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高三文科数学第一轮复习函数学案

时间:2012-06-10


2.1 映射与函数的概念
【复习目标】 了解映射的概念,理解函数的概念。 【基础知识复习】 1、映射 (1)映射的定义:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的 , 在集合 B 中都有 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B,以及集合 A 到集合 B 的 对应关系 f )叫做 ,记作 (2)象与原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射

,且 a ? ,且 b ? ,如果元素 a 和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的 , 元素 a 叫做元素 b 的 , 2、函数 (1) 函 数 的 定 义 : 设 A , B 是 非 空 的 数 集 , 如 果 按 某 个 确 定 的 对 应 法 则 f , 使 对 于 集 合 A 中 的 ,在集合 B 中 ,则称 f : A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数. 叫做函数的定义域, 叫做函数的值域. (2)函数的三要素: ; 和 (3)函数的表示方法: ; 和 【基础训练题】 1、设 f : A ? B 是集合 A 到 B 的映射,下列说法正确的是 ( ) A、A 中每一个元素在 B 中必有象 B、B 中每一个元素在 A 中必有原象 C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的 D、B 是 A 中所在元素的象的集合 2、下列各对函数中,相同的是 ( ) A、 f ( x ) ? lg x , g ( x ) ? 2 lg x
2

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

x
f (x)

1 2

2 1

3 1 则
f [ g (1)]

的值为 ;当 g [ f ( x )] ? 2 时, x ? . 【巩固与提升训练】 1.从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是 (A)B 中某一元素 b 的原象可能不只一个 (B)A 中某一元素 a 的象可能不只一个 (C)A 中两个不同元素的象必不相同 (D)B 中两个不同元素的原象可能相同
?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 1 ? ? 2.设函数 f ( x ) ? ? 2 则f ? ? 的值为( ? x ? x ? 2, x ? 1, ? f (2) ? ?

) D. 18 )
x
2

A.

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

3、下列四组中的 f ( x ), g ( x ), 表示同一个函数的是 ( (A) f ( x ) ? 1, g ( x ) ? x
2

0

(B) f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ?
4

?1
9

x

(C) f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x )

(D) f ( x ) ? x , g ( x ) ?
3

3

x

B、 f ( x ) ? lg

x ?1 x ?1

4. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy( x, y ? R ) f )( 2 ? , 1 于( ) A.2 B.3 C.6 D.9
? 1 x ( x ? 4) ?( ) , 5、给出函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f (log ? f ( x ? 1), ( x ? 4 ) ?

, f ( ?2) 等 则

, g ( x ) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1)

C、 f ( u ) ?

1? u 1? u

, g (v ) ?

1? v 1? v

2

3) ? (

)
1 24

D、f(x)=x, f ( x ) ?

x

2

3、 M ? { x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数 关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

(A) ?

23 8
2

(B)

1 11

(C)

1 19

(D)

6.已知函数 f ( x ) ? x ? | x ? 2 | ,则 f (1) ? __________ 7.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 A B C ,其中 A, B, C 的坐标分别为
(0, , , , , , f ( f (0)) 4) (2 0) (6 4) 则 ? _________; 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数 f ? (1) ? _________.

y 4 3 2 1 O A C

y 2 1 1 2 x
2

y 3 2 1 2 1 1 ) 2 x
O

y

O

1

2 x
f (2) f( ) 2 1 ?(

O

8、点 ( a , b ) 在映射 f 的作用下的象是 ( a ? b , a ? b ) ,则 f 的作用下点 ( 3 ,1) 的原象为点 __ 1 2 x
?

B 1 2 3 4 5 6

x

9. 设函数 f ( x ) 的定义域为 N ,且满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? xy , f (1) ? 1 ,则 f (5) ? 10.若函数 y ?
kx ? 7 kx ? 4 kx ? 3
2

4. 函数 f ( x ) ?

x ?1 x ?1
2

, 则

的定义域为 R,则 k 的取值范围是



A.1

B.-1

C.

3 5

D. ?

3 5

5. 已知函数 f ( x ) , g ( x ) 分别由下表给出

1

2.2 函数的解析式和定义域 【复习目标】 会求函数的解析式和定义域 【方法与例题分析】 一. 函数解析式的求法 1.待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 例 1、已知 a,b 为常数,若 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3, f ( ax ? b ) ? x ? 10 x ? 24,
2 2

3.在实际问题中的函数定义域 例 3.用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底部长为 2 x ,求此框 架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并指出其定义域

D 2x A
log x ? 2 的定义域是

C

则 5a ? b ? . 2. 换元法( 注意新元的取值范围) 例 2. (04 年湖北卷.理 3)已知 f ? (A)
x 1? x
2

?1? x ? 1? x ,则 f ( x ) 的解析式可取为( ? ? 2 ?1? x ? 1? x
2



【巩固训练】 1.函数 y ? A. ( 3 , ? ? )
2

B ( )

(B) ?

