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余弦定理

时间:2016-09-29


a ? b ? c 正弦定理: sin A sin B sinC ? 2 R

一.复习回顾

三角形面积计算公式: 1 1 1 S△ABC= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

abc ? 4R

已知三角形的两角和任意一边, 或者是已知两边和其中一边的对角

。(注意解的个数)

正弦定理的应用——边之比等于角之比
练习 3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为
3 2 cos( A ? C ) ? cos B ? b a 、 b、 c , 2,

? ac ,求 B

正弦定理的应用——边之比等于角之比 例4.已知 △ABC中, a ? b ? 6 ? 6 3 , ∠A=300, ∠B=600,求边c的长 练习:在△ABC中,若sinA:sinB:sinC:=k: (k+1):2k,求k的取值范围

探索:已知两边及夹角求解三角形
△ABC为任意三角形,已知BC=a,AC=b及 ∠C,求AB边长c.
A b

c= ?
a

c

B

探索:已知两边及夹角求解三角形
? AB ? AC ? CB
在?ABC中,AB,BC,CA的长分别为 c, a , b A

? AB ? AB ? AC ? CB ? AC ? CB
2

?

??

?
2

b

c
a

? AC ? 2 AC ? CB ? CB C
2

? AC ? 2 AC CB cos 180? ? C ? CB

?

?

2

B

即,c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? b ? 2bc cosC ? c
2

2

同理可证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2 2

三.定理 余弦定理: 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A
b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2

用语言描述:

三角形任何一边的平方等于其它两边的平 方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。

四 .剖 析 定 理
1.已知a、b、c(三边),可以求 什么?
a = b + c - 2bccosA
b = a + c - 2accosB c = a + b - 2abcosC
?A ? 900 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?A ? 900 ? a 2 ? b 2 ? c 2
?A ? 900 ? a 2 ? b 2 ? c 2
2 2 2 2 2 2

2

2

2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 a ? c 2 ? b2 cos B ? 2 2ac2 2
a ?b ?c cosC ? 2ab

2.能否把式子 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 转化为角的关系式?
: 分析:由 正 弦 定 理 a b c ? ? ? 2R si n A si nB si nC

得 : a ? 2R sinA b ? 2 R sin B c ? 2 R sin C
代入a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A并化简得 :

sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 2 sinB sinC cos A

练习: 求 sin2 700 ? sin2 500 ? sin700 sin500 的值。
解 : 原式 ? sin2 700 ? sin2 500 ? 2 sin700 sin500 cos600
? sin2 600 ? 3 4

余弦定理可以解决的问题:
(1)已知两边和他们的夹角,求第三边和 其他两角。 (2) 已知三边,求三角;

余弦定理的应用一
(1)已知两边和它们的夹角,求第三边,进而还可求 其它两个角。

例1在△ABC中,已知B=450,
c ? 6 ? 2 ,解三角形


a?2 3

余弦定理的应用二
已知三边,求三个角

例2、在三角形ABC中,已知a=134.6cm, b=87.8cm,c=161.7 , 解这个三角形(角度精确到 10.)
分析:已知三边,求三个角,可用余弦定理的 变形来解决问题

利用余弦定理判断三角形的形状
例3.已知?AB C 中,a ? 7, b ? 5, c ? 3, 判定三角形AB C 的形状
变式:已知 ?ABC中 , sin A : sinB : sinC ? 7 : 5 : 3, 判定三角形 ABC的 形 状

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

? a ? b ?c ? a2 ? b2 ? c2 ? ? 2 2 2 ? a ? b ?c

2

2

2

? 0? ? A ? 90? ? A ? 90? ? 90? ? A ? 180?

例4.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且2cosAsinB=sinC,试确定△ABC的形状

利用余弦定理的综合应用

例 5.在△ABC 中,∠B=60 ,S△ABC= 10 3 , 求三角形的周长
练习1:在△ABC中,已知

0

R?

7 3 3

,

c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0,求角C的度数
2.已知三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=5:7:8,

求角B的度数

3.若 锐 角 ?ABC中 , 三 边 长 为 1, 2,x 求x的 取 值 范 围 .
4.在三角形ABC中,已知a=7,b+c=8, A=1200 ,求b,c及角B的余弦值.

小结:
1.余弦定理适用于任何三角形

a ? b ? c ? 2bc cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B
2 2 2

2.利用余弦定理解三角形:
(1).已知三边 (2).已知两边及这两边的夹角

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

3.由余弦定理可知:边角的转换

cos A? b

c a 2bc 2? 2? 2 a c b cos B ? 2ac
2? 2? 2 a b c cosC ? 2ab

2? 2? 2

A ? 90? ? a2 ? b2? c2

A?90? ? a2 ?b2? c2 A?90? ? a2 ?b2? c2

书本P10 A 3(2) 4(1) 成才之路 P8 跟踪练习2,3 P9 解答 题6
补充:在钝角三角形ABC中,角B为钝角, a=2x-5,b=x+1, c=4,求x的取值范围.


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