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2.2.3条件概率与独立事件

时间:2014-05-15


一、知识回顾

1.古典概型的概念

1)试验的所有可能结果(即基本事件)只 有有限个,每次试验只出现其中的一个结 果;2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P( A) ? ? 试验的所有可能结果 n

二、问题提出: 在集合中,“都”代表着“交”,
则A、B同时发生为A∩B。 B={产品的质量合格} {产品的长度合格} A=

100个产品中有93个产品的长度合格,90个产 品的质量合格,85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品,若已知它的质量合格,那么它的 长度合格的概率是多少? A∩B={产品的长度、质量都合格}

100个产品中有93个产品的长度合格,90个产品的质

量合格,85个产品的长度、质量都合格。现在任取一
个产品,若已知它的质量合格,那么它的长度合格的

概率是多少? 任取一个产品,已知它的质量合格(即B发生), 85 则它的长度合格(即A发生)的概率是 。 90 思考: 这个概率与事件A、B的概率有什么关系么? 93 90 85 P( A) ? , P( B) ? , P( A ? B) ? 由已知可得:
100 100 85 容易发现: 85 ? 100 ? P( A ? B ) 90 90 P( B ) 100

100

三、新课: 1.条件概率的定义

一般地,设A,B为两个事件,且 P ( A) ? 0 ,称

P ( AB ) 为事件A发生的条件下,事件B P ? B A? ? P ( A) 发生的条件概率.
P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率,
n( AB) P ? B A? ? n( A) P ( AB) ? P ( A)
B A∩ B

A

P(B|A)相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。

2.条件概率的性质: (1)有界性: 0 ? P ? B A? ? 1
(2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则

P ? B C A? ? P ? B A? ? P ? C A ?

6

例1

在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题,求:

(1)第1次抽到理科题的概率;

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。

科题”为事件A, “第2次抽到理科题”为事件B, 则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB. n( A) 12 3 2 1 1 (1) n(?) ? A5 ? 20, n( A) ? A3 ? A4 ? 12,? P( A) ? ? ? . n(?) 20 5 n(AB) 6 3 2 (2) n(AB ) ? A3 ? 6, ? P( AB) ? ? ? . 3 n(?) 20 10
(3)法1 P( B | A) ? P( AB) 10 1 ? ? . 3 2法2 P( A) 5

解:设Ω 为所有基本事件组成的全体,“第1次抽到理

n( AB) 6 1 P( B | A) ? ? ? n( A) 12 7 2

想一想
你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗?

(1)用字母表示有关事件 (2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

P ( AB) n( AB) ? ( 3 )利用条件概率公式求 P ? B A? ? P ( A) n( A)

8

练一练
11 12 13 14 15 16 1. 掷两颗均匀骰子,问: 21 22 23 24 25 26 ⑴ “ 第一颗掷出6点”的概率是多少? 31 32 33 34 35 36 ⑵ “掷出点数之和不小于10” 的概率又是多少? 41 42 43 44 45 46 ⑶ “已知第一颗掷出6点,则掷出点数之和不小于 10” 51 52 53 54 55 56 的概率呢? 61 62 63 64 65 66

解:设Ω 为所有基本事件组成的全体, “第一颗掷出6点”为事件A,“掷出点数之和不小于10”为事件B, 则“已知第一颗掷出6点,掷出点数之和不小于10”为事件AB (1) P ? A ? ? (3)
0

n ?? ?

n ?A?

6 1 (2) ? ? 36 6

P ?B ? ?
0

n ?? ?

n ?B ?

?

6 1 ? 36 6

1 P ?B | A ? ?

P ? AB ? P ? ??

1 ? 2

2 P ?B | A? ?

n ? AB ? n ? ??

?

3 1 ? 6 2
9

2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益

而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解法1(条件概率定义法) 设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
由条件概率定义得:

1 p( AB) 2 3 P( B | A) ? ? ? p( A) 1 3 2

2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益

而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择?

解法2(减缩样本空间法)
设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}

n( AB) 2 P( B | A) ? ? n( A) 3

练习3. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只

二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽 样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为 “第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).


将产品编号, 1, 2, 3 为一等品; 4 号为二等品.

以 ( i , j ) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第 j 号产品, 则试验的样本空间为 ? ? {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) , ,(4,1),(4,2),(4,3)},

A ? {(1, 2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4)}, AB ? {(1,2), (1,3), ( 2,1), ( 2,3), ( 3,1), ( 3,2)}, 6 2 n( AB ) P ( B A) ? ? ? 3. 由条件概率的公式得 n( A) 9

归纳小结:
P ( AB) 1. 条件概率的定义. P ? B A? ? ? P( A) ? 0? P ( A) 2. 条件概率的性质. (1)有界性(2)可加性 n( AB) P ( AB ) P B A ? P ? B A? ? 3. 条件概率的计算方法. ? ? n( A) P ( A)
(古典概型) (一般概型)

一、基本知识

4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 求相关量 代入公式求P(B|A)