2x 1? x
2

(C)

2x 1? x
2

(D)-

x 1? x
2

B. [ 3 , ? ? )
3x
2

C. ( 4 , ? ? )

D. [ 4 , ? ? ) ( )
? ? 1 ? , ? ?? 3 ?

2.函数 f ( x ) ? A. ? ? ? , ?
? ? 1? ? 3?

1? x

? lg( 3 x ? 1 ) 的定义域是

B. ? ?
?

?

1 3

,

3、整体代换(配凑法) 例 3.若 f ( x ?
1 x ) ? x ?
2

1? ? 3?

C. ? ?
?

?

1

? , 1? 3 ?

D. ? ?

1 x
2

,则函数 f ( x ? 1) =_____________.

3.已知函数 f ( x ) ? A. ?x x ? 1?

1 1? x

的定义域为 M , g ( x ) ? ln( 1 ? x ) 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( ) C. ?x ? 1 ? x ? 1? ) D. ?

B. ?x x ? 1?

4. 构造方程组法(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数) 例 4.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( 1 ) ? 1 , 则 f ( x ) =
x |x|

4.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=( A.3-cos2x B.3-sin2x 6.已 f ( x ) ? log
6 2

C.3+cos2x
) C.18 ( D.
1 2

D.3+sin2x

x , 那么 f ( 8 ) ? (

A.

4 3
2? x

B.8

二. 求函数定义域的常见类型 1.已知函数解析式求定义域 例 1.(08 湖北 8). 函数 f ( x ) ? A. ( ? ? , ? 4 ][ 2, ? ? ) C. [ ? 4, 0)(0,1] 例 2.与复合函数有关的函数定义域 (1)(08 江西 3)若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0 , 2 ] ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1]
2

6.设 f ( x ) ? lg

?x? ?2? , 则 f ? ? ? f ? ?的定义域为 2? x ?2? ?x?

) D. ( ? 4 , ? 2 ) ? ( 2 , 4 ) ( ) (D)a= 2 ,b= 2

A. ( ? 4 , 0 ) ? ( 0 , 4 )
1 x 1n ( x ? 3x ? 2 ) ?
2

B. ( ? 4 , ? 1) ? (1, 4 )

C. ( ? 4 , ? 1) ? (1, 2 ) (C)a=2,b=1 )
3 2 ? 3 2

? x ? 3 x ? 4 的定义域为
2

(

)

7.若函数 y

? log

a

( x ? b )( a ? 0 , a ? 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则

B. ( ? 4, 0) ? (0,1) D. [ ? 4, 0) ? (0,1]
f (2 x) x ?1

(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 8、图中的图象所表示的函数的解析式为( (A) y ? 的定义域是( )
3 2 | x ? 1 | (0≤x≤2)
3 2 ? | x ? 1 | (0≤x≤2)

(B) y ?

| x ? 1 | (0≤x≤2)

(C) y ?

(D) y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)

B. [0,1)

C. [0,1) ? (1, 4]

D. (0,1)

(2)若函数 f ( x ? 2 ) 的定义域是 [ ? 1,1] ,求函数 f ( x ) 的定义域

二、选择题 8、若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0 , 2 ] ,则函数 y ? f (2 x ? 1) ? f (2 x ? 1) 的定义域是 9.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( x ) ? 10..若函数 f ? x ? ?
2

2

x ? 2 ax ? a

2

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围



2.3

反 函 数

【复习目标】 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数。 【基础知识复习】 1、反函数的定义 设函数 y ? f ( x )( x ? A ) 的值域是 C,根据这个函数中 x ,y 的关系,用 y 把 x 表示出来, 得到 x = ? (y). 如果对于 y 在 C 中的 做函数 y ? f ( x )( x ? A ) 的 3、 求反函数的步骤: ① . ② 4、 互为反函数的函数图像间的关系: 【基础训练题】
2

例 2. (1)设函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? b )( a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) ,其反函数的图像过点 ( 2, 8) , 则 a ? b 等于( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (2)已知函数 f ( x ) 的图象过点(0,1) ,则函数 f ( x ? 4 ) 的反函数的图象必过定点( A、 (1,-4) 和 。 (3)已知函数 y ? B、 (1,4) C、 (1,0) D、 (4,1)
3x ? 1 ? 1? ? x ? ? a , a ? ? 的反函数就是它本身,那么 a ? x ? a ? 3?
2



,通过 x= ? (y), x 在 A 中都有 ,记作 ,习惯上改写成

它对应,那么, x = ? (y)就表示 y 是自变量, x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x = ? (y) (y ? C)叫 2、 函数 y ? f ( x ) 存在反函数的充要条件是__________________________. . ③ .

