 的轨迹 S 的方程;
用心 爱心 专心 -2-

(2)设过点 B 与 BC 垂直的直线 l 交轨迹 S 于 D 、 E 两点,求线段 DE 的长度.

19. (本题满分 14 分)设命题 p :方程 4 x ? 4(t ? 2)x ? 1? 0 无实数根;命题 q :曲线
2

与 y ? x2 ? (2 t ? 3) x ? 1 x 轴交于不同的两点。如果“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数

t 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)= ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 x∈ ? ?

? 1 1? , ,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

21. (本题满分 15 分)已知点 A(2,8) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) 在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )
2

上, ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

22. (本题满分 15 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;

3

2

用心

爱心

专心

-3-

(Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

用心

爱心

专心

-4-

台州市第二学期 高二年级六校联考期中试题答案

2010 学年


一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

学(文科)

二、填空题: (每小题 4 分,共 28 分) 11、______

3 _________;12、_______3__________;13、__________ (2,??) ____ _
___;16、________ a<-1(或 a<-2 等)

14、______(0,1)_____;15、________1____ 17、_______

8 7 ________. 7

三、解答题:本大题共 5 小题,第 18、19、20 小题各 14 分,第 21,22 题各 15 分,共 72 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知 B 、 C 是两个定点, BC ? 6 ,且 ?ABC 的周长为 16 . (1)求三角形顶点 A 的轨迹 S 的方程; (2)设过点 B 与 BC 垂直的直线 l 交轨迹 S 于 D 、 E 两点,求线段 DE 的长度. 18.解: (1)取 BC 所在直线为 x 轴, BC 中点为原点, 建立如图所示坐标系, 由题意可知:

y A B o C x

AB ? AC ? BC ? 16 ,又 BC ? 6 ,∴ AB ? AC ? 10 .

?点 A 为 ?ABC 的一个顶点,
∴点 A 轨迹为椭圆除去 x 轴上两点, a ? 5, c ? 3, b ? a ? c ? 16 ,
2 2 2

∴点 A 轨迹 S 的方程为 (2)由题意可知:

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) . 25 16

??7 分(注:不写 y 的范围扣 1 分)

0) B 点坐标为 (3,0)或(? 3, ,则直线 l 的方程为 x ? ?3 ,代入点 A 的轨迹方程,


y??

16 , 5

∴ DE ? y D ? y E ?
用心 爱心

32 . 5

??14 分

专心

-5-

19. (本题满分 14 分)设命题 p :方程 4 x ? 4(t ? 2)x ? 1? 0 无实数根;命题 q :曲线
2

与 y ? x2 ? (2 t ? 3) x ? 1 x 轴交于不同的两点。如果“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数

t 的取值范围.

2 0. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)= ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)= x 3 ?

3 2 x ? 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6. 2 1 . a

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. ??5 分 (Ⅱ)f’(x)= 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, ? ? 1 1? 即? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?
用心 爱心 专心 -6-

解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 .? ?9 分 (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?
解不等式组得

2 2 .因此 2<a<5. ? a ? 5或 a ? ? 2 2
2

综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5. ?????14 分 21. (本题满分 15 分)已知点 A(2,8) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) 在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )

上, ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.
21.解: (1)由点 A(2,8)在抛物线 y ? 2 px 上,有 8 ? 2 p ? 2 ,
2 2

解得 p=16. 所以抛物线方程为 y ? 32 x , 焦点 F 的坐标为 (8, 0)?????3 分 (2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 分 AM 的 ???? AF 比为 2:1,即 ???? ? 2 ,设点 M 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则 (8 ? 2, 0 ? 8) ? 2( x0 ? 8, y0 ) ? FM 解得 x0 ? 11, y 0 ? ?4 , 所以点 M 的坐标为(11,-4) 。?????7 分
2

(3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 11)(k ? 0). 由 ? y ? 4 ? k ( x ? 11), 消 x 得 ky2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0 , ?
2 ? y ? 32 x

所以 y1 ? y 2 ? 32 ,由(2)的结论得 y1 ? y 2 ? ?4 ,解得 k ? ?4. 2 k 因此 BC 所在直线的方程为: 4 x ? y ? 40 ? 0. ?????15 分 22. (本题满分 15 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
3 2

用心

爱心

专心

-7-

22. 解: (I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?

2

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , ?3a ? 2b ? 3 ? 0
3

解得 a=1,b=0.
2

∴f(x)=x -3x. ???????4 分

3

(II)∵f(x)=x -3x,∴f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4????????????8 分 (III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x0 ? 3 x0 .
3 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为 3( x 0 ? 1) ?
3 2

2

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1

整理得 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,
3 2

∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分
3 2

设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6x0 ,
3 2 2

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. , ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分
3 2

∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是
3 2

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的 ? ? g (1) ? 0
取值范围是-3<m<-2. ?????????15 分

用心

爱心

专心

-8-


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