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2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案及评分标准


江苏省 2008 数学竞赛复赛

冯惠愚 2008.09.06.

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( A. π 4 B. π 2 C.π ) D.2π

2.

已知平面上点的集合 M={(x,y)|y= 2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}. 当 M∩N≠?时,k 的取值 范围是( ) A.[- 3 3 , ] 3 3 B.[0, 3 ] 3 C.[- 3 ,0] 3 D.[ 3 ,+∞) 3

3. “x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件 2 2 4. 已知关于 x 的方程 x -2ax+a -4a=0 至少有一个模为 3 的复数根,则实数 a 的所有取值为(

)

A.1,9 B.-1,9,2- 13 C.1,9,2+ 13 D.1,9,2- 13 5. 设 f(x)是一个三次函数, ?(x)为其导函数. 如图所示的是 y=xf ?(x)的图像的一部分. 则 f(x)的极大值 f 与极小值分别是( ) y A.f(1)与 f(-1) B.f(-1)与 f(1) C.f(-2)与 f(2) D.f(2)与 f(-2) 6. 已知等比数列{an}的公比 q<0,其前 n 项和为 Sn,则 a9S8 与 a8S9 的大小关 -2 -1 O 1 2 x 系是( ) A.a9S8>a8S9 B.a9S8<a8S9 C.a9S8=a8S9 D.与 a1 的值有 小 关 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 5k 7. 集合 A={x|x=[ ],k∈Z,100?k?999},其中[x]表示不大于 x 的最大整数.则集合 A 的元素个数 6 为 . 2an-1-1 8. 已知数列{an}满足 a1=5,an= (n?2,n∈N*) ,则其前 100 项的和是 an-1- 2 .

9. 在 正 八 边 形 的 八 个 顶 点 中 任 取 三 个 顶 点 , 则 这 三 个 点 成 为 一 个 直 角 三 角 形 的 顶 点 的 概 率 是 . 10. 关于 x 的方程 x2+a|x|+a2-3=0(a∈R)有惟一的实数解,则 a= . 2 2 11. 直 线 L : (2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0 被 圆 C : (x - 1) + (y - 2) = 25 截 得 的 最 短 弦 长 为 . 12. 设以 F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点的椭圆的离心率为 e. 以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物线与该椭圆 |PF1| 的一个交点是 P. 若 =e,则 e 的值为 |PF2| .

三、 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f(x)=x-k x2-1(x?1),其中 k 为给定的实数,0<k<1. 试求 f(x)的值域.
1

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冯惠愚 2008.09.06.

x2 y2 14.从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9 的切线,切点为 T. 延长 FT 交双曲线右支于点 P. 9 16 若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,求|MO|-|MT|的值. y P M T F O x

15.已知△ABC 的外接圆的直径为 25,三条边的长度都是整数,圆心 O 到边 AB、BC 的距离也都是整 数,AB>BC. 求△ABC 的三边的长度.

O A D B E C

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冯惠愚 2008.09.06.

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
加 试

一. (本题满分 50 分)已知点 O 为凸四边形 ABCD 内的一点,AO=OB,CO=OD,∠AOB=∠COD= 120° 点 E、F、G 分别是线段 AB、BC、CD 的中点,求证:?EFG 为正三 . B A E 角形.
F O C G D

二. (本题满分 50 分)已知 a,b,c,d 为正实数,a+b+c+d=4,求证:a2bc+b2da+c2da+d2bc?4.

三. (本题满分 50 分)求具有下述性质的最小正整数 n:存在一个 n+1 项的数列 a0,a1,?,an,满足 a0=0,an=2008,且|ai-ai-1|=i2,i=1,2,?,n.

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冯惠愚 2008.09.06.

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( A. 选 B. π 解:法一 由 f(x+ )=sin4x+cos2x=sin4x+cos4x+cos2xsin2x=cos4x+sin2x=f(x); 2 π 1 1 又 f(0)=1、f( )= + ≠f(0);选 B. 4 4 2 1 1 7 法二 由 f(x)=cos4x+1-cos2x=cos2x(cos2x-1)+1=1-cos2xsin2x=1- sin22x= cos4x+ . 4 8 8 2π π 可知 f(x)的最小正周期为 = . 选 B. 4 2 2. 已知平面上点的集合 M={(x,y)|y= 2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}. 当 M∩N≠?时,k 的取值 范围是( ) A.[- 3 3 , ] 3 3 B.[0, 3 ] 3 C.[- 3 ,0] 3 D.[ 3 ,+∞) 3 π 4 B. π 2 C.π ) D.2π

