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揭阳市2014届高中三年级学业水平考试(理数)带详细答案

时间:2014-01-23


绝密★启用前

揭阳市 2014 届高中三年级学业水平考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 2014.1.23 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ? 1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 i(i ? 1) 对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合 A ? {x | y ? lg( x ? 3)}, B ? {x | x ? 2} ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B

3.“ ? ? ? ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为奇函数的”

???? ??? ? ??? ? 4. 向量 BA ? (?1, 2), BC ? (3, 4), 则 AC ?
A. (4, 2) 5. 若双曲线 B. (?4, ?2)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

C. (2, 6)

D. (?4,2)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a 2 b2
B. ? 2 C. ?

A. ?2

1 2

D. ?

2 2

x ?1 ? ? 6. 已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为 ? kx ? y ? 0 ?
1

A.1 B. ?1 C.0 D. ?2 7. 图(1)中的网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画 出了某多面体的三视图,则该多面体的体积为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 20

4 8. 已知 f ( x) ? 2 x ? px ? q , g ( x ) ? x ? 是定义在集合 x
2

正视图

侧视图

俯视图

5 图(1) M ? {x |1 ? x ? } 上的两个函数.对任意的 x ? M ,存在常数 x0 ? M ,使得 f ( x) ? f ( x0 ) , 2

g ( x) ? g ( x0 ) ,且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) .则函数 f ( x) 在集合 M 上的最大值为
A.

9 2

B.4

C. 6

D.

89 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9. ( x ? 1) 的展开式中 x 的系数是
10

2

. (用数字作答) . .

10. 若命题: “对 ?x ? R, kx ? kx ? 1 ? 0 ”是真命题,则 k 的取值范围是
2

11. 设函数 f ( x) ? ?

? ?

x ,x?0

? ? ?x , x ? 0

,若 f (a) ? f (?1) ? 2 ,则实数 a ?

12. 图(2)是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图,其中一个 数字被污损;则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 . 13.由恒等式: 1 ? 2 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? ? ? 3 .可得

1? 3 1? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ?

; 进而还可以算出 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? ? 、

1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? 8 1 ? ? 的值,并可归纳猜想得到
1 ? n 1 ? (n ? 1) 1 ? (n ? 2) 1 ? ( n ? 3) 1 ? ? ?
(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,已知点 P 为方程 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 所表示的
?? PQ 的最小值为 曲线上一动点, Q ? ? 4, ? ,则
? 3?

. ( n ? N *)



15. (几何证明选讲选做题)如图(3) ,已知 AB 是圆 O 的直径,
2

C 是 AB 延长线上一点,CD 切圆 O 于 D,CD=4,AB=3BC, 则圆 O 的半径长是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? log3 (

3n ) ? log3 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n . 2

17. (本小题满分 12 分) 根据空气质量指数 AQI (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

AQI (数值)
空气质量级别 空气质量类别

0 ? 50

51 ? 100

101 ? 150

151 ? 200

201 ? 300

? 300

一级 二级 三级 四级 五级 六级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市 2013 年 10 月 1 日—10 月 30 日,对空气质量指数 AQI 进行监测,获得数据后得到如图 (4)的条形图: (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率; 天数 (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ? 为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求 ? 的分布列.
10 8 6 4 2 0

空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 cos(

图(4)

?
3

? A) ? 2cos A, 求 A 的值; 1 3
2c 2 ,求 sin C 的值.

(2)若 cos A ? , 且△ABC 的面积 S ?

3

19. (本小题满分 14 分) 如图(5),已知 A, B, C 为不在同一直线上的三点,且 AA1 / / BB1 / / CC1 ,

AA1 ? BB1 ? CC1 .
(1)求证:平面 ABC //平面 A1 B1C1 ; (2)若 AA1 ? 平面 ABC ,且 AC ? AA1 ? 4 , BC ? 3, AB ? 5 , 求证:A1C 丄平面 AB1C1 (3)在(2)的条件下,求二面角 C1-AB1 -C 的余弦值.

