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5.3-2同角三角比的关系与诱导公式


一、 任意角三角比的诱导公式
第一组诱导公式 sin( 2k? ? ? ) ? sin ? cos( 2k? ? ? ) ? cos ? tan( 2k? ? ? ) ? tan ? cot( 2k? ? ? ) ? cot ?

k ?Z

1 sin ? 6 2

?

由此得到:<

br />
1 sin( ? ) ? - sin ? ? 6 6 2
y
sin ? ) P(cos?,

?

?

第二组诱导公式 sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ? cot( ?? ) ? ? cot ?

o

?
??

x

P1 (cos?, ? sin ? )

(cos(?? ), sin(?? ))

角?+?和角?的终边有何关系? 由此得到:

第三组诱导公式
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ? cot(? ? ? ) ? cot ?

y) (cos?,sin?
P

? ??

?

o

x
P1(-cos?,-sin?)

(cos(?+?),sin(?+?))

将第三组诱导公式中的? 换成-?,得:

sin[? ? (?? )] ? ? sin(?? ) ? sin ? cos[? ? (?? )] ? ? cos(?? ) ? ? cos?
由此得到:

第四组诱导公式 sin( ? ? ? ) ? sin ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

cos(? ? ? ) ? ? cos ?

cot(? ? ? ) ? ? cot ?

第一组诱导公式

sin( 2k? ? ? ) ? sin ? tan( 2k? ? ? ) ? tan ?
第二组诱导公式

cos( 2k? ? ? ) ? cos ? cot( 2k? ? ? ) ? cot ? cos( ?? ) ? cos ? cot( ?? ) ? ? cot ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? cot(? ? ? ) ? cot ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? cot(? ? ? ) ? ? cot ?

k ?Z

sin( ?? ) ? ? sin ? tan( ?? ) ? ? tan ?
第三组诱导公式

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? tan( ? ? ? ) ? tan ? sin( ? ? ? ) ? sin ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

第四组诱导公式

二、诱导公式的记忆方法
y

? ?? ? ??

o

? (2k? x? ?k)? Z ??

“比值名不变,符号看象限”

三、例题与练习
例1、求下列三角比的值. 26? 13?
(1)   sin 3      (2)   tan( ? 4 )
3? (3)   cos( ? ) 4 (6)  cos2250

ex1、利用诱导公式,求下列各三角比.
5? (1)   sin 4 (4) t an( ?3000 )

5? 6 (5) cot8400 ( 2)   sin

说明:对于任意角α的三角比利用诱导公式总可以
转化为锐角三角比.

一般步骤:

负角 ? 正角 ? [0, 2? )内的角 ? 锐角三角比

例2、化简:
cos(2? ? ? ) cot( ? ? ? ) tan(?? ? ? ) (1)   ; sin(? ? ? ) cot( 3? ? ? )

tan( ? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(?? )   (2) ; cot( ? ? ? ) sin(? ? 2? )

tan(?1500 ) cos(?2100 ) cos(?4200 ) (3)   ; 0 0 cot(?600 ) sin(?1050 )
33 3 2 33 (4)   2 cos ? ? tan ? ? cot ?. 4 4 4
2

例3 、 根据条件,求角 x:
1 (1)已知 sin x ? ,x ? [   0,  2?  ); 2

3 (2)已知 tan x ? ,x ? [??,? ); 3
1 (3)已知 sin x ? ,x在第一象限; 2 1 (4 )已知 sin x ? ,x在第二象限. 2

四、课堂小结
1、诱导公式(比值名不变,符号看象限); 2、利用诱导公式,求任意角的三角比值;

3、利用诱导公式,化简三角式;

4、利用诱导公式,根据三角比的值求出角的值.


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