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数列裂项求和的几种常见类型

时间:2017-10-11


?

课 外 园地 ?  

数学通讯 ( 2 0 0 8年 第 2 2期 )  

4 7  

数 列裂 项求和 的几种 常见类 型  
刘雨航  
( 湖 北 省 仙 桃 中学 高 三 ( 1 )班 , 4 3 3 0 0 0 )  
, ●●● ●●●● 、●●●

●●● I  

通过裂项 相消求数列 的前  项和是数列求和 冉 { 『  
基本方 法之一. 下 面 介 绍 数 列 裂 项 求 和 的 几 种 常 见  类型及应 用.   1   通 项 的分 母 是 关 于 n的 多项 式 型 

( 3 )对 于 ( 2 )中 的数 列 { 口   ) , 求证:  
①n 1 +n 2 + … +口  < 5 ;  

② ÷≤  ̄ /  +  ̄ /  + … +  ̄ /   < 2 .  
简 解  ( 1 ) , (  )一  1   +2 n x(   ∈ N’ )
.  

通 项 是 关 于  的 分 式 , 且 分 母 是 关 于  的 多 项  式, 若 此 多 项 式 可 分 解 成 几 个 因 式 的积 , 常 可 以 用 待  定 系 数 的方 法 进 行 裂 项 .   例 1   求 和: S  一  
7   .   2  + 1  

( 2   1


/(  ) =1
口 

+ 2  ,  

+ 

+ 

所 以 

 , 又  口   l  口  2
一  









0. 1

{ 4   .  
口z  



3× 4× 5 ’  

。n ( n+ 1 ) (  + 2 ) 。  

(   一j一) +( 上 一j- _) +… + (   一 
n  ar  ̄ -i   口, 卜1   口, 卜2  

口n  

解  设口   一  


器詈+   +  

n 1   ) + 去 n 1   一 2 (   一 1 ) + 2 (   一 2 ) + … + 2 + { 4 一  
÷ ( 2   一  .  
因此 n  一  .  

则 2 k + 1一 ( n +6 +c ) 女 。 +( 3 n +2 b +f ) 七 + 

2 n.   l  
n —   ’  

令 1 a   +   b   + c + = c 一 0 ’ z , 解 得  
1  
3  

( 3 ) ①n 一  
3  

一 

b 一 1.  
/ 、  

f 一 ~  

?  

4k 2— 4k  一

k 占  1 一   一   k , ’ 忌 ‘ ’ ≥2 / _    
1  
一  

所以口 1 +a 2 +… +n  < 4 +( 1 — 

所 以。  一 
庀 

+ 

1  

2  

k+ 1  

k+ 2   1  

丁 1) +… +(  

1(   1
一  

1  1 ) +

3  

)一 5一 

< 5 .  

~面1 ) .  
②  ̄ /  

s   一( 1 -   1) + 号 ( ÷ 一   )  
5 , 2 。+ 7  

^ 、 /     一  


兰   ’ .   兰  

4  

一  

可 


( 2 k一 1 ) ( 2 k+ 1 )  

例2   已 知 二 次 函数 , ( z ) =a , T   +如 的 图象 过 

蠢_ _一  

9  

9  

(   ∈N   ) ?  
+ … +  N / a n  ̄ l a ’ 一 ( 2 一 

点( 一4   , o ) , 且 厂( o ) 一2 n ,  ∈N   .  
( 1 )求 , (  )的解 析 式 .  

所以 ̄ /  

+  ̄ /  

( 2 ) 若数 列 {  ) 满足 
求数列 { a   ) 的通项公式.  

一 厂(  ) , 且口  一 4 ,  

号 ) + ( 号 一 号 ) + … + (   一   ) 一 2 —  
9 

< -  

4 8  

数学通讯( 2 0 0 8 年第2 2期)  

? 课 外 园地 ?  

