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高一下数学期末综合试题


高一下学期测试题
满分 100 分,时间 90 分钟
一、单项选择题(共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) x?2 ? 0 的解集是() 1.不等式 x ?1 A. (??, ? 1) ? (?1 , 2] B. [?1 , 2] C. (??, ? 1) ? [2, ? ?) D. (?1, 2]

2.已知等差数列 1, a,

b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为() A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 D. ?3

3.已知 a, b ? R ,且 ab>0,则下列不等式不正确 的是() ... A. | a ? b |? a ? b B. | a ? b |?| a | ? | b | C. 2 ab ?| a ? b | D.
b a ? ?2 a b

4.点 P ( x, y ) 是直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的动点,点 A(2,1) ,则 AP 的长的最小值是( (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2

)

5.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为()
2 2

(A) ?4

(B) ?2

(C) ?2 2

(D) ? 2

6. ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是()
A. (0,

?
3

]

B. [

?
3

,? )

C. (0,

?
6

]

D. [

?
6

,? )

7. 如果长方体三面的面积分别是 2, 3, 6 ,那么它的外接球的半径是( A. 6 B.
6 2



C. 3

D.

3 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? 2, 则 点 集 8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , 两 定 点 A, B 满 足 OA ? OB ? OA?

?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? P| OP ?? OA ?? O ,B ? ? ? ?1 , ? , ?? 所表示的区域的面积是( R

?



A. 2 2

B. 2 3

C. 4 2

D. 4 3

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 9.△ABC 中,如果
b a c = = ,那么△ABC 的形状是. tan B tan A tan C

10.若不等式 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是______

. 的取值范围是

? ? ? ? ? 11.已知 a =(1,2), b =(1,1),且 a 与 a +λ b 的夹角为锐角,则实数 λ

____________. 12.给出以下五个结论: ①若等比数列{ an }满足 a1 ? 2, 且S 3 ? 6 ,则公比 q ? ?2 ; ②数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos
n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 s13 ? 19. 2

③ 若数列 an ? n2 ? ?n(n ? N? ) 为单调递增数列,则 ? 取值范围是 ? ? ?2 ; ④ 已知数列 {an } 的通项 an ? ⑤1 ?
3 ,其前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值为 12 . 2n ? 11

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? (n ? 2 ) 2 2 3 n n

其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确的序号) ..

三、解答题,(共 5 小题,满分 52 分)
13.(本题 10 分) 已知直线 l 经过点 P(?2,5) ,且斜率为 ? (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线

3 . 4
上的圆的方程.

14.(本题 10 分) 已知:圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB ? 2 , BC ? 6 , CD ? AD ? 4 , 求:四边形 ABCD 的面积。 D

A B

C

15.(本题 10 分) 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0) ,B(0,3) , Co c s (n i s , )?

? 3? 。 ? (? ? ( , ) )
2 2

??? ? ??? ? (Ⅰ)若 | AC |?| BC | ,求:角 ? 的值;
(Ⅱ)若 AC ? CB ? ?1 ,求:

??? ? ??? ?

2sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan ?

16.(本题 10 分) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的 值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

17.(本题 12 分) 已知:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? 2n ? Sn , (1)求证:数列 ?an ? n ? 2n ?1? 是等比数列; (2)求:数列 ?an ? 的通项公式; (3)若数列 ?bn ? 中 bn ?

(n2 ? 19) ? 2n ,求: bn 的最小值。 an

参考答案 一、选择题: 1、D 2、C 3、B 二、填空题

4、C

5、B

6 、A

7、B

8 、D

9、等边三角形 10、 (??, 2] 三、解答题

11、(-

5 +?) ,0) ?(0, . 3

12、②,⑤

13、解: (Ⅰ)由直线方程的点斜式,得

整理,得所求直线方程为 (Ⅱ)过点(2,2)与 l 垂直的直线方程为 ,

……………4 分 ……………5 分



得圆心为(5,6) ,

……………7 分

∴半径 故所求圆的方程为

, .

……………9 分 ………10 分

14、解:如图:∵ ABCD 是圆内接四边形,
? ∴ ?B ? ?D ? 180 ,∴ cos B ? ? cos D , sin B ? sin D ,…………………………………(3 分) 2 2 2 根据余弦定理: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos?B

? AD2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD ? cos?D

D

2 2 2 2 即: 2 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 cos B ? 4 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 cos B ,…………………………………(6 分) A C

∴ cos B ?