选 B. 解:集合 M 的图形为以(1,0)为圆心、1 为半径的圆的上半圆,集合 N 的图形为过(-1,0)的直线.若 π 3 直线与圆有公共点,则易得其倾斜角在[0, ]内,故 k∈[0, ]. 6 3 3. “x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件 选 A. 解:由 xy+4>2x+2y?(x-2)(y-2)>0?x<2,y<2 或 x>2,y>2; 而 x2+y2<4?-2<x<2 且-2<y<2?xy+4>2x+2y. 4. 已知关于 x 的方程 x2-2ax+a2-4a=0 至少有一个模为 3 的复数根,则实数 a 的所有取值为( A.1,9 C.1,9,2+ 13 选 D. 解:将方程写为(x-a)2=4a. 当 a?0 时,此时方程有实根,该实根之模为 3,故方程有一根为 3 或- 3. 代入,由(a±3)2=4a,得 a=1 或 9; 当 a<0 时,得 x=a±2 |a|i,故|x|2=a2-4a=9,得 a=2- 13.故选 D. 5. 设 f(x)是一个三次函数, ?(x)为其导函数. 如图所示的是 y=xf ?(x)的图像的一部分. 则 f(x)的极大值 f 与极小值分别是( ) y A.f(1)与 f(-1) B.f(-1)与 f(1) C.f(-2)与 f(2) D.f(2)与 f(-2) 选 C.
-2 -1 4

)

B.-1,9,2- 13 D.1,9,2- 13

O1 2

x



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冯惠愚 2008.09.06.

解:如图,y=xf ?(x)有三个零点,x=0,±2; 因为 f ?(x)为二次函数,所以它有两个零点,x=±2. 由图像易知,当 0<x<2 时,f ?(x)<0;当 x>2 时,f ?(x)>0. 故 f(2)是极小值. 类似地可知,f(-2)是 极大值. 选 C. 6. 已知等比数列{an}的公比 q<0,其前 n 项和为 Sn,则 a9S8 与 a8S9 的大小关系是( A.a9S8>a8S9 B.a9S8<a8S9 C.a9S8=a8S9 D.与 a1 的值有关 选 A. a2q7 1 2 解:a9S8-a8S9= (q(1-q8)-(1-q9))=-a1q7>0,选 A. 1-q 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 5k 7. 集合 A={x|x=[ ],k∈Z,100?k?999},其中[x]表示不大于 x 的最大整数.则集合 A 的元素个数 6 为 填 750. 5(k+1) 5k 5k 解:当 k=100 时,[ ]=83,当 k=999 时,[ ]=832. 又易知,对于 100?k?999,有 0?[ ] 6 6 6 5k -[ ]?1,故 A 中元素可以取遍从 83 到 832 中的所有整数,所以共有 750 个元素. 6 2an-1-1 8. 已知数列{an}满足 a1=5,an= (n?2,n∈N*) ,则其前 100 项的和是 an-1- 2 填 400 . 解:a1=5,则 a2=3,a3=5,a4=3,数列周期为 2,故前 100 项和是 400. 9. 在 正 八 边 形 的 八 个 顶 点 中 任 取 三 个 顶 点 , 则 这 三 个 点 成 为 一 个 直 角 三 角 形 的 顶 点 的 概 率 是 . 3 填 . 7 解:连接正八边形的三个顶点共可得 C8=56 个三角形,其中 4 条直径为一边的三角形是直角三角形, 3 共有 4×6=24 个直角三角形,所以 p= . 7 10. 关于 x 的方程 x2+a|x|+a2-3=0(a∈R)有惟一的实数解,则 a= . 填 3. 解:f(x)=x2+a|x|+a2-3 是偶函数,惟一的实数解必为 0,所以 a2-3=0 且 a>0,故 a= 3. 11. 直 线 L : (2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0 被 圆 C : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 截 得 的 最 短 弦 长 为 . 填4 5 . 解:直线 L 过点 D(3,1). 圆心为 C(1,2). 最短弦垂直于 CD,且 CD2=5;又圆的半弦长为 2 5,故 弦长为 4 5. 12. 设以 F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点的椭圆的离心率为 e. 以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物线与该椭圆 |PF1| 的一个交点是 P. 若 =e,则 e 的值为 |PF2| 填 3 . 3
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3

)







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冯惠愚 2008.09.06.

|PF1| 解:在抛物线中,p=2,准线 x=-3,|PF2|就是 P 到准线的距离;在椭圆中, =e,|PF2|也是 P 到 |PF2| a2 3 左准线的距离,故抛物线准线与椭圆左准线重合,所以 =3. 因为 c=1,故易知 e= . c 3