【巩固与提升训练】 1.. (08 北京 5)函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) 的反函数为( A. f C. f A. e
?1 ?1



( x) ? 1 ? (x) ? 1 ?

x ? 1( x ? 1) x ? 1 ( x ≥ 1)

B. f D. f

?1 ?1

( x) ? 1 ? (x) ? 1 ?

x ? 1( x ? 1) x ? 1( x ≥ 1)

2.08 全国) ( 若函数 y ? f ( x ) 的图象与函数 y ? ln
2 x?2

x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称, f ( x ) ? 则 (



B. e
2

2x

C. e

2 x ?1

D. e )
2

2x+2

1、 (08 湖南 4)函数 f ( x ) ? x ( x ? 0 ) 的反函数是 (
A. f C. f
?1

)

3. (08 天津 3 ) 函数 y ? 1 ? A. y ? ( x ? 1) (1 ≤ x ≤ 3) C. y ? x ? 1(1 ≤ x ≤ 3)
2

x (0 ≤ x ≤ 4) 的反函数是(

( x) ?

x ( x ? 0)

B. f

?1

( x) ? ?

x ( x ? 0)
2

B. y ? ( x ? 1) (0 ≤ x ≤ 4 ) D. y ? x ? 1(0 ≤ x ≤ 4 )
2

?1

( x) ? ? ? x ( x ? 0)

D. f

?1

( x) ? ? x ( x ? 0)
?1

2、设 f ( x ) ? (A)
? 5 6

2x ? 1 4x ? 3

(x ? R且 x ? ?

3 4

) ,则 f

(2) ? (

)
2 5

4.函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 (

)

(B)

5 11
?1

(C)

2 5

(D) ?

3、若函数 f(x)的反函数为 f 4. 函数 y ? e
2 x ?1

( x ) ? lo g 2 x ,则 f ( x ) ?

. .
f
?1

A
(m ) ? f
?1

B
x?3

C ,f
?1

D
+

( ? ∞ ? x ? ? ∞ ) 的反函数是
x

5. (08 陕西 7) 已知函数 f ( x ) ? 2
( n ) 的值为(

( x ) 是 f ( x ) 的反函数,若 m n ? 16 ( m, n ? R ) ,则

5、已知函数 f ( x ) ? a ? b 的图象过点(1,7),又其反函数的图象经过点(4,0),则 f ( x ) 的 表达式为_____________. 【例题分析】 例1、 求下列函数的反函数: (1) f ( x ) ? (3) y ?
2
x x

) B.4 C.1 )
? ? ?? ? 2 x, x ? 0 ?x,x ? 0

A.10 6.函数 y ? ?
? 2 x, x ? 0 ?? x , x ? 0
2

D. ? 2

的反函数是(

1? 2

,x? R ;

(2) y ? lo g 2

x x ?1

( x ? 1) ) ;

2x ? x

2

(1 ? x ? 2 ) ;

? 2 ? x ? 1 ( 0 ? x ? 1) (4) y ? ? 2 ?x (?1 ? x ? 0) ?

? x ? x ,x ? 0 ,x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ? ? A. y ? ? 2 B. y ? ? C. y ? ? 2 ? ?x,x ? 0 ? ? ?x,x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?

D. y ? ?

7.(08 重庆 6)函数 y ? 1 0 (A) y ? ? 1 ? lg x ( x> (C) y ? ? 1 ? lg x (
2

x ?1

2

(0 ? x ? 1) 的反函数是
)

(

)
1 10

1 10

(B) y ? (D) y ?

1 ? lg x (x> 1 ? lg x (
1 10

)

1 10

<x≤ 1 ?

<x≤ 1 ? ( )

8、函数 y ? x ? 2 a x ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 A、 a ? ? ? ? ,1 ? B、 a ? ? 2, ? ? ? C、 a ? [1, 2] 2.4 函数的单调性
3

D、 a ? ? ? ? ,1 ? ? ? 2, ? ? ?

