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对一道数学高考题的解题教学设计


对一道数学高考题的解题研究
112003043 蒋 伟 2007 年浙江理科数学第 21 题: 已知数列 ?an ? 中的相邻两项 a2 n?1 ,a 2 n 是关于 x 的 方程 x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两个根,且 a2n?1 ? a2n (k ? 1,2,3?) . (Ⅰ)求 a1 , a3 , a5 , a7 ; (

Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 2 n 项和 S 2 n ; (Ⅲ) 记 f ( n) ? (

1 2

| sin n | (?1) f ( 2) (?1) f (3) (?1) f ( 4) (?1) f ( n?1) ? 3) ,Tn ? , ? ? ??? sin n a1a2 a3 a 4 a5 a 6 a2n?1a2n

求证:

1 5 ? Tn ? (n ? N ? ) . 6 24

选题意义: 本题总共只有 55 个字, 其中汉字 32 个, 可谓叙述简洁明了, 不拖泥带水. 题 目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的, 显得平和而贴切. 试题一 共设置了三问,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格.本 题所包含的主要数学知识有:一元二次方程、数列的通项与前 n 项和、函数的周期性、不等 式等; 所涉及的数学思想有:分类讨论、归纳与猜想等;考查的主要数学技能有:数学运算、 逻辑推理. 本题在函数、 方程、 数列以及不等式知识的交汇点处命题, 体现了较高的综合性, 数学内涵丰富,能力要求高.更可贵的是本题对任何一位考生来说,考查背景十分公平. 理解题目:本题的亮点是: 全题纵贯了对数学“基本思想”——演绎与归纳的考查.如: 在第一问中, 要求考生根据 a2n?1 ? a2n (k ? 1,2,3?) 这一信息, 通过分类讨论和演绎推理, 计算出 a1 , a3 , a5 , a7 的值.在第二问中,要求考生在正确理解 S 2 n 意义的基础上,通 过对和式中前 7 项的奇数项与偶数项的分类重组,得到一个等差数列 ?3n? 和一个等比数列

?2 ?,然后再分别求他们前 n 项的和得出 S
n

2n

的值. 在第三问中, 首先要求考生利用枚举法,

f ( n) 归纳出 f ( n) 是一个周期函数, 且其函数值只有 1 和 2 两个值, 从而断定 (?1) 的值为 ? 1 ;

其次是让考生通过猜想与推演,分析出数据 证明

1 5 和 的来历,进而确定用演绎的方法来 6 24

1 5 ? Tn ? (n ? N ? ) 成立的策略——不等式的放缩. 6 24
值 得 探 讨 的 是 : 在 第 三 问 中 , 由 于 f (1 ? 6k ) ? f (2 ? 6k ) ? f (3 ? 6k ) ? 2 ,

f (4 ? 6k ) ? f (5 ? 6k ) ? f (6 ? 6k ) ? 1 , (k ? 1,2,3,?) .所以,和式 Tn 中各项 的符号
不是正负相间的, 规律比较难找, 故在证明时对作不等式放缩的技巧要求显得比较高,

方法单一,多数考生即使能预测到要用到不等式的放缩来证,也一时难以找到有效的 放缩技巧,影响了区分度.如果能对第三问再作适当的改进,或许效果会更好一些. 但总体而言, “第 21 题”构思精巧,形式新颖,对学生智慧与能力的检测,远远 高于对知识点本身的考查,这对今后中学数学教学应该教什么,怎么教,起到了积极 的导向作用. (I)解:方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k , 当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 , 所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 , 所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 , 所以 a5 ? 8 时; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 , 所以 a7 ? 12 . (II)解: S2n ? a1 ? a2 ?

? a2n ? 2n )

? (3 ? 6 ?

? 3n) ? (2 ? 22 ?

3n2 ? 3n n?1 ? ?2 ?2. 2
(III)证明: Tn ?

1 1 1 ? ? ? a1a2 a3a4 a5a6

?

(?1) f ( n?1) , a2 n?1a2 n

所以 T1 ?

1 1 ? , a1a2 6

T2 ?