三、 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f(x)=x-k x2-1(x?1),其中 k 为给定的实数,0<k<1. 试求 f(x)的值域. kx 解: 当 x>1 时,f(x)的导数是 f ?(x)=1- 2 . ??5 分 x -1 1 令 f ?(t)=0. 因为 t>1 时,解得 t= . ??10 分 1-k2 1 1 k2 f(t)=f( )= - = 1-k2,f(1)=1. 列表: 1-k2 1-k2 1-k2 x f ?(x) f(x) 1 1 (1,t) - ↘ t 0 极小
2

(t,+∞) + ↗ ??15 分 ??20 分

当 x→+∞时,f(x)→-∞,所以 f(x)的值域为[ 1-k ,+∞). π 又解:令 x=secθ,θ∈[0, ),则 x2-1=tanθ. 2 f(x)=u=secθ-ktanθ=

1-ksinθ 1 u ?ucosθ+ksinθ=1?sin(θ+φ)= 2 2.其中 sinφ= 2 2,cosφ= cosθ u +k u +k

k .又 u>0.由|sinθ|?1,得 u2?1-k2?u? 1-k2, u2+k2 1 u k 又对于一切不小于 1-k2的 u 值, 都有 2 2?1, 从而存在 φ 与 θ, sinφ= 2 2, 使 cosφ= 2 2, u +k u +k u +k 1 sin(θ+φ)= 2 2成立.从而 u=secθ-ktanθ,即存在 x=secθ,使 x-k x2-1=u 成立. u +k 故所求值域为[ 1-k2,+∞) x2 y2 14.从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9 的切线,切点为 T. 延长 FT 交双曲线右支于点 P. 9 16 若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,求|MO|-|MT|的值. 解: 不失一般性,将 P 点置于第一象限. 设 F?是双曲线的右焦点,连 PF?. 1 因为 M、 分别为 FP 与 FF?的中点,所以|MO|= |PF?|. 又由双曲线的定义 O 2 得: |PF|-|PF?|=6, |FT|= |OF|2-|OT|2=4. ??10 分 1 1 故 |MO| - |MT| = |PF?| - |MF| + |FT| = (|PF?| - |PF|) + |FT| = - 3 + 4 = 2 2 1. ??20 分
F A
1

y M T O F

P

2

x

15.已知△ABC 的外接圆的直径为 25,三条边的长度都是整数,圆心 O 到边 AB、BC 的距离也都是整数,AB>BC. 求△ABC 的三边的长度.
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冯惠愚 2008.09.06.

解: 如图,过圆心 O 作 AB,BC 的垂线,垂足为 D,E. a b 设 AB=a,BC=b,OD=d,OE=e,则 BD= ,BE= ,其中 a,b、d、e 都是正整数,且 a>b. 2 2 因 DB2+OD2=OB2,故 a2+(2d)2=252, ① 2 2 2 同理, b +(2e) =25 . ② 2 2 2 取不定方程 x +(2y) =25 . 得两组正整数解(x,y)=(15,10),(7,12). ??10 分 由 a>b, 故得 a=15, b=7. AB=15, 即 BC=7, OD=10, 而 OE=12. ?? 15 分 又因 OD⊥AB,OE⊥BC,所以 O,D,B,E 共圆. 由托勒密定理,DE· OB=OD· BE+OE· DB,得 OD· BE+OE· DB DE= =10. OB 由于 D、E 分别为 AB、BC 中点,所以 DE 是△ABC 的中位线,因此 AC =20,即三角形三边的长度分别为 15,7,20. ??20 分 3 4 7 24 又解:cos∠OBA= ,sin∠OBA= ,cos∠OBC= ,sin∠OBC= . 5 5 25 25 3 7 4 24 3 ∴ cos∠ABC= × - × =- . 5 25 5 25 5 3 ∴AC2=152+72+2×15×7× =400?AC=20. 5

O A D B E C

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冯惠愚 2008.09.06.