【复习目标】 了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法。 【基础知识复习】 1、对于给定区间 D 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意的两个自变量 x1 , x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,那么就说函数 f ( x ) 在区间上 D 是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,那么就说函数 f ( x ) 在区间上 D 是

例 1、求函数 f ( x ) ? lo g 1 ( 4 x ? x ) 的单调区间
2 2

. 此定义的等价形式: . 此定义的等价形式:

。 例 3.求函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

对于给定区间 D 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意的两个自变量 x1 , x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 。 2、判断函数单调性及求单调区间的常用方法: (1)定义法:(步骤为四步曲) (2)导数法: ①如果函数 y = f ( x ) 在某个区间内可导,那么若 f ( x ) ? 0 ? f ( x ) 为增函数;若
'

3 2

a x ? 2 a x ? b ( a , b ? R ) 的单调增区间
2 2

f ( x ) ? 0 ? f ( x ) 为减函数.
'

【巩固与提升】 1.设函数 f ( x ) 是减函数,且 f ( x ) ? 0 ,下列函数中为增函数的是 (A) y ? ?
1 f (x)

( (D) y ? [ f ( x )] (


2

②如果函数 y = f ( x ) 在某个区间内可导,若 f ( x ) 为增函数 ? 数? 恒成立 。 (3)复合函数的单调性判断方法: (4)运用函数的运算性质:若为 f ( x ), g ( x ) 增函数,则 ① f (x) ? g (x) 为 ③
f (x)

恒成立;若 f ( x ) 为减函

(B) y ? 2

f (x)

(C) y ? log

1 2

f (x)



2. f ( x ) 为 ( ?? , ?? ) 上的减函数, a ? R ,则
2 2



(A) f ( a ) ? f ( 2 a ) (B) f ( a ) ? f ( a ) (C) f ( a ? 1) ? f ( a ) (D) f ( a ? a ) ? f ( a )
2





1 f (x)

为 ④ ? f ( x) 为

( f ( x) ? 0) ;

3 2 ? 3.设 p : f ( x ) ? x ? 2 x ? m x ? 1 在 ( ? ? , ? ) 内单调递增, q : m ≥

4 3

,则 p 是 q 的(





( f ( x) ? 0) ;

; ( 的单调

A.充分不必要条件 ) A. f ? 6 ? ? f ?7 ?

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

⑤ f ( x) ? g ( x) 为

( f ( x ) ? 0, g ( x ) ? 0 ) ;

4.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8 , ?? ? 上为减函数,且函数 y ? f ? x ? 8 ? 为偶函数,则 B. f ?6 ? ? f ?9 ? C. f ?7 ? ? f ?9 ?
? (3 a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 ? lo g a x , x ? 1

(5)图像法: (6)奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性;偶函数在对称的区间上具有 性. 【基础训练题】 1、下列函数中,在区间 ( ?? , 0 ] 上是增函数的是( ) (A) y ? x ? 4 x ? 8
2

D. f ?7 ? ? f ?10 ? 是 (?? , ?? ) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取

5. ( 2006 年 北 京 卷 ) 已 知 f ( x ) ? ? 值范围是 ( (A) (0,1) ) )

(B) y ? log 1 ( ? x )
2

(C) y ? ?
? 1 ?

2 x ?1

(D) y ?

1? x

(B) (0 , )
3

1

(C) [ , )
7 3
2

1 1

(D) [ ,1)
7
2, 判 断 如 下 两 个 命 题 )

1

2、已知函数 f ? x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? f ?1 ? 的实数 x 的取值范围是( ? ? ? x ? A. ? ? 1,1 ? B. ? 0 ,1 ? C. ? ? 1, 0 ? ? ?0 ,1 ?
a

( 6. 对 于 函 数 ① f ( x ) ? x ? 2 , ② f ( x ) ? ( x? 2 ) , ③ f ( x ) ? c o s x?

D. ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ?? ? )

? ? 的真假:命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数; 命题乙: f ( x ) 在 ( ? ? ,) 上是减函数,在 ( 2, ? ) 上是增函数;

2 3、若 f ( x ) ? ? x ? 2 ax 与 g ( x ) ?

A. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) 4. 若函数 f(x)=
1 2 ?1
x

x ?1 B. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1]

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是( C. (0,1) D. ( 0 ,1] )

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② B.①③ C.② 7.函数 f ( x ) ? 2 8.函数 f ( x ) ? log
? x ? 4 x?3
2
2

) D.③ ;

的递增区间为

1 2

( ? x ? 4 x ? 3 ) 的递减区间为

, 则该函数在(-∞,+∞)上是 (

(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 5、函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 是减函数的区间为(
3 2

(D) 单调递增有最大值

) (D) (0, 2 ) 2.5 函数的奇偶性和周期性
4

(A) ( 2, ? ? ) 【例题分析】

(B) ( ? ? , 2 )

(C) ( ? ? , 0 )

【复习目标】 1.了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 2.了解周期函数与最小正周期的意义。 【基础知识复习】 1、奇函数、偶函数的定义 对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有 (或 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ) ,则称函数
f (x) 为

4. (07 宁夏)设函数 f ? x ? ?

