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模拟冲刺卷3(数学理)


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试卷类型 A

2015 年高考模拟冲刺卷 3 理科数学
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、已知 M ? ?? x, y ?

? ?

y ?3 ? ?

3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? 且 M ? N ? ? ,则 a = x?2 ?

A.-6 或-2 B.-6 C.2 或-6 D.2 ? l , m 2、设 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l∥ ? , m ? ? ,则 l⊥m B.若 l⊥m, m / /? 则 l ? ? C.若 l⊥m, m ? ? ,则 l / /? D.若 l / /? , m / /? 则 l / / m 3、已知向量 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为 A.

? ?

? ?

?

?

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

D.

5 13

4、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相 同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有 A.48 种 B.72 种 C.78 种 D.84 种 5 、在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn ,若

T2 m ?1 ? 512 ,则 m 的值为
A.4 B.5 C.6 D.7 6、已知实数 1,m,9 成等比数列,则圆锥曲线 A.

6 3

B.2

x ? y 2 ? 1的离心率为 m 6 C. 或2 3

2

D.

2 或 3 2

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7、 由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 , 不等式 ? 确定的平面区域记为 ? 2 , 在 ?1 中 x ? y ? ? 2 ? ?y ? x ? 2 ? 0 ?
随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为

1 3 7 C. D. 4 4 8 x , y x , y 8、 已知正实数 满足 x ? y ? 2 ? 4 xy , 若对任意满足条件的 都有 ( x ? y ) 2 ? 1 ? m( x ? y ) ? 0 恒成立, 则实数 m 的取值范围为 5 5 3 3 A. (??, ] B. [ , ??) C. (??, ] D. [ , ??) 2 2 2 2
A. B. 9、已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 8

1 3 2 ,存在 x 2 ∈[1,2],使 x? ? 1, g ( x) = x -2 bx +4,若对任意 x1 ∈(0,2) 4 4x
B. ?1,??? C. [

f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围是
A. (2,

17 ] 8

17 , ?? ) 8

D. ?2,???

1

10、已知方程 cos? x ? A. sin a ? a cos b

? ?

??

? ? kx 在 ?0,??? 上有两个不同的解 a, b?a ? b? ,则下面结论正确的是 2?
B. sin a ? ? a cos b C. cos a ? b sin b 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) D. sin b ? ?b sin a

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、阅读右面的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果为 .
开始

12、函数 y ? a sin x ? b cos x(ab ? 0) 的图像的一条 对称轴为 x ?

x ? 1, y ? 1

?
4

,则 a ? b 为



z ? x? y
z ? 20
是 否 输出

?? n? ? 13、已知函数 f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ,令 a n ? f ( ), 则 6? 6 ?
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2015 ?
14、给出下列四个命题: ① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件; ②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ? .

x? y
y?z

y x

结束

1 ?2; ln x

③已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ?

3 3 ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0) 成中心对称. 2 2


其中所有正确命题的序号为

→ → → 15、已知点 A(1,-1) ,B(3,0) ,C(2,1) .若平面区域 D 由所有满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1) 的点 P 组成,则 D 的面积为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 的最小值为 0. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A 的值.

3 sin(?x) ? 2 sin 2

?x
2

? m(? ? 0) 的最小正周期为 3? ,当 x ? [0, ? ] 时,函数 f ( x)

2

17、 (本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCDEF 中, BA, BC , BE 两两垂直,且 AB∥EF , CD∥BE , AB ? BE ? 2 ,

BC ? CD ? EF ? 1 .
(Ⅰ)若点 G 在线段 AB 上,且 BG ? 3GA ,求证: CG∥平面ADF; (Ⅱ)求直线 DE 与平面 ADF 所成的角的正弦值; (Ⅲ)求锐二面角 B ? DF ? A 的余弦值.

18、 (本小题满分 12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对 则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为

3 2 1 , , ,乙队每人答对的 4 3 2

概率都是

2 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分. 3

(Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ); (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率.

19、 (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ?an ? ? ?

?1? ? 2?

n ?1

n ? 2 n ? N * ,数列{ bn }满足 bn = 2 an .

?

?

(I)求证:数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 c

n

? log2

n an ,数列{ c

2 25 ( n ? N * ) 的 n 的最大值. }的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn ? c 21 n n?2

3

20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 ? ax(a ? R) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? ) x2 恰有两个不同的极值点 x1 , x 2 ,证明:

1 2

1 2

x1 ? x2 ? ln?2a ? . 2

21、 (本小题满分 14 分) 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P(?1, ) 在椭圆上,线段 PF2 与 y 2 a b 2

轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 ; (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)⊙O 是以 F1F2 为直径的圆,一直线 l: y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆交于不同的两点 A 、 B .当

OA ? OB ? ? ,且满足

2 3 ? ? ? 时,求△AOB面积S的取值范围. 3 4

4

1、 A 11、

2、A

3、B 13、 -

4、A

理科数学答案(三) 5、B 6、C 7、D 8、A 15、 3

9、C

10、B.

