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2.3.2平面向量基本定理(2)


2.3 平面向量的基本定理 及坐标表示(二)

丽水中学2009届高一数学

复习引入

1.平面向量基本定理 2.向量的夹角 3.平面向量的坐标表示

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平面向量基本定理:
如果 e1 , e2是同一平面内两个不 共线的向量,那么对这一平

面内任 ? 意一个向量 a , 有且只有一对实数 ? ?1 , ?2 , 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

其中e1, e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组 基底 .
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向量的夹角:
已知两个非零向量 a、 b , 作OA ? a ,

b的 OB ? b , 记?AOB ? ? , 叫向量a、 夹角.
当? ? 0 , a、 b同向;
o

当? ? 180 , a、 b反向;
o

当? ? 90 , a与b垂直, 记作a ? b.
o

向量夹角的范围:[ 0 o , 180o ]
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OB 不共线, 且 AP ? t AB 例. 如图, OA、 ( t ? R ), 用 OA, OB 表示 OP .
P
B O A

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平面向量的坐标表示
在平面坐标系内,我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、 j作为基 底,由平面向量基本定 理可知,对任一 向量a,有且只有一对实数 x、y使得 a ? xi ? y j.

我们把( x , y )叫做向量a的直角坐标, 记作a ? ( x,y ). 其中x叫做a在x轴上的 坐标x , y叫做a在y轴上的坐标, a ? ( x , y ) 叫做向量a 的坐标表示. 丽水中学2009届高一数学

注:
1 、把 a=x i+y j 称为向量的基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的(直角)坐标, 记为:a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =(1,0),j =(0,1)
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思考: ( 1 ) 已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 怎样求 AB

的坐标 ?

AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 ) ? ( x1, y1 )

y

A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
O

? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )

x

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思考: ( 1 ) 已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 怎样求 AB

的坐标 ?
一个向量的 坐标等于表示此 向量的有向线段 的终点坐标减去 始点的坐标.
y

A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
O

x

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思考2:

(2)你能标出坐标为(x2? x1, y2? y1)的P点吗?

向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标是相同的.

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例1. 已知a ? ( 2, 1), b ? ( ?3, 4), 求
a ? b, a ? b, 3a ? 4b的坐标.

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例2.已知平行四边形ABCD三个顶点的坐 标分别为A(?2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求

点D的坐标.
y B D A O C

x

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例4. 已知 A(-1,-1), B(1,3), C(2,5),试判断 A、B、C三点之间的位置关系。

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例5.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标 分别是 ( x1 ,

y1 ), ( x2 , y2 )

(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,
求点P的坐标。
y P2 P1 P P1 y P P2

O

x
(2)

O

x

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变式:已知平面上三点的坐标分别为
A(?2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点 D的坐标使这四点构成平行四边形的 四个顶点.

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例3. 已知三个力F1 ? (3, 4), F2 ?(2, ?5),

F ? ( x, y )的合力F1 ? F2 ? F3 ? 0, 求 F3 的坐标.

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练习:
1 1. 若M ( 3, ?2), N ( ?5, ?1)且 MP ? MN , 2 求P点的坐标.

2. 若A(0, 1), B(1, 2), C ( 3, 4), 则 AB ? 2 BC ? .

3. 已知四点A(5, 1), B( 3, 4), C (1, 3), D(5, ?3), 求证 : 四边形ABCD是梯形.
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两个非零向量平行(共线)的条件:

设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? (b ? 0)
当且仅当存在实数

? ,使

a ? ?b
即a // b ? a ? ? b

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
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课堂小结
1.平面向量的坐标运算. 2.共线向量的坐标关系.

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课后作业
《基础训练》25

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【例题剖析】
例 1、在平行四边形 ABCD中,设对角线 AC=a,BD=b ,试用 a,b表示AB,BC. D
C A B

【解题回顾】解法1应用向量加、减法的定义直接求解;
解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法.

思考题:已知G是 GA+GB+GC=0

ABC的重心,求证:

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【例题剖析】
例2、已知A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),x为 何值时,向量AB与向量CD共线且方向相同?此 时点A、B、C、D是否在同一直线上?

【解题回顾】本题的丢分陷阱在于①漠视向量 AB 与 CD 方向相同, 而得出x=±2,产生增根;②不知如何去判断A、 B、C、D 四点共线.

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【例题剖析】
例3、已知OA、OB不共线,设OC=aOA+bOB,求证:A、C、B 三点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知,若C是AB中点,则有
1 OC = (OA+OB).利用本题结论,可解决一类几何问题. 2

思考题:平行四边形ABCD中,点M是AB的中点, 点N在BD上,且BN=1/3BD,求证:M、N、C三 点共线。
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【例题剖析】
例4、过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分别交于P,Q,设

1 1 ? ?3 OP=hOA,OQ=kOB,试证 h k

O P A

G C

Q

B

【解题回顾】本题有多种解法,最简便的要数利用例3 的结论。

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【课堂小结】
几何法 向量的加法 坐标法 几何法 坐标法
向量b与非零向量a共线

向量的减法

向量的运算
实数与向量的积

有且只有一个实数λ, 使b= λa.

基本定理

如果e1和e2是同一平面内的 两个不共线向量,那么对该平面内 的任何向量a,有且只有一对实数 λ1 ,λ2 ,使a=λ1 e1+λ2 e2

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2.3.1__平面向量基本定理(教案)

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