? x ? 1 ?? x ? a ?
x

为奇函数,则实数 a ?
1 f

5. (2006 年安徽卷)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
f

?x?

,若 f ? 1 ? ? ? 5, 则

? f ? 5 ? ? ? __________。
1 2 , f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? f ( 2 ), 则 f ( 5 ) ? (

【巩固训练】 1.设函数 f ( x )( x ? R ) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1 )

对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有
f (x) 为

(或 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ) ,则称函数

2、函数奇偶性的判断方法 (1)定义域优先原则:判断函数定义域是否 (2)考查表达式 f ( ? x ) 是否等于

C.

5 2

D.5

; 或

2.(2005 重庆卷)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 ( ?? , 0 ] 上是减函数,且 f(2)=0,则使得

3.奇函数、偶函数的图像与性质 (1)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上 具有 的单调性; (3)奇函数 f ( x ) 的定义域含 0,则 f (0 ) ? ; (4) f ( x ) 为 ,则 f ( x ) ? f (| x |) ; 4、函数的周期性 (1 ) 对 于函 数 f ( x ) , 如 果 存 在 一 个 非零 常 数 T , 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 每一 个 值 时 , 都有
f ( x ? T ) ? f ( x ) ,则 f ( x ) 为

f(x)<0 的 x 的取值范围是

(

) )

(A) (-?,2) (B) (2,? ?) (C) (-?,? 2)?(2,? ?) (D) (? 2,2) 3. (2006 年山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 ( (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 4. (福建卷 4)函数 f ( x ) ? x ? sin x ? 1 ,若 f ( a ) ? 2 ,则 f ( ? a ) 的值为(
3

) D.-2 )

A.3 B.0 C.-1 5. (2006 年辽宁卷)设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( (A) f ( x ) f ( ? x ) 是奇函数 (C) f ( x ) ? f ( ? x ) 是偶函数 (B) f ( x ) f ( ? x ) 是奇函数 (D) f ( x ) ? f ( ? x ) 是偶函数

, T 为这个函数的 。

.若 f ( x ) 的周期中存在

一个最小的正数,则称它为 f ( x ) 的

6. (重庆卷 6)若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x1 , x 2 ? R 有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ,, 则下列说法一定正确的是( ) (A) f ( x ) 为奇函数 (B) f ( x ) 为偶函数 (C) f ( x ) ? 1 为奇函数(D) f ( x ) ? 1 为偶函数 7.(四川卷 10)设 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( (A) f ? 0 ? ? 1 (B) f ? 0 ? ? 0 (C) f
'

(2)判断函数是周期函数的常见结论: a ? 0 ) ( ① f ( x ? a ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 是以 为周期的周期函数; ② f (x ? a) ? ③ f (x ? a) ?
1 ? f (x) ? f ( x ) 是以 ? f ( x ) 是以

为周期的周期函数; 为周期的周期函数;

)

?0? ? 1

(D) f

'

?0? ? 0
x

1 ? f (x) 1 ? f (x)

8. (安徽卷 11)若函数 f ( x ) , g ( x )分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x ) ? g ( x ) ? e , 则有( ) A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) ) ) 9. (2005 江西卷)若函数 f ( x ) ? log a ( x ?
f ( x ) ? x ? x ,则当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f ( x ) ?
4
2

【基础训练题】 1. (08 辽宁 2)若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数,则 a= A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2
2





B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)
x ? 2 a ) 是奇函数,则 a=
2

2、已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x ), 当 x ? (0, 2)时 , f ( x ) ? 2 x , 则 f (7 ) ? ( A.-2 B.2 C.-98 D.98 3. (2006 年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x , x ? R
3

10. (2006 年上海春卷)已知函数 f ( x ) 是定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ? , 0 ) 时, .

(
1 x 2

B. y ? sin x , x ? R
1? x 1? x

C. y ? x , x ? R
.若 f ( a ) ? b .则 f ( ? a ) ? 1 b

D. y ? ( ) , x ? R ( D.-
1 b
5

3、(2004.全国理)已知函数 f ( x ) ? lg A.b B.-b



2.6 二次函数 【复习目标】 掌握二次函数的图像和性质;会求二次函数的解析式,会求二次函数在闭区间上的最值;理解一元二

C.