16、 【解】 (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos( ?x) ? ? m ? 2 sin(?x ? ) ? 1 ? m. 2 6 2? 2 ? 3? , 解得 ? ? . 依题意函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即 ? 3 3 sin(?x) ? 2 ?
所以

13 12、0 8

1 2

14、①③

f ( x) ? 2 sin(

2x ? ? ) ? 1 ? m. 3 6

…………4 分

当x ? [0, ?]时,

? 2 x ? 5? 1 2x ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 6 3 6 6 2 3 6 所以f ( x)的最小值为m.依题意, m ? 0. 所以f ( x) ? 2 sin( 2x ? ? ) ? 1. 3 6 ???? 6分

(Ⅱ)

f (C ) ? 2 sin(



?
6

?

2C ? ? ? , 所以 ? ? .解得C ? .???? 8分 3 6 6 3 6 2 2

2C ? 2C ? ? ) ? 1 ? 1,? sin( ? ) ? 1. 3 6 3 6 5? 2C ? ? ?
?
2 , 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ),

在Rt?ABC中 ,? A ? B ?

? 2 cos 2 A ? sin A ? sin A ? 0, 解得sin A ? ? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

?1 ? 5 .????10分 2

17、解: (Ⅰ)分别取 AB, AF 的中点 M , H ,连结 MF , GH , DH ,则有 AG ? GM , MF ∥ BE . ∵ AH ? HF ∴ GH ∥ 又∵ CD ∥

5 ?1 .????12分 2

1 MF 2

……………………………………………1 分

1 BE , BE ∥ MF ∴ CD ∥ GH 2 ……………………………2 分 ∴四边形 CDHG 是平行四边形∴ CG ∥ DH 又∵ CG ? 平面ADF , DH ? 平面ADF ∴ CG ? 平面 ADF …4 分 (Ⅱ)如图,以 B 为原点,分别以 BC, BE, BA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 A( 0 C , D 0 ,E ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1,1,0), DA ? (?1, ?1, 2), FA ? (0, ?2,1) 5 分 ? 设平面 ADF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则有 ? ??? ? ? ?x ? 3y ?n ? DA ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ,化简,得 ? ? ? ? ??? ?z ? 2 y ? ?n ? FA ? ?2 y ? z ? 0 ? 令 y ? 1 ,得 n ? (3,1, 2) ……………7 分 设 直 线 DE 与 平 面 A D F所 成 的 角 为 ? , 则 有

5

? ???? n ? DE 7 7 sin ? ? ? ???? ? .所以直线 DE 与平面 ADF 所成的角的正弦值为 .-------8 分 7 n ? DE 7 ?? ? ??? ? (Ⅲ)由已知平面 ADF 的法向量 n1 ? ( 3,1,2 ),BF ? (0,2,1) ?? ? ??? ? 设平面 BDF 的一个法向量 n2 ? ( x, y,z ),BD ? (1,1,0 )
?? ? ??? ? ? ? n 2 ? BF ? 0 ? ??? ? ??? ? ? ?n 2 ? BD ? 0 ?2y ? z ? 0 ?? ?x?y?0

? z ? ?2 y,x ? ? y

令 y ? ?1, 则 n2 ? (1,?1,2 ) ……………………………………10 分

?? ?

设锐二面角 B ? DF ? A的平面角 为 ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n 2 6 21 ? ?? ? |? ? ……………11 分 则 cos ? ?| cos ? n1 , n 2 ?|?| ?? 7 | n1 | ? | n 2 | 14 ? 6

所以锐二面角 B ? DF ? A的余弦值为

18、 (1) ? 的可能取值为 0,1,2,3 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(? ? 0) ? ? ? ? ; P (? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4

21 ………………12 分 7

3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P (? ? 3) ? ? ? ? …….4 分 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4 ? ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1 24

1 4

11 24

1 4

E (? ) ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ……….6 分 24 4 24 4 12
3 2 1

(2)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B

1 11 1 1 1 2 1 3?2? 2?2? 1? 2? ? C3 ? ? ? ? C3 ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ( ) ? ;…….8 分 4 3 ? 3 ? 24 ?3? 3 4 ?3? 3 1 1 P ( AB ) 1 2 1 1 ? 18 1 1? 2 P( AB) ? ? C3 ? ? ? ( ) ? …10’? P( B A) ? P( A) ? 1 ? 6 …12 分 4 18 ?3? 3 3 1 n ?1 1 19、解: (Ⅰ)在 S n ? ? a n ? ( ) ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? . 2 2 1 n?2 1 n ?1 ? 2 ∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ? ( ) , … 当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) 2 2 1 n ?1 n n ?1 n ∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) ,即 2 a n ? 2 a n ?1 ? 1 . ∵ bn ? 2 a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即 当 n ? 2 时 , 2 bn ? bn ?1 ? 1 .又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. n n 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 a n ,∴ a n ? n . …………………………6 分 2 2 2 1 1 n = = ? log2 2n ? n ,∴ ,………………8 分 (Ⅱ)∵ cn ? log2 an cn cn+2 n(n+ 2) n n+ 2
则 P( A) ?
6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) =1 ? ? ? ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( .10 分 2 n ?1 n ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 25 1 1 1 25 1 1 13 ? ? ? ? 由 Tn ? ,得 1 ? ? ,即 , 21 2 n ? 1 n ? 2 21 n ? 1 n ? 2 42 1 1 9 13 f ( n) ? ? 单调递减,∵ f (4) ? , f (5) ? ,∴ n 的最大值为 4. n ?1 n ? 2 20 42