1 4 3 ,∴ sin B ? ,…………………………………(8 分) 7 7

B

∴ S ABCD ? S ?ABC ? S ?ADC ?

1 1 AB ? BC ? sin B ? AD ? DC ? sin D ? 8 3 …………(10 分) 2 2

即: 四边形 ABCD 的面积是 8 3 。 15、解: (Ⅰ)∵AC=(cosa-3, sina), BC=(cosa, sina-3).………………………………(2 分) → 2 2 ∴∣AC∣= (cos a ? 3) ? sin a ? 10 ? 6 sin a 。 → 2 2 ∣BC∣= cos a ? ( sin a ? 3) ? 10 ? 6 sin a 。………………………………(3 分) → → 由∣AC∣=∣BC∣得 sina=cosa.

又∵a ? (

? 3?
2 , 2

) ,∴a=

→ → (Ⅱ)由 AC·BC=-1,得(cosa-3)cosa+sina (sina-3)=-1 ∵sina+cosa=

5? .…………………………………………………………(5 分) 4

2 .①…………………………………………………………………(6 分) 3



2 sin 2 a ? sin 2a 2 sin 2 a ? 2 sin a cosa ? ? 2 sin a cosa . ……………………(8 分) sin a 1 ? tana 1? cosa

由①式两边平方得 1+2sinacosa= ∴2sinacosa= ?

4 , 9

5 , 9



2 sin 2 a ? sin 2a 5 ? ? . …………………………………(10 分) 1 ? tana 9

16、解:(1)方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ,可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m, ∵此方程表示圆, ∴5-m>0,即 m<5.…………………………………(3 分) ?x2+y2-2x-4y+m=0, ? (2)? ? ?x+2y-4=0, 消去 x 得(4-2y)2+y2-2× (4-2y)-4y+m=0, 2 化简得 5y -16y+m+8=0. 16 y1+y2= , ① 5 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 m+8 y1y2= . ② 5

? ? ?

由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0, 即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 m+8 16 8 16-8× +5× =0,解之得 m= .…………………………………(6 分) 5 5 5 8 (3)由 m= ,代入 5y2-16y+m+8=0, 5 12 4 化简整理得 25y2-80y+48=0,解得 y1= ,y2= . 5 5 4 12? 4 12 ?12 4? ∴x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . ∴M ? ?-5, 5 ?, N ? 5 ,5?, 5 5 4 8? ∴ MN 的中点 C 的坐标为? ?5,5?. 12 4?2 ?4 12?2 8 5 又|MN|= ? ? 5 +5? +?5- 5 ? = 5 , 4 5 ∴所求圆的半径为 . 5 4 8 16 x- ?2+?y- ?2= .…………………………………(10 分) ∴所求圆的方程为? ? 5? ? 5? 5 17、解:由题意知 a1 ? 2 ,且 2an ? 2 ? Sn
n

2an?1 ? 2n?1 ? Sn?1

两式相减得 an?1 ? 2an ? 2n ① (1)由①知 an?1 ? 2an ? 2n , 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2n ?1
n n n

?

?

∵ a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,∴数列 an ? n ? 2n ?1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。┈┈┈┈┈┈5 分 (2)由(1)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 (3) bn ?
n?1

?

?

,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分

(n2 ? 19) ? 2n (n2 ? 19) ? 2n n2 ? 19 (n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? 20 ? 2 ? ? ? 2 ? n ?1 an n ?1 ? n ? 1? 2n?1

20 ? 2] ? 2[2 20 ? 2] n ?1 20 当且仅当 (n ? 1) ? ,即: n ? 20 ?1 时等号成立, n ?1 ? 2[(n ? 1) ?
∵ n ? N * ,∴当 n ? 20 ?1 ,即: n ? 1, 2,3 时,数列递减; 当 n ? 20 ?1 ,即: n ? 4,5, 6,? 时,数列递增; ∵ b3 ? 2 ?

32 ? 19 42 ? 19 ? 14 , ? 14 , b4 ? 2 ? 4 ?1 3 ?1

∴当 n ? 3 或 n ? 4 时, (bn )min ? 14 。┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分


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