次方程根的分布的充要条件. 【基础知识复习】 1、二次函数解析式的三种形式: 一般式:__________________________________ 顶点式:___________________________________ 两点式:________________________(其中 x 1 , x 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的根)
2

(A) a

?

1 2

,b ?
2

5 2

(B) a

?

1 2

,b ? ?

5 2

(C) a

? ?

1 2

,b ?

5 2

(D) a

? ?

1 2

,b ? ?

5 2

5.一元二次方程 ax A、 a ? 0 7、方程 mx 的实根; 与区间的关系.
2

? 2 x ? 1 ? 0 ( a ? 0 ) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(

) .

B、 a ? 0
2

C、 a ? ? 1

D、 a ? 1

6、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的解集是 ( ?? , ?? ) ,则实数 a 的取值范围是
? 2 mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

2、 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化 ① f ( x ) ? ax
2

8、在函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 中,若 a,b,c 成等比数列且 f ( 0 ) ? ? 4 ,则 f ( x ) 有最_____值(填 “大”或“小”,且该值为__ ) 9、函数 f(x) = x ? x ?
2

? bx ? c ( a ? 0 ) 的图像与 x 轴交点的横坐标是方程

__ 个整数.

②当____ ___时, f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,当__ ____时, f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立。 3、 二次函数在闭区间上的最值:关健是结合图像判断 4、 结合二次函数的图像和性质,讨论一元二次方程实根的分布:
2

1 2

的定义域是[n,n+1](n∈N*) ,则函数 f(x)的值域中共有
2

10、函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 , x ? [ ? 1,1] ,若 f ( x ) ? t ? 2 at ? 1 对所有 a ? [ ? 1,1] 的成立,则 t 的取
2

设 x 1 , x 2 是方程 f ( x ) ? ax ? bx ? c ? 0( a ? 0) 的两个实根,写出下列各情况的充要条件 ①当 x1 ? m ? x 2 时 ? _____________________________________________ ②当在 ( m , n ) 有且只有一个实根时 ? ___________________________________ ③当在 ( m , n ) 内有两个不相等的实根时 ? _______________________________ ④当 m ? x1 ? n ? p ? x 2 ? q 时 ? 【基础训练题】 1、已知函数 y= x2+bx+c 是偶函数,则函数 y=cx+b-1 必过定点 A. (0,1) B. (0,-1) C. (-1,0) D. (1,0) 2. 已知 2 x ? 3 x ? 0 ,那么函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 的最值情况是(
2

值范围是

.
2

11. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 , x ? [ ? 5 ,5 ](1) a ? ? 1 时, 当 求函数 f ( x ) 的最大值与最小值; 2) ( 求实数 a 的取值范围,使 f ( x ) 在区间 [ ? 5 , 5 ] 上存在反函数。

( )



2

A、有最小值

3 4

,但无最大值
19 4

B、有最小值

3 4

,有最大值 1 12.已知二次函数 f ( x ) 满足:①在 x ? 1 时有极值;②图象过点 ( 0 , ? 3 ) ,且在该点处的切线与直线
2 x ? y ? 0 平行,求 f ( x ) 的解析式。

C、有最小值 1,有最大值
2

D、无最小值,也无最大值 方

程 3. x ? 2 ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是 4.、已知二次函数 f ( x ) 的最大值为 8,且它的图像过两点 A ( ? 2, 0), B (1, 6) ,则此二次函数的解析式为 【巩固与提升】 1、已知函数 f(x)=ax2+(1-3a)x+a 在区间[1,+∞]上递增,则 a 的取值范围是 ( 1 A.{1} B. (,1) C.[1,+∞] D.[0,1] 2 2、如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(t+2)=f(2-t),那么 A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)
2 2







3、二次函数 y ? x ? 2 ( a ? b ) x ? c ? 2 ab 的图像的顶点在 x 轴上,且 a,b,c 为 ? ABC 的三边长,则
? ABC 为 (

) (B)直角三角形
2

(A)锐角三角形 交点,则( )

(C)钝角三角形

(D)等腰三角形
?1

4.设 P(3,1)为二次函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? b ( x ? 1) 的图象与其反函数 y ? f

( x ) 的图象的一个

2.7 指数与指数函数 【复习目标】 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质。
6

【基础知识复习】 1、 指数幂的概念 (1)如果一个数的 n 次方等于 a ( n ? N , n ? 1) ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若 x ? a ,则 x
*
n

2、函数 y ?