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准
加 试

一. (本题满分 50 分)已知点 O 为凸四边形 ABCD 内的一点,AO=OB,CO=OD,∠AOB=∠COD= 120° 点 E、F、G 分别是线段 AB、BC、CD 的中点,求证:?EFG 为正三角形. . 证:连 AC、BD,则 1 1 EF∥AC,EF= AC;FG∥BD,FG= BD. 2 2 因为 OA=OB,OC=OD,且∠AOB=∠COD=120° , 所以以 O 为心、逆时针旋转 120° ,则△AOC 成为△BOD.??20 分 因此 AC=BD,并且 BD 逆时针转到 AC 的角为 60° ,从而 EF=FG,并且∠GFE=60° 故△EFG 为正 . 三角形. ??50 分 B E 注 若不用旋转的方法,证法如下: Q F 在△AOC 与△BOD 中, P O OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BOD=120° +∠BOC; C 所以,△AOC≌△BOD,∴AC=BD,并且∠OAC=∠OBD. ??20 分 G D 设 AC 分别交 BD、BO 于 P、Q,则 ∠DPA=∠OBD+∠PQB=∠OAC+∠OQA=180° -∠BOA=60° , 由此易知∠GFE=∠DPA=60° 又易知 EF=FG, . 因此,△EFG 为正三角形. ??50 分 又注:该证明是在 A、O、C 不共线的假设下证明的,若 A、O、C 共线,则△AOC、△BOD 均不存在, 故应补充证明: 若 A、O、C 共线,则∠BOC=60° ,于是 B、O、D 也共线.显然 AC=BD,于是易得 EF=FG,且∠ EFG=∠BOC=60° .从而△EFG 为正三角形. 证法三:前已证△AOC≌△BOD,得 AC=BD.∠OBP=∠OAP. B A E 取 AD 中点 K,连 EK、GK.则得 EFGK 为菱形.且 B、P、O、A 共圆, F ∴ ∠APB=∠AOB=120° ,故∠BPC=60° , P O K ∴ ∠EFG=60° ,从而△EFG 为正三角形. C 证法四:前已证△AOC≌△BOD,得 AC=BD.取 OB、OC 中点 K、L,连 G D OE、OG、KE、KF、LG、LF. 由已知得,OE⊥AB,∠OBE=30° , 1 1 ∴ EK=OE= OB,同理,OG=OL= OC. 2 2 1 ∵ F、K 是 OB、OC 中点,FK= OC=OG, 2 ∵ ∠EOG=∠EOB+∠BOC+∠COG=60° +∠BOC+60° =120° +∠BOC =∠AOC=∠EKF,同理,∠FLG=∠EOG, ∴ △EKF≌△EOG,∴ EF=EG,同理,FG=EG.从而△EFG 为正三角形. 证法五:以 O 为原点,与 AB 平行的直线为实轴建立复平面. 设点 A、B、C、D、E、F、G 表示复数 a、b、c、d、e、f. 2π 2π 则 b=aω,d=cω(其中 ω=cos +isin ). 3 3
B F C K L G D O E A

A

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冯惠愚 2008.09.06.

1 1 1 于是,e= (a+b),f= (b+c),g= (c+d). 2 2 2 1 1 1 → → 向量 FE 表示复数 e-f= (a-c),FG=g-f= (d-b)=- (a-c)ω. 2 2 2 e-f 1 2π 2π π π ∴ =- =-[cos(- )+isin(- )]=cos +isin . ω 3 3 3 3 g-f π → → ∴ 向量 FE 由 FG旋转 得到,故△EFG 为正三角形. 3 二. (本题满分 50 分)已知 a,b,c,d 为正实数,a+b+c+d=4,求 证:a2bc+b2da+c2da+d2bc?4. 证明:a2bc+b2da+c2da+d2bc=ab(ac+bd)+cd(ac+bd)=(ab+cd)(ac+bd) ?
y B F C G D E O x A

(ab+cd+ac+bd)2 2 ( )

??20 分 ??50 分

[(a+d)(b+c)]2 1 a+b+c+d 4 = ? =4. 4 4 2

三. (本题满分 50 分)求具有下述性质的最小正整数 n:存在一个 n+1 项的数列 a0,a1,?,an,满足 a0=0,an=2008,且|ai-ai-1|=i2,i=1,2,?,n. 解:若 n?17,则 n n 1 1 an= (ai-ai-1)+a0? |ai-ai-1|= n(n+1)(2n+1)? ×17×18×35<2008. 6 6 i=1 i=1

Σ

Σ

矛盾. 若 n=18,则 an=

??15 分

Σ(a -a
i
i=1

n

i-1)+a0≡

Σ|a -a
i
i=1

n

i-1|≡

Σi ≡1(mod 2)
2
i=1

n

这与 an=2008 矛盾. ??30 分 2 2 2 2 2 2 2 若 n=19,注意到 2008=1 +2 +?+19 -2(2 +5 +9 +11 ),取 a0,a1,?,a19 如下:0,1,-3, 6,22,-3,33,82,146,65,165,44,188,357,553,778,1034,1323,1647,2008. 由此知 n=19 可行. 综上,nmin=19. ??50 分 注 例子不惟一,如: 2008=12+22+?+192-2(12+32+102+112) =12+22+?+192-2(22+32+42+92+112). =12+22+?+192-2(12+32+52+142) =12+22+?+192-2(22+32+72+132) 等等.

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