20.(本小题满分 14 分) 如图(6) ,已知 F (c,0) 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点; a 2 b2

? F : ( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 与 x 轴交于 D, E 两点,其中 E 是椭圆 C 的左焦点.
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 ? F 与 y 轴的正半轴的交点为 B ,点 A 是点 D 关于 y 轴的对称点, 试判断直线 AB 与 ? F 的位置关系; (3)设直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 G , 若 ?B G D 的面积为

24 6 c, 求椭圆 C 的标准方程. y 13
B

21. (本小题满分 14 分) 已知 x ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ?

x E O F D

ax x ?1
图(6)

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;

(2) 当 f ( x) 有两个极值点 (设为 x1 和 x2 ) 时, 求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x ?1 ? [ f ( x) ? x ? 1] . x

4

揭阳市 2014 届高中三年级学业水平考试
数学(理科)参考答案
一.选择题 CDAA BACC 解析: 8.依题意知, 两个函数的图象有共同的最低点, 由 g ( x) ? x ? 4 ? 2 x ? 4 ? 4 , 当且仅当 x ? 2
x x

“=”成立,故两函数图象的最低点为(2,4) ,由此得 p ? ?8, q ? 12 ,所以

f ( x) ? 2 x 2 ? 8 x ? 12 , f ( x) 在集合 M 上的最大值为 f (1) ? 6 ,选 C.
二.填空题:9.45;10. ?4 ? k ? 0 ;11. ?1 12. 4 ;13.4、 n ? 1;14.
5

6 ;15. 3.

解析:12.设被污损的数字为 x( x ? N ) ,则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得, 88 ? 89 ? 92 ? 91 ? 90 ? 83 ? 83 ? 87 ? 99 ? 90 ? x ,解得 0 ? x ? 8 ,即当 x 取 0,1,??,7 时符合题意,故所求的概率 P ? 8 ? 4 .
10 5

13. 设 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ? x,则依题意可得 1 ? 2 x ? 3, 解得 x ? 4 ,

类似地可得 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? ? =5,??,由此可猜测

1 ? n 1 ? (n ? 1) 1 ? (n ? 2) 1 ? ( n ? 3) 1 ? ? ? n ? 1.
三.解答题: 16.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 , 得 2q ? 2q ? 12 ? 0 ,即 q ? q ? 6 ? 0 .-------------------------------------------------------------3 分
2 2

解得 q ? 3 或 q ? ?2 ,--------------------------------------------------------------------------------------5 分 ∵ q ? 0 ∴ q ? ?2 不合舍去,∴ an ? 2 ? 3
n ?1

;---------------------------------------------------------6 分

3n 3n (2)由 bn ? log3 ( ) ? log3 an 得 bn ? log3 ( ? 2 ? 3n ?1 ) ? log 3 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,-----------------8 分 2 2
∴数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列,-----------------------------------------------------9 分

5

∴ S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?

2(3n ? 1) n(1 ? 2n ? 1) ? 3n ? 1 ? n2 .----------------12 分 ? 3 ?1 2

17.解: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, ---------------------------1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P ? 6 ? 1 .------------------------------------4 分 30 5 (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,----------------------------------------------------------------------5 分 则 P ?? ? 0 ? ?
2 C26 65 ? ,--------------7 分 2 C30 87

P ?? ? 1? ?

1 1 C4 C26 104 ,-----------9 分 ? 2 C30 435

P ?? ? 2 ? ?

所以 ? 的分布列为:

2 C4 2 ----------11 分 ? 2 C30 145

?
P

0 65 87

1 104 435

2 2 145

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 18.解: (1)由 cos( A ?

?
3

) ? 2cos A,

得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2cos A, -------------------------------------------------------------------2 分

1 3 ? cos A ? sin A ? 2 cos A, 2 2

3 sin A?

3 cA o,----------------------------------------------s 4分

∴ tan A ? 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∵0? A?? ∴ A ? ? ;-----------------------------------------------------------------------------------7 分
3

(2)解法 1:? cos A ?

1 ? ∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2 2 , --------------------------8 分 , ∴0 ? A ? 3 2 3

由 S ? 2c 2 ?

1 2 bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c -----------12 分 由正弦定理得:
c a c ,即 2 2c ? ? sin A sin C sin A sin C

? sin C ?

sin A 1 ? .----------------------------------------------------------------------------------14 分 2 2 3
6

【解法 2:? cos A ?

1 ? , ∴0 ? A? 3 2

∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2 2 , -----------------------8 分 3

由 S ? 2c 2 ?

1 2 bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3

由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 9c2 ? c2 ? 2c2 ? 8c 2 ,∴ a ? 2 2c -----------12 分 ∵ a 2 ? c2 ? 8c2 ? c2 ? 9c2 ? b2 ,∴△ABC 是 Rt△,角 B 为直角,------------------------------13 分

? sin C ?

c 1 .-------------------------------------------------------------------------------------------- 14 分】 ? b 3

【:解法 3:? cos A ?