1 1 5 ? ? . a1a2 a3a4 24

当 n ≥ 3 时,

1 1 1 Tn ? ? ? ? 6 a3a4 a5a6

?

(?1) f ( n?1) , a2 n?1a2 n

? 1 1 1 ≥ ? ?? ? 6 a3a4 ? a5a6
1 1 1? 1 ≥ ? ? ? 3? 2 6 6 2 6?2
? 1 1 1 ? ? , n 6 62 6

?

1 ? ? a2 n?1a2 n ?
1 ? ? 2n ?

?

同时, Tn ?

5 1 1 ? ? ? 24 a5a6 a7 a8

?

(?1) f ( n?1) a2 n?1a2 n



? 1 5 1 ? ?? ? 24 a5 a6 ? a1a2
5 1 1? 1 ? ? ? 1? 3 24 9 2 9 ? 2

?

? ? a2 n?1a2 n ? 1
1? ? 2n ?


?

?

5 1 5 ? ? . n 24 9 2 24 1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

综上,当 n ? N * 时,

1 、对于低水平学生讲解题目时要注重数学“基本思想”和“基本活动经验” 中学的数学教学只注重基础知识、基本技能(简称“双基” )是不够的,还必须 加上“基本思想”和“基本活动经验” .所谓“基本思想” ,主要是指演绎与归纳,这 应当成为整个数学教学的主线,它是高于那些针对具体问题的数学思想——函数与方 程、分类讨论、等价转换、数形结合等的更上位的思想.所谓“基本活动经验” ,主 要是指学生在数学活动中亲身经历并逐步积累起来的解决数学问题的经验.新课程强 调要培养学生的创新意识和创新能力,而创新能力依赖于三个方面:知识的掌握、思维 的训练、经验的积累,三个方面同等重要.数学作为一门思维训练的学科,主要训练学生的 两个能力——演绎能力和归纳能力.应该看到,现在的教育本质上是一种知识的教育,考 察的是该教的内容是否教了,教了的知识是否掌握了.这样的教育是不全面的.教育应当以 生为本,不仅要考虑学生知识的掌握,还要考虑身心的发展、思维的发展和能力的提升. 2、对于高水平学生讲解该题是应培养学生“智慧”比教学生“知识”更重要 “第 21 题”如果单凭数学知识是无法解决的,它更需要的是智慧.因为知识本质上只 是一种结果,可能是一种经验的结果,也可能是一种思考的结果.而智慧并不表现在这两种 结果之上,而是表现在经验和思考的过程之中,如对问题的处理、对困难的化解以及对实质 的思考.由此可见,智慧是融知识、经验和思维为一体的,是人们实现创新的心理机制.新 课标之所以倡导三维教学目标,正是考虑到了智慧形成的基本规律,即知识是可以传递的,

而智慧是无法传递的,智慧的形成并不完全依赖于知识的多少,而是依赖于知识的运用、依 赖于个人的经验.一个人的智慧的发展, 需要到实际操作中去感悟、去积累、 去反思.因此, 要培养学生“智慧” ,务必重视学生的“做中学” ,正如富兰克林所说,听到的我会忘记,看 到的我会记住,参与的我能理解并会运用.要大胆地去掉一些形式化的东西,适度淡化 技巧训练。数学教学过分强调形式化不利于学生思考,如把一些思考的过程编成“口诀” 或“顺口溜”让学生去记忆,这种方法会把数学搞歪掉,就会走向“八股” .还应该明确技 巧不等于技能, 现在我们的教学中反复训练的是技巧而不是技能. 技巧是对一个具体例子或 很窄的范围才适用的方法,而技能是可以迁移的,可以举一反三.过多地训练技巧,会增加 学生记忆的负担,对学生智慧的发展没多大益处.熟能生“巧”走过了头会熟能生“笨” . 是否可以这样理解, “第 21 题”给我们传递了这样一个信息,假如中学数学教学中能在 继续保持传统的“双基教学”这个核心的同时,再添进数学的“基本思想”和“基本活动经 验” ,那么就会改善我们的教学中重“演绎推理”轻“归纳推理”这种顾此失彼的局面,进 而使数学的学科价值得到更好的体现.


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