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第十四章 坐标系与参数方程


第十四章 坐标系与参数方程
知识梳理+方法总结 1、 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:

④若极点与坐标原点不是同一个点. 如图, 设M



在以 O 为原点的直角坐标系中的坐标为(x,y) ,在 以 O′(x0,y0 ) 为原点也是极点的时候的直角坐标 为(x′,y′),极坐标为(ρ ,θ ),则有

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2、 极坐标系与极坐标 (1)极坐标系的定义: 取一定点 O, 称为极点; 自极点 O 引一条射线 Ox, 称为极轴。再取定一个长度单位,通常规定角度取逆 时针方向为正,就建立了一个极坐标系。 (2)点的极坐标: M 点的极坐标(ρ ,θ ) ρ >0,点 M 在θ 的终边上 ρ >0, θ 的终边的反向延长线 (3)极坐标系的四要素:极点,极轴,长度单位,角 度单位和它的正方向(缺一不可) . (4)极坐标系的特别注意: 关于θ 和ρ 的正负:极角θ 的始边是极轴,取逆 时针方向为正,顺时针方向为负, θ 的值一般以弧度 为单位。 3、 极坐标和直角坐标的互化: (1) 互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2) 互化公式 ① ② ③ 第一组公式用于极坐标化直角坐标; 第二组公式用于直角坐标化极坐标. 4、 极坐标方程 (1) 直线 若直线过 M 点的极坐标(ρ 0,θ 0) ,且极轴到此直线 的角为α ,则它的方程为 ρ sin(θ -α )= ρ 0sin(θ 0-α ) 几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:θ =θ 0 和θ =π +θ
0

直线过点 M(α ,0) ,且垂直于极轴:ρ cos=α 直线过点 M(b,π /2) ,且平行于极轴:ρ sin=b 圆

(2)

若圆心为 M(ρ ,θ 0) ,半径为 r,则圆的方程为

X=ρ cosθ Y=ρ sinθ ρ ?=x?+y? tanθ =y/x
(3) 特别提醒: ① 直角坐标化为极坐标用第二组公式. 通常取ρ >0,而极角θ 由 tanθ =y/x 及点(x,y) 所在的象限取最小正角;

ρ ?-2ρ ρ 0cos(θ -α )+ρ ?0-r?=0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 ① ② ③ 圆心位于极点,半径为 r:ρ =r 圆心位于 M(α ,0) ,半径为 a:ρ =2acosθ 圆心位于 M(α ,π /2) ,半径为 a: ρ =2asinθ

5、 参数方程 (1)概念: 坐标 M(x,y)都是某变数 t 的函数 x=f(t),y=f(t) (2)参数方程和普通方程的互化: △注意:x,y 的取值范围保持一致(等价性) . Ⅰ.消参的常见方法,有三种: ①代入法:

② ③注意互化前后方程的等价性.

②三角法:sin?θ +cos?θ =1 1+tan?θ =1/ cos?θ ③整体消元法:x=ρ cosθ

y=ρ sinθ ρ ?=x?+y?

常用的消参技巧:加减消参,代人消参,平方消参 Ⅱ.普通方程化为参数方程需要引入参数.

6、 一些常见曲线的参数方程 (1)过点 Po(xo,yo)倾斜角为α 直线的参数方程为



双曲线的普通方程和参数方程的关系:

x=xo+tcosα (t 为参数) y=yo+tsinα
几何意义: ① 表示参数 t 对应的点到定点的距离 同向时,t 取正数;



异向时,t 取负数; 常见解答题(令附页)

③当点 M 与 Mo 重合时,t=0. (2)圆的方程(x-a) ?+(y-b) ?=r?的参数方程为

x=a+rcosα (α 为参数) y=b+rsinα (3)椭圆的方程(x/a) ?+(y/b) ?=1 x=acosα (α 为参数) y=bsinα (4)抛物线方程 y ?=2px(p>0)的参数方程 X=2pt?(t 为参数)
Y=2pt 几何意义:t 表示抛物线 上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数。 即 M(x,y )为抛物线上

任意一点, 则有 (5)附加,双曲线的参数方程:

①双曲线

的参数方程是

(θ 是参数,0≤θ <2π ,

) 。

② 双 曲 线

的 参 数 方 程 是

③双曲线

上任意点 M 的坐标可设为


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