1 ? , ∴ 0 ? A ? ∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2 2 , -----------------------8 分 3 2 3

1 2 由 S ? 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c ----------------12 分
2 2 2 2 2 2 2

又S ?

1 1 1 ab sin C ? 2c 2 ,得 ? 2 2 c?3 c?sin C ? 2 c 2 ,∴ sin C ? .-----------------------14 分】 2 2 3 1 ? , ∴0 ? A? 3 2
∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ?

【解法 4:? cos A ?

2 2 , ---------------------8 分 3

由 S ? 2c 2 ?

1 2 bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3
sin B sin C

由正弦定理得: b ? c ,则 3sin C ? sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ,--11 分

3sin C ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C , 3sin C ? 2 2 cos C ? 1 sin C ,
3 3
整理得 cos C ? 2 2 sin C ,代入 sin C ? cos C ? 1 ,得 sin 2 C ? 1 ,-------------------------13 分
2 2

9

? 由c ? b 知0 ? C ? ,
2

1 ? sin C ? .--------------------------------------------14 分】 3

19.解:(1)证明:∵ AA1 / / CC1 且 AA1 ? CC1 ∴四边形 ACC1 A1 是平行四边形,-----------------------------------------------------------------------1 分

7

∴ AC / / A1C1 ,∵ AC ? 面 A1 B1C1 , A1C1 ? 面 A1 B1C1 ∴ AC / / 平面 ABC 1 1 1 ,----------------------------------------------------------------------------------------3 分 同理可得 BC / / 平面 ABC 1 1 1 ,又 AC ? CB ? C , ∴平面 ABC //平面 ABC 1 1 1 --------------4 分
(2)证法 1: ∵ AA1

? 平面 ABC , AA1 ? 平面 ACC1 A1 ∴平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,---------------------5 分

平面 ACC1 A1 ∵ AC ∴ BC ∴ BC

? 平面 ABC = AC ,
∴ AC
2

? 4 , BC ? 3 , AB ? 5

? BC 2 ? AB2

∴ BC ?

AC

--------------------------6 分

? 平面 ACC1 A1 ,---------------------------------------------------------------------------------------7 分
? A1C ,∵ BC / / B1C1 ∴ B1C1 ? A1C

又 AA1 ? AC , AC ? AA1 得 ACC1 A1 为正方形,∴ A1C ? AC1 ----------------------------------- 8 分 又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,∴A1C 丄平面 AB1C1------------------------------------9 分

【证法 2:∵ AC ? 4 , BC ? 3 , AB ? 5

∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 ∴ BC ?

AC ,------------5 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , AA / / CC ∴ CC1 ? 平面 ABC ----------------------------6 分 1 1

以点 C 为原点,分别以 AC、CB、CC1 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系如图示,由已知可 A(4, 0, 0), B(0,3, 0), C (0, 0, 0), A1 (4, 0, 4) ,
C1

z B1

B1 (0,3, 4), C1 (0, 0, 4) ,
???? ???? ????? 则 A1C ? (?4, 0, ?4), C1 A ? (4, 0, ?4) , C1 B1 ? (0,3, 0) ------------------7 分
∵ A1C ? C1 A ? 0, A1C ? C1B1 ? 0,

A1 y C A B

???? ????

???? ???? ?

∴ A1C ? C1 A, A1C ? C1B1 ---------8 分x

又 C1 A ? C1B1 ? C1 , ∴ A1C ? 平面 AB1C1 .---------------------------------------------------------- 9 分】 (3)由(2)得 CA ? (4,0,0), CB1 ? (0,3, 4) ,------------------------------------------------------10 分

??? ?

????

???? ??? ? ?3 y ? 4 z ? 0 设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 CB1 ? n, CA ? n 得 ? , ?4 x ? 0
令 y ? 4 得 n ? (0, 4, ?3) ------------------------------------------------------------------------------------12 分
8

???? 由(2)知 A1C 是平面 AB1C1 的法向量,∴ cos ? n, A1C ??