20、解: (I)∵

f ?( x) ? ex ? x ? a ,∴ f ?(0) ? 1 ? a .于是由题知 1-a=2,解得 a=-1.
x

∴ f ( x) ? e ? (II)由题意

1 2 x ? x .∴ f (0) ? 1 ,于是 1=2×0+b,解得 b=1.………3 分 2

f ?( x) ? 0 即 e x ? x ? a ? 0 恒成立,∴ a ? e x ? x 恒成立.

设 h( x) ? e x

? x ,则 h?( x) ? e x ?1 .
(0,+∞) + 增函数

0 (-∞,0) 0 h(x) 减函数 极小值 h x min=h 0 =1 a<1 ………………6 ∴ ( ) ( ) ,∴ . 分 x h?( x) (III)由已知 g ( x) ? e ∴
x

?

1 2 1 x ? ax ? ax2 ? x2 ? e x ? ax2 ? ax , 2 2

, g?( x) ? e x ? 2ax ? a .∵ x1,x2 是函数 g(x)的两个不同极值点(不妨设 x1<x2)

∴ a>0 (若 a≤0 时,g ?( x) ? 0 , 即g (x) 是 R 上的增函数, 与已知矛盾) , 且 g ? ( x1 ) ? 0 ,g ? ( x2 ) ? 0 . ∴

e x1 ? 2ax1 ? a ? 0 , e x2 ? 2ax2 ? a ? 0 .
e x1 ? e x2 x ? x2 ? ln 2a , 两式相减得: 2a ? ,----8 分于是要证明 1 2 x1 ? x2
即证明 e
x1 ? x2 2

?

e x1 ? e x2 ,两边同除以 e x2 ,即证 e x1 ? x2

x1 ? x 2 2

?

e x1 ? x2 ? 1 , x1 ? x2
x1 ? x2 2

即证(x1-x2)
t

x1 ? x2 > e 2

e x1 ? x2 ? 1 ,10 分即证(x1-x2) e
t t t

- e x1 ? x2 ? 1 >0,令 x1-x2=t,t<0.即证不

等式 te 2 ? et ? 1 ? 0 当 t<0 时恒成立. 设 φ(t ) ? te 2 ? et ? 1 ,∴ ? ?(t ) ? e 2 ? t ? e 2 ?
t t
t

1 t t t ? e ? ( ? 1)e 2 ? et ? ?e 2 [e 2 ? ( ? 1)] . 2 2 2

t

t

t t ∵ 由(II)知 e 2 ? ? 1 ,即 e 2 ? ( ? 1) ? 0 ,∴ ? (t)<0, 2 2 ∴ ? (t)在 t<0 时是减函数.∴ ? (t)在 t=0 处取得极小值 ? (0)=0. x ?x ∴ ? (t)>0,得证.∴ 1 2 ? ln 2a .……………………13 分 2

21、解: (Ⅰ)? PM ? F2 M ? 0 ∴点M是线段PF2的中点 ∴OM是△PF1F2的中位线 , 又OM⊥F1F2 ∴PF1⊥F1F2
?c ? 1 ? 1 ?1 ?? 2 ? 2 ? 1 a 2 b ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c 解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 =1 2

5分

(Ⅱ)∵圆O与直线l相切

|m| k 2 ?1

?1

即m 2 ? k 2 ? 1 -----6分
7

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 ? y ? kx ? m ?

消去y : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0

∵直线l与椭圆交于两个不同点,?? ? 0 ? k 2 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

4km 2m2 ? 2 ---------7 , 分 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
m2 ? 2k 2 ------8分 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 1? k 2 OA ? OB ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ? ? ------9分 1 ? 2k 2 2 3 2 1? k 2 1 3 2 ? ??? ? ? 解得: ? k ? 1 ? 2 3 4 3 1 ? 2k 2 4 ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

----10分

S ? S ?ABO ?
? ? ?

1 ? | AB | ?1 2

1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 2 1 4km 2 2m 2 ? 2 ? 1 ? k 2 ? (? ) ? 4 ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(k 4 ? k 2 ) 设u ? k 4 ? k 2 , 4(k 4 ? k 2 ) ? 1 2u 3 , u ? [ , 2] 4u ? 1 4

3 则 ? u ? 2, S ? 4

3 3 6 2 ? S 关于u在[ , 2]单调递增, S ( ) ? , S (2) ? 4 4 4 3

?

6 2 ?S? 4 3

14 分

8


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