?1? ? ? ? 1 的定义域是 ?2?
0 .2 1 .6

x

叫 ,其中 n ? N 且 n ? 1 ,式子 n a 叫做 ,这里 n 叫做 , a 叫做 . (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时, a 的 n 次方根用符 号 表示 ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,正数的正的 n 次方根用符号 表示,正 数的负的 n 次方根用符号 表示,正负两个 n 次方根可以合写为 . 负数没有偶次方根,0 的任何非零次方根都是 0.
*

3.比较下列各数的大小 (1)
0 .4
?b
0 .2

, a ,
b

2

,
a

2

; ;

(2) a

,

a

其中 0 ? a ? b ? 1
1

【巩固与提升训练】 1.函数 f ( x ) ? A. ( ? ? , 0 )
1
b

的定义域是(
x

) C. (0, ? ? ) D. [0, ? ? )

1? e
1 1

B. ( ? ? , 0 ]
a c

③(n a ) ?
n

;

④ a ??
n n

? a , ( n为 奇 数 ) ? | a |, ( n 为 偶 数 )
m n

2. 若 ( ) ? ( ) ? ( ) ,则(
3
b

)
a b c c b a

3
a c

3

(3)分数指数幂的意义
m

(A) 2 ? 2 ? 2 ; (B) 2 ? 2 ? 2 ; (C) 2 ? 2 ? 2
( a ? 0 ,m ,n? N )
*

(D) 2 ? 2 ? 2
c a

b

①a

n

?
s

( a ? 0, m , n ? N ) ;
*

②a
r

?

?

3.已知集合 M ? ?? 1,1? , N ? ? x ? Z
?
x

?

1 2

? 2

x ?1

(4)有理数指数幂的运算性质 ①a ?a ?
r

? ? 4 ? ,则 M ? N ? ( ) ?

A. ?? 1,1?
s

B. ?? 1?
9 B. (1,]

C. ?0 ?
1) C. (0,

D. ?? 1, 0 ? )
? D. [9, ? )

( a ? 0, r , s ? Q ) ; ② a ? a ? ( a ? 0, r , s ? Q ) ;④ ( a b ) ?
r x

( a ? 0, r , s ? Q ) ( a ? 0, b ? 0, r ? Q )

4. (07 北京卷)函数 f ( x ) ? 3 (0 ? x ≤ 2 ) 的反函数的定义域为(
? A. (0, ? )
f ( x ) ? 3 ? 1,则有(
x

③ (a ) ?
r s

2.指数函数 (1)指数函数的定义:一般地,函数 y ? a ( a ? 0, a ? 1) 叫做 (2) 指数函数 y ? a ( a ? 0, a ? 1) 的图像和性质
x

5. (07 江苏卷)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, ,其中 x 是自变量.
0 ? a ?1


2

a ?1

A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) C. f ( ) ? f ( ) ? f ( )
3 3
x

1

3

B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( )
2 3 3

2

3

1



3 2

2 1

3 3
2

3 3

2 2

3 1

6. (2005 上海)方程 4 ? 2 ? 2 ? 0 的解是
x


?1

像 性 值域: 过定点: 质

7.已知 f ( x ) ? a ?

2 2 ?1
x

是定义在 R 上的奇函数,则 f
1 3 1 3

3 ( ) 的值是 5
? 1 2 1

8. (08 重庆 14)若 x ? 0, 则 ( 2 x 4 ? 3 2 )( 2 x 4 ? 3 2 ) ? 4 x 9.
( x ? 1 x ) 展开式中的常数项是
9

(x ? x2 ) ?

.

10. 求值或化简(1) : ( )
4

1

?

1 2

?

( 4 ab ( 0 . 1)
?2

?1

)

3 1

; ( 2 ) a b ? a b ( a ? 0, b ? 0 ) =
2 3 2

?4

(a b

3

?3

)2

【基础训练题】 1、把下根式化为幂的形式
2

2.8 对数与对数函数
4 ? 2 3

(1) a b ?
4 2 3

;

? (2) ? ? ?

b

?3 ? ? ? ?

;(3)

a a

2

? a
2

.
7

3

【复习目标】 理解对数的概念,掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像和性质。能够运用对数函数 的性质解决某些简单的实际问题 【基础知识复习】

1、 对数 (1)对数的概念:如果 a ( a ? 0 , a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,就是 a ? N ,那么数 b 叫做
b

,记作 .