???? n ? A1C 12 3 2 ? ? , | n | ? | A1C | 20 2 10

即二面角 C1-AB1 -C 的余弦值为 (其它解法请参照给分)

3 2 .------------------------------------------------------------14 分 10
2 2

20.解:(1)∵圆 F 过椭圆 C 的左焦点,把 (?c,0) 代入圆 F 的方程,得 4c ? a , 故椭圆 C 的离心率 e ? c ? 1 ;--------------------------------------------------------------3 分
a 2

(2) 在方程 ( x ? c) ? y ? a 中令 x ? 0 得 y ? a ? c ? b ,可知点 B 为椭圆的上顶点,
2 2 2 2 2 2 2

由(1)知, c ? 1 ,故 a ? 2c, b ? a 2

a 2 ? c 2 ? 3c ,故 B (0, 3c) ,--------------------------4 分

在圆 F 的方程中令 y=0 可得点 D 坐标为 (3c,0) ,则点 A 为 (?3c, 0) ,--------------------------5 分 于是可得直线 AB 的斜率 k AB ?

3c 3 ,---------------------------------------------------------- 6 分 ? 3c 3

而直线 FB 的斜率 k FB ? 3c ? ? 3 ,------------------------------------------------------------------7 分 ?c ∵ k AB ? kFD ? ?1 , ∴直线 AB 与 ? F 相切。--------------------------------------------------------------------------------------- 8 分 (3)椭圆的方程可化为 3x ? 4 y ? 12c
2 2 2

由(2)知切线 AB 的方程为 y ?

3 x ? 3c ------------------------------------------------------------ 9 分 3

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 24 5 3 解方程组 ? ,得点 G 的坐标为 (? c, c) ----------------------------------11 分 ? 3 13 13 y ? x ? 3 c ? 3 ?

而点 D(3c, 0) 到直线 AB 的距离 d ? | 2 3c | ? 3c ,------------------------------------------------- 12 分 1 1? 3 由 S ?BGD ?

1 1 24 5 3 24 3 2 24 6 ? | BG | ?d ? ? ( c) 2 ? ( c ? 3c) 2 ? 3c ? c ? c 2 2 13 13 13 13
9

解得 c ? 2 ,-------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 分
2 2 ∴椭圆的标准方程为 x ? y ? 1 .------------------------------------------------------------------------14 分

8

6

21.解: (1)∵ f '( x) ? 1 ?
x

a x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ,------------------------------------------2 分 ? 2 ( x ? 1) x( x ? 1) 2

x ? 0 ,考虑分子 x 2 ? (a ? 2) x ? 1
当 ? ? a ? 4a ? 0 , 即 0 ? a ? 4 时,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 恒成立, 此时 f ( x) 在 (0, ??) 上
2

单调递增;--------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分 当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? 4 时,方程 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个解不相等的实数根:
2
2

x1 ?

(a ? 2) ? (a ? 2) 2 ? 4 ,显然 0 ? (a ? 2) ? (a ? 2) 2 ? 4 , x2 ? 2 2

x1 ? x2 ,---------------4 分

∵当 x ? (0, x1 ) 或 x ? ( x2 , ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f '( x) ? 0 ;
2 2 ∴函数 f ( x) 在 ( a ? 2 ? a ? 4a , a ? 2 ? a ? 4a ) 上单调递减,-------------------------------5 分

2

2

在 (0, a ? 2 ? a ? 4a ) 和 ( a ? 2 ? a ? 4a , ??) 上单调递增. -------------------------------6 分
2
2

2

2

(2)∵ x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点,故满足方程 f '( x) ? 0 , 即 x1 , x2 是 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 的两个解,∴ x1 x2 ? 1 ,----------------------------------------------7 分
2

a(2 x1 x2 ? x1 ? x2 ) ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln x1 ? ax1 ? ln x2 ? ax2 ? ln( x1 x2 ) ? ? ?a -----------9 分 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

x ?1 ax 中, ?a ? ? [ f ( x) ? ln x] -----------------------------------------------10 分 x x ?1 x ?1 因此,要证明 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? [ f ( x) ? x ? 1] , x x ?1 x ?1 等价于证明 ? [ f ( x) ? ln x] ? ? [ f ( x) ? x ? 1] x x
而在 f ( x) ? ln x ? 注意到 x ? 0 ,只需证明 f ( x) ? ln x ? f ( x) ? x ? 1 即证 ln x ? x ? 1------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 令 g ( x) ? ln x ? x ? 1,则 g '( x) ? 1 ? 1 ? 1 ? x , x x 当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增;
10

当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 因此 g ( x)max ? g (1) ? ln1 ? x ? 1 ? 0 ,从而 g ( x) ? 0 ,即 ln x ? x ?1 ,原不等式得证.---14 分

11


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