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课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练5-5

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课时知能训练
一、选择题 1.已知实数等比数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·3=2a1,且 a4 与 a 5 2a7 的等差中项为4,则 S5 等于( A.35 B.33 ) C.31 D.29

2.某人为了观看 2010 年南非足球世界杯,从 2006 年起,每年的 5 月 1 日 到银行存入 a 元的定期储蓄,若年利率为 p

且保持不变,并约定每年到期,存款 的本息均自动转为新的一年的定期,到 2010 年的 5 月 1 日将所有存款及利息全 部取出,则可取出钱(元)的总数为( A.a(1+p)4 B.a(1+p)5 a D.p[(1+p)5-(1+p)] )

a C.p[(1+p)4-(1+p)]

2 3. (2012· 中山质检)已知各项不为 0 的等差数列{an}, 满足 2a3-a7+2a11=0,

数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 B.4 C.8 D.16

)

n+1 4.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 (n∈N*),设其前 n 项和为 Sn, n+2 则使 Sn<-5 成立的自然数 n( )

A.有最小值 63 B.有最大值 63 C.有最小值 31 D.有最大值 31 1 5.(2012· 清远调研)各项均为正数的等比数列{an}的公比 q≠1,a2,2a3,a1 成等差数列,则 5+1 2 a3a4+a2a6 =( a2a6+a4a5 5-1 2 5+1 2 )

A. C.

B. D.

1- 5 2

二、填空题

6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续 三项,则数列{bn}的公比为________. S2n 7.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 S (n∈N*)是非零常数,则称数列{an}为
n

“和等比数列”.若数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,则数列 {bn}________(填“是”或“不是”)“和等比数列”. 8.(2012· 潍坊模拟)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么 称这个正整数为“神秘数”.则介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为 ________. 三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)记 S=2,若对任意正整数 n,kS<Sn 恒成立,求实数 k 的最大值. 10.(2012· 湘潭模拟)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校 家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申 请总额不超过 6 000 元.某大学 2010 届毕业生李霄在本科期间共申请了 24 000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1 500 元,第 13 个月开始,每 月工资比前一个月增加 5%直到 4 000 元. 李霄同学计划前 12 个月每个月还款额 为 500 元,第 13 个月开始,每月还款额比前一月多 x 元. (1)若李霄恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (2)当 x=50 时,李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的 那一个月的工资余额是多少? (参考数据:1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.0520=2.653,1.0521=2.786) 11.(2012· 肇庆调研)已知等比数列是递增数列,且满足 a1+a2+a3=39,a2 +6 是 a1 和 a3 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; ?n=1? ?1 (2)若 bn=? ,记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求使 Sn>120 ?an-1log3an ?n≥2? 成立的最小 n 值.

答案及解析
1. 【解析】 设等比数列的公比为 q, 则由 a2·3=2a1 得 a2q3=2a1, a 1 5 ∴a1q3=2,又 a4 与 2a7 的等差中项为4, 5 ∴a4+2a7=2, 5 ∴a1q3+2a1q6= , 2
3 ?a1q =2 ? 由? 3 6 5 ?a1q +2a1q =2 ?

?a1=16, ? 得? 1 ?q=2. ?

1 16[1-?2?5] ∴S5= 1 =31. 1-2 【答案】 2. 【解析】 C 依题意,可取出钱的总数为

a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p) ?1+p?[1-?1+p?4] a =a· =p[(1+p)5-(1+p)]. 1-?1+p? 【答案】 3. 【解析】 D ∵数列{an}是等差数列,

∴a3+a11=2a7,
2 2 由 2a3-a7+2a11=0 得 4a7-a7=0,

又 an≠0,∴a7=4, ∴b6b8=b2=42=16. 7 【答案】 4. 【解析】 D n+1 ∵an=log2 =log2(n+1)-log2(n+2), n+2

