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正确理解正余弦定理解三角形


1.1 正弦定理和余弦定理教案(共两课时) 教学目标 根据教学大纲的要求,结合学生基础和知识结构,来确定如下教学目标: 知识目标 (1) 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证 明方法; (2) 会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形的两类基本问题。 (3) 掌握余弦定理的两种表示形式; (4) 掌握证明余弦定理的向量方法; (5) 会运用余弦定理解决

两类基本的解三角形问题。 能力目标 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关 系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定 理基本应用的实践操作。 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题。 情感目标 (1) 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; (2) 培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角形函数、正 弦定理、 余弦定理、 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与 辩证统一。 教学重点 正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点 (1) 正弦定理和余弦定理的证明过程。 (1) 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 (2) 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教学方法 启发示探索法,课堂讨论法。 教学用具 粉笔,直尺,三角板,半圆,计算器。 、教学步骤 第一课时 正弦定理 课题引入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A

1

思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? (二) 探索新知 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角
a b c 三角函数中正弦函数的定义,有 ? sin A , ? sin B ,又 sinC ? 1 ? , c c c A

C (图 1.1-1)

B



a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c ?

b
b
sin B ?

c a (图 1.1-2) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

c
sinC

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (让学生进行讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角 三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而
a
sin A

a
sin A

?

b
sin B

, b

C a D (图 1.1-3) B

c
sinC ?

?

b
sin B ?

, A

b
sin B

c
sinC

让学生思考:是否可以用其它方法证明这一等式? 证明二: (等积法)在任意斜△ABC 当中 S△ABC= ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 两边同除以 abc 即得: 证明三: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D a a ? ? CD ? 2 R ∴ sin A sin D 同理
b c =2R, =2R sin B sin C
1 2 1 2 1 2 1 2

C

a b c = = sin A sin B sin C

a b
O B
半径)

(R 为外接圆的

c
A D

由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。

2

证明四: (向量法) 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由
? ? ?

?

AC + CB = AB
? ?

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A) ∴ a sin C ? c sin
A
? ? ? ?

?

?

?



a c = sin A sin C
?

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得: 从而
a
sin A

c b = sin C sin B


c

a b c = = sin A sin B sin C

?

b
sin B

?

sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (让学生课 后自己推导) 从上面的研究过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

(三) 理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为 同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为:
b sin A ; sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

sin A ? sin B 。

a b 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

(四) 例题剖析 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 ,B ?81.80 ,a ? 42.9 cm,解三角形。(课本 p3, 例 1) 解:根据三角形内角和定理,
C ?1800 ? ( A? B)
3

?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ;

根据正弦定理,
b? a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00

根据正弦定理,
c? a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到
10 ,边长精确到 1cm) 。(课本 p4,例 4)

解:根据正弦定理,
sin B ? bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. (1) 当 B ? 640 时,
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,
c? a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

(2) 当 B ?1160 时,
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,
c? a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

评述:例 1,例 2 都使用正弦定理来解三角形,在解三角形过程中都使用三 角形内角和定理,可见,三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已 知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 (五) 课堂练习 第 5 页练习第 1(1)、2(1)题。 (六) 课时小结(让学生归纳总结) (1) 定理的表示形式:
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0) (2) 正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

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(七) 课后作业 习题 1.1 A 组第 1(1)、2(1)题。 (八) 板书设计

第二课时 余弦定理 (一) 课题引入 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c。 A (二) 探索新知 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c=a-b,
? ? ?

C b c (图 1.1-4) a B

| c |2 =c ? c=(a-b)
=a 从而 同理可证
?a

? (a-b) ?b

A b C a B c

+b

-2a ? b

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

(图 1.1-5)

于是得到以下定理 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

让学生思考: 这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以 求出第四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A? b2 ? c 2 ? a 2 2bc

5

cos B ? cosC ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

(三) 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 让学生思考: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理 则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC ? 0 ,这时 c2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 (四) 例题剖析 例 1 在△ABC 中,已知 B=60 cm,C=34 cm,A=41° ,解三角形(角度精确到 1° ,边长精确到 1 cm) 。(课本 P7 例 3) 解:根据余弦定理,? a2=b2+c2-2bccosA =602+342-2· 34cos41° 60· ≈3 600+1 156-4 080× 0.754 7 ≈1 676.82, 所以,a≈41 cm.? 由正弦定理得
c sin A 34 ? sin 41? 34 ? 0.656 ? ≈ ≈0.544 0. a 41 41 因为 C 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角.利用算器可得

sinC=

C≈33°,? B=180° -(A+C)=180° -(41° +33° )=106° .? 例2 在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形。

(课本 P7 例 4) 解:由余弦定理的推论得: cos A?
? b2 ? c 2 ? a 2 2bc

87.82 ?161.72 ?134.62 2?87.8?161.7 ? 0.5543,

A ? 56020? ;

6

cos B ?
?

c 2 ? a 2 ? b2 2ca

134.62 ?161.72 ?87.82 2?134.6?161.7 ? 0.8398,

B ? 32053? ;

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?)

= 90047' . 评述: 1 和例 2 是对余弦定理及其推论的运用, 例 加深对定理及其推论的理 解和运用。在利用余弦定理解三角形时,也要注意判断有两解的情况。 (五) 课堂练习 第 8 页练习第 1(1)、2(1)题。 [补充练习]在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A(答案:A=120 0 ) (六) 课时小结(让学生归纳总结) (1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理 的特例; (2) 余弦定理的应用范围: ① 已知三边求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边。 (七) 课后作业 ① 课后阅读:课本第 8 页[探究与发现]; ② 课时作业:习题 1.1 A 组第 3(1),4(1)题。 (八) 板书设计

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