【巩固与提升训练】 1. (08 湖南 6)下面不等式成立的是 ( A. lo g 3 2 ? lo g 2 3 ? lo g 2 5 C. log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 5

)

b ? lo g a N ,其中 a 叫做对数的

, N 叫做对数的 , , ; ④a
lo g a N

B. log 3 2 ? log 2 5 ? log 2 3 D. log 2 3 ? log 2 5 ? log 3 2
2 ? lo g a 3,y ?
1 2 lo g a 5 , z ? lo g a

(2)两个特殊对数:通常将 lo g 1 0 N 叫做常用对数,记作 通常将 lo g e N ( e ? 2 .7 1 8 2 8 ???) 叫做自然对数,记作 (3)对数的性质 ① 没有对数; ② log a 1 ?
M N

2. (08 辽宁 4)已知 0 ? a ? 1 , x ? lo g a (对数恒等式) 则( ) A. x ? y ? z A. (ln 2 )
2

2 1 ? lo g a

3,

; ③ lo g a a ?

?

2.对数的运算性质 ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) (1) lo g a ( M N ) ? (4) 3.对数函数 (1)对数函数的定义:函数 y ? log a x ( a ? 0, a ? 1) 叫做
a ?1 0 ? a ?1

B. z ? y ? x B. ln(ln 2)

C. y ? x ? z )
2

D. z ? x ? y D. ln 2
1 1

3.(07 全国 II) 下列四个数中最大的是( ;
n

; (2) lo g a
lo g b M lo g a b

?

(3) lo g a M
?

n

?

; .

C. ln )

?

(换底公式)

(5) lo g a M
n

4. (08 江西 4)若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 ? 3
y x

B. lo g x 3 ? lo g y 3
ln 2 ,b ? ln 3

C. lo g 4 x ? lo g 4 y
,c ? ln 5

D. ( ) ? ( )
x

y

4

4

.

5.(2005 全国卷 III)若 a ? (A) a ? b ? c a<b<c A. a < b < c

,则(

) (D) b ? a ? c
3



2 3 (B c ? b ? a
?1

5 (C) c ? a ? b

1) 6. (08 全国Ⅱ5)若 x ? ( e ,, a ? ln x, b ? 2 ln x, c ? ln x ,则(


1 2

B. c < a < b

C. b < a < c

D. b < c < a ,

像 性 值域: 过定点: 质

7.(07 全国Ⅰ) 设 a ? 1 ,函数 f ( x ) ? log a x 在区间 [ a , 2 a ] 上的最大值与最小值之差为
a ?(

) B.2
2 1? x

A. 2 8.设 f ( x ) ? lg( A. ( ? 1, 0)

C. 2 2

D.4 )

? a ) 是奇函数,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是(

B. (0,1)
2

C. ( ? ? , 0 ) (D) p>m>n

D. ( ? ? , 0 ) ? (1, ? ? ) )

【基础训练题】 1、 lg 8 ? 3 lg 5 ? (

9.设 a>1,且 m ? lo g a ( a ? 1), n ? lo g a ( a ? 1), p ? lo g a ( 2 a ) ,则 m , n , p 的大小关系为( ) D. 3 )
a

(A) n>m>p 10.已知 a ? log (A) a ? b ? c
N ,则 M ? N
2

(B) m>p>n (C) m>n>p
0 .7

A. ? 3 B. ? 1 C. 1 2、对于 a ? 0 , a ? 1 ,下列说法中,正确的是( (A) 若 M ? N , 则 log a M ? log (C) 若 log a M A. a ? b ? c
2
a

0 .8 ,

b ? log

1 .1

0 .8 ,

c ? 1 .1

0 .7

,则 a , b , c 的大小关系是( (D) b ? c ? a



(B) b ? a ? c

(C) c ? a ? b
2

N

(B) 若 log a M ? log

11.(2005 江苏卷)函数 y ?
2

lo g 0 .5 ( 4 x ? 3 x ) 的定义域为

? log

a

N ,则 M ? N
2

(D) 若 M ? N , 则 log a M C. c ? a ? b

? log

a

N

12 f ( 5

2 x ?1

) ? x ? 2 , 则 f (125 ) ? _________
2

3. (08 北京 2)若 a ? log 3 π , b ? log 7 6, c ? log 2 0.8 ,则( B. b ? a ? c
2

) D. b ? c ? a ) D. ( 3
2

13.函数 f ( x ) ? lo g 1 ( ? x ? 2 x ? 3) 的减区间是
4

4. (2004 重庆理)函数 y ? A. [1, ? ? ) 5. 化简

lo g 1 (3 x ? 2 ) 的定义域是: (

2 B. ( 3 , ? ? )

C. [ 3

2

,1]

,1]

lg 8 ? lg 125 ? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0 . 1

=

8


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