∴Sn=a1+a2+?+an =log22-log23+log23-log24+?+log2(n+1)-log2(n+2)=1-log2(n+2),

由 Sn<-5 得 log2(n+2)>6,即 n+2>64, ∴n>62, ∴n 有最小值 63. 【答案】 5. 【解析】 A 由题意知,a3=a2+a1,

∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0, 又 q>0,∴q= 1+ 5 2 ,

2 a3a4+a2a6 a1q5+a2q6 1+q 5-1 1 1 ∴ = 2 = = = 2 . a2a6+a4a5 a1q6+a2q7 q?1+q? q 1

【答案】 6. 【解析】 ∴a1=2d,

B a2=a1·7,即(a1+2d)2=a1· 1+6d), a (a 3

a3 a1+2d ∴等比数列{bn}的公比 q=a = a =2.
1 1

【答案】 7. 【解析】

2 数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,

所以 2bn=2·n-1=22n-1,bn=2n-1. 4 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=n2,T2n=4n2, T2n 所以 T =4,因此数列{bn}是“和等比数列”.
n

【答案】 8. 【解析】

是 设“神秘数”为 x,则 x=(2n+2)2-(2n)2=8n+4(n∈Z),由

1≤x≤200 及 n ∈ Z 知 , 0≤n≤24 , 所 以 所 有 这 样 的 “ 神 秘 数 ” 之 和 为 25×?4+196? =2 500. 2 【答案】 9. 【解】 2 500 (1)∵3an+1+2Sn=3,①

当 n≥2 时,3an+2Sn-1=3.② 由①-②得 3an+1-3an+2an=0,

an+1 1 ∴ a =3(n≥2), n 1 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 a2=3, 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为3的等比数列. 1 ∴an=a1qn-1=(3)n-1(n∈N*). a1?1-qn? (2)由(1)知,Sn= = 1-q 1 1-?3?n 3 1n 1 =2[1-(3) ]. 1- 3

3 3 1 1 又对?n∈N*恒有2k≤2[1-(3)n],得 k≤1-(3)n. 1 ∵数列{1-(3)n}单调递增, 2 2 2 ∴当 n=1 时,数列中的最小项为3,∴必有 k≤3,即实数 k 的最大值为3. 10. 【解】 (1)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款额为 an 构成等差

数列,其中 a1=500+x,公差为 x.从而到第 36 个月,李霄共还款 12×500+24a1 24×?24-1? + · x. 2 令 12×500+(500+x)×24+ 24×?24-1? · x=24 000,解之得 x=20(元), 2

据题意,验证可行.即要使在三年全部还清, 第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元; (2)设李霄第 n 个月还清,则应有 12×500+(500+50)×(n-12)+ ?n-12?×?n-12-1? · 50≥24 000, 2 3+ 3 321 >30, 2

整理可得 n2-3n-828≥0,解之得 n≥

取 n=31,即李霄工作 31 个月就可以还清贷款, 这个月李霄的还款额为 24 000-[12×500+(500+50)×(30-12)+ 元, ?30-12?×?30-12-1? · 50]=450 2

第 31 个月李霄的工资为 1 500×1.0519=1 500×2.526=3789 元, 因此,李霄的剩余工资为 3789-450=3339. 11. 【解】 (1)由题知 2(a2+6)=a1+a3,

从而 a2+2(a2+6)=39,所以 a2=9, 9 1 30=q+9q?q=3 或3(舍),所以 an=3n. (2)bn=an-1log3an=3n-1· n,(n≥2), 所以 Sn=1+2·1+3·2+?+n·n-1① 3 3 3 3Sn=31+2·2+3·3+?+n·n② 3 3 3 ②-①得:2Sn=-1-31-32-?-3n-1+n·n 3 ?1-3n? =- +n·n 3 ?1-3? 3n 1 1 1 所以 2Sn=n·n- 2 +2=(n-2)·n+2, 3 3 1 1 由 Sn>120,则(n-2)3n+2>240, 所以 n≥4,最小 n 值为 4.


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