又   ≥ l , 所 以 2 一   ≥ 2 一 号一 号 .  
故原不等式成立.  
2   通 项 含 无 理 式 型 

( 2 )当  ≥ 4时 , C 2一 C i + 1 一C : , 所以  
原式 一 ( C ! 一C j ) +( C : ~C 3 ) +o   o ? +( C 肿1 4 一   C : )= C  l ~C j= C  l 一1 .   4   通 项 为 某 数 列 的 几 项 的 积 或 其 积 的 倒 数 型  此类问题裂项时要 充分抓 住原 数列 的特征 , 是 

通项含无理式 时, 我们 常 将 分 母 ( 子 )有 理 化 进 

行裂项, 如如 =—=:l _—_ == 、   . 『 一 √   , 或利 
 ̄ / r / + l+ √  

等差数列的抓住 公差. 如{ a   }为 各 项 均 不 为 0的 等 

用分 部 分 式等 方 法 进 行 裂 项 .   例3   设 无 穷 等 比数 列 { a   }具 有 以 下 性 质 :  

差数列 . 公差 d ≠o , 求和 S  一 — _ +— l 一 十…+ l  
Ⅱ1a 2   a2a 3  



 

时, 则可 利 用 —L
ak a  k +l  

:一 1( 1





 

)进 行 
口^ +1  

①口 l— l 。 ② 当  ∈ N  时 , a  ≤ a n + 1 .   若b  一 ( 1 一  ).   , 其中 , 2 ∈N  , 且 记 

an a  l  

a 

ak  

裂项 .  
“¨  √a r e t - I  

例5   已知 a 1 —2 , 点( n   , n  1 ) 在 函数 , (  ) 一  
+2 x的 图象 上 ,  ∈ N  .  

数列{ b   )的前 n项 和为 B   . 证明: 0 ≤ B  < 2 .   解  由 题 意 知 b  : ( 1一 
“  

( 1 ) 证明数列 { l g ( 1 +d   ) ) 是 等 比数 列 ;   ).  
√ a ̄ - t - 1  

( 2 ) 设  = ( 1 +a 1 ) ( 1 +a 2 ) … ? ? ( 1 +a   ) , 求 
及数列 { a   )的通 项 .  

二  .  

≥ o , 所以B  ≥ 0成 立 .  
n  
—  

( 3 ) 记b   一   + — 
e 41 b  一 — ar
- m

1  

a  

n  十 Z  

, 求数列 { b   ) 的 前 项 和 







口 

1  

 ̄ / 口, 卜 卜 1  

s   , 并证 明 s   + 
 
 

0 』  



i 

—1 .  



。__ ___ _-? ____ -'^ ?^ ?-_ —__ ?_—_ -—— —?_ ———? ‘‘— —‘‘  —— —‘— ——— ——一
●_________一

(  

+, / 2 - 7  ̄?(  

解  ( 1 )由题 意 : 口  1 一a : +2 a   ,  
所 以  口  1 + 1一 ( n  + 1 )  .  

a, , + 1。  ̄ /n  1  

2  

(  

一 

)  
 

— —— ——— ——— ——■ === = _ —— —一

又 口 l一 2 , 因 此  n  + l> 0 ,   ∈ N’ .  
1 g ( 口  1 +1 )一 2 1 g ( a   +1 )。 而 l g( 1 +a 1 )一 l g 3  

Ⅱ, 卜 卜 1 、 / a  1  



 

五二  

≠0 , 所 以{ l g ( 1 +a   ) ) 是等比数列 , 公 比为 2 .  
( 2 )由 ( 1 )知 l g ( 1 +a   )= 2 一  ? l g 3 ,  

≤ 
 ̄ /a a +l a  

所 以  a  一 3   ~ 一1 .  
又  L 一 ( 1+ 口 1 )?( 1 +a 2 )… ??( 1+ 口   ) ,  

- z   c 去一 去 
所 以 B ≤ 2 ( 1一  )< 2 .  


所以l g   —l g ( 1 +n 1 ) +l g ( 1 +a 2 ) +…+l g ( 1  
@a n )   3?  
3   .  

、 /a r e t - 1  

一 

一 1 ) 1 g 3 ,  

3   通项含排 列、 组 合 数 型 



若数 列通 项 含 有 排 列 数 或 组 合 数 , 常 用 性 质  ?   !一 (  + 1 ) ! 一 ! 或C   =C   一C  等 进 行 裂 项 .  
例 4   填空 :  

( 3 ) n  1= a : +2 a  = a   ( d   +2 ) ,  
所以  1   一  T  
l   l  


一 1(1 = - 一   1 ) ,  


2  
’ 

( 1 ) 1+ 2 。+ 3 。 A ;+ 4 。 Ai+ … + 7 " /   A  j  

a  n  

( 2 ) C i +C i +C i +…+C i   解  ( 1 )   ≥ 2时 ,  A l = = i— k A :一 (  + 1 ) ! 一 

去 +  


去 一   ,  
a1   an -- 1  

因此 S  = = 6 】 +6   + … +6  : 2 ( 上 一—   )  
1 _ .一  

! , 所 以原 式 一 l +( 3   1 —2   1 ) +( 4   1 —3   1 ) + … +[ (   +1 ) ! 一” ! ]一 (  + 1 ) ! 一1 .  
3   一 l。  

3

L



1



3




1



所以 s






6,+ 6z +



+ 巩










乎 1


{

+

所以
5

s

+



j ≠


1



1


通 项 中含有 指数式 型 通 项 中含 有 指 数 式 常 可 借 助 于 指 数 的 运 算 性



3
-




+

. .+





÷

+ ’

1


l

质进行裂项 如 口


“ 一

i




(a





n



)



(a > 0 且

n



6

借助 对 数 运 算性质辅 助 裂项
有 些 数 列 的求 积 问 题 常 可 借 助 对 数 的 运 算 性 质

1)



例 6
N


数 列 {。 ) 的前



项和为s







, 2

≥ 2







将其转化为数列 裂项 求 和 问题 有 些 数 列 甚 至 可 直
接 利 用 对 数 的运 算 性 质 换 底 公 式 等 进 行 裂 项 求 和



且 1
(1)

S

一 。

口,

1



日.



求 {口 ) 的 通 项 公 式
。 。 一






n



=

lg !盟 』
7/
"



lg ( n + 1 )



lg

n

(n ∈ N
o o



)



(2) 设 b

(。 —
lo g

_ -





j

_ .



2 n 2¨ 3

lo g

)口





且 (b } 的



+


8
z


证 明 :( 1 ) 对





z

∈ (O +


) 有 In ( 1


2 口2¨ 1





项和为 T





求 L


z

) <




(2 )n
6


( 1)口



(
-

妄)





(2) ( I +
N



)( 古
P

1 +

) 古






(1 +

) 砉

<

e

(” ∈

2#

3



2

2



a 2¨ l



2

-

2”







≥ 2 其中


=

2 7 18 2 8




)



证明


(


1







(z ) (1) 设 ,
一 一

ln ( 1 +

X



)



X



则 厂( z )
。z ) ’ 有 伺 , J (


)

2





_




2”+


(土 ∥
2


忐 2 +
n

3

(上卜


丁 再j




1

=



掣 1F矿


. ’

对 加




切 驯

z

K ∈ ∈ R

, ’

2








0


( z ) 是 R 上 的 减 函数 所 以 当 厂
0


z


∈ (O +


。。

)

L
) + ÷


, + ÷÷ ÷÷ 专 告 c÷



(z ) < , (0 ) 时 ,

从 而 In ( 1 +


z

) <


z



( 2 ) 由( 1) 知 当 z ∈ (O +


。。

) 时 In ( 1 + ≯ ) <

(



+



) 击( ÷



I




(

) ÷

” 一

1





z



所以
In





7




c






[(1

+

) 古 ) 古
+

(1 +


)



(1 +

)] 軎 ) ÷



已 知 函 数 ,( z )



i



)
n


数 列 {n ) 满 足
n





ln ( 1 +

+ ln ( 1 +

) 古

+



+ 1n ( 1 +

n 1

1



n 科 l

f (a




) (行 ∈ N

<


+ 古 古



+



( 1)
(2 )

求 数 列 {口 ) 的 通 项 公 式 若数列 {玩 ) 满足 以
+ b
。 一

÷
n



n 。 ,

3

” 。

s





6,

+ b2 +








S






+

( 1)n



口 J 云 十巧
n


+



所以
)

1
口 石
" 一

3
口 百
n

+ l

所以(1 +

+ l



)(1 +

) 古





(1 +

) 六

<

e

六 ÷


3 (

口n + 1

Z


口w

1

虿 二







+
口1



1

丁 C






裂 项 求 和 中裂 项 的 形 式 与 方 法 灵 活 多 变 需 要




我 i f] X~ 这



问题 多 观 察 思 考 寻 找 裂 项 的 突 破 口 只




去÷ 号 ÷南 南
+


s



所以

n

F
d



要 我们平 时注意思 考 积 累




定能 比较 好地 解 决 此

类 问题



㈦ 忙

1



l



F







( 收 稿 Et 期 :2 0 0 8



08



1。 】


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