二、思想方法

1.由特殊到一般 2.类比、归纳、推理 3.数形结合
13

问题2: 从一副扑克牌(去掉大小王)中随机抽取1张,
否可以利用P ( B ), P ( AB ) 来计算 P( A B ) ??
13 1 分析: 剩余的52张牌中,有13张红桃,则 P( B ) ? ? 52 4 52张牌中红桃Q只有1张,则 P( AB ) ? 1 52 由条件概率公式知,当取出牌是红桃时为Q的概率为:

用A表示"取出牌“Q”",用B表示"取出的是红桃",是

P( AB) 1 P( A B ) ? ? P( B ) 13

4 1 我们知道52张牌中有4个Q ,所以: P( A) ? ? 52 13 易看出此时: 说明事件B的发生 P( A B) ? P( A) 不影响A的发生

而此时有:

P( AB ) ? P( A) P( B )

概括总结 一般地,两个事件 A、 B ,若有
P( AB ) ? P( A) P( B ) ,

则称 A、B相互独立。

或者说A的发 生与B的发生 互不影响。

说明:若 A 、B 相互独立,则 A 与 B, A与 B,

A 与B 是否也相互独立呢??
你能举出生活中的一些独立生活的例子么??

判断:下列哪些事件相互独立。

① 篮球比赛的“罚球两次”中, 事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了。

② 在三月份的月考较量中,
事件A:同学甲获得第一名;

事件B:同学乙获得第一名。

③ 袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球, 事件A:第一次从中任取一个球是白球; 事件B:第二次从中任取一个球是白球。 ④ 甲坛子里有 3 个红球, 2 个黄球,乙坛子里也有 3

个红球,2个黄球,从这两个坛子里分别摸出1个球,
事件A:从甲坛子里摸出1个球,得到黄球; 事件B:从乙坛子里摸出1个球,得到黄球。

例题分析
例1 调查发现,某班学生患近视的概率为0.4,现随

机抽取该班级的2名同学进行体检,求他们都近视的概率。

解:记A为甲同学近视,B为乙同学近视,则A、B相 互独立,且 P( A) ? P( B) ? 0.4 ,则
P( AB ) ? P( A) P( B ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.16

推广: 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式,

若 A 、B 相互独立,则有 P( AB ) ? P( A) P( B )
事实上,对于多个独立事件,公式也是成立的。 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A A ? A ) ? P( A ) P( A )? P( A )
1 2 n 1 2 n

思考讨论:

将一枚均匀硬币掷4次,有人认为:“第一次出现
正面,第二次出现反面,第三次出现正面,第四次出

现反面” 发生的概率比 “第四次出现正面” 的概率大,
你认为这种说法正确么??

小结
* 条件概率: 当事件B发生时,事件A发生的概率: P( A ? B ) 当 P( B ) ? 0 时,P( A B ) ? 。 P( B ) * 独立事件的概率: 若A的发生与B的发生互不影响,称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率:P( AB ) ? P( A) P( B ) 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )

例2. 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击中目标的概率
都是0.6,计算:

(1) 2 人都击中目标的概率;

(2)其中恰有1人击中目标的概率;
(3)至少有一人击中目标的概率。

互斥事件 概念
不可能同时发生 的两个事件叫做 互斥事件.

相互独立事件
如果事件A(或B)是 否发生对事件B(或A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做 相互独立事件 . 相互独立事件A、B同 时发生记作 A ·B

符号

互斥事件A、B中 有一个发生,记 作A+B P(A+B)=P(A)+P(B)

计算公式

P(A· B)= P(A)· P(B)

例2. 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击中目标的概率
都是0.6,计算:

(1) 2 人都击中目标的概率;

(2)其中恰有1人击中目标的概率;
(3)至少有一人击中目标的概率。

例3.某人提出一个问题,规定由甲先答,答对的概率为0.4,若 答对,则问题结束;若答错,则由乙接着答,但乙能否答对与 甲的回答无关系,已知两人都答错的概率是0.2,求问题由乙答 出的概率。

解法一:设P(乙答错)= x,则由题意,得 P(甲答错且乙答错)=0.2,

∴P(由乙答出)=P(甲答错且乙答对)

1 ? 0.6x ? 0.2 ? x ? 3

2 ? 0 . 6 ? ? 0 .4 3

解法二:P(由乙答出)=1-P(由甲答出)-P(两人都未答出) =1- 0.4- 0.2=0.4

课后思考

思考讨论: 将一枚均匀硬币掷4次,有人认为:“第一次出现

正面,第二次出现反面,第三次出现正面,第四次出
现反面” 发生的概率比 “四次出现正面” 的概率大,

你认为这种说法正确么??

20年后重登奥运之巅

中国女排雅典圆梦

2004年雅典奥运会女子排球决赛在中国和俄罗斯 之间展开,最终中国女排在先失两局的不利情况 下连扳三局,以总比分3-2击败俄罗斯女排获得冠 军,这也是中国女排继1984年洛杉矶奥运会夺冠 以来第二次在奥运会女排比赛中摘金,这是女排 姑娘的骄傲!也是全中国人民的骄傲!!!

假如经过多年的努力,男排实力明显提高,到2008年北京 奥运会时,凭借着天时、地利、人和的优势,男排夺冠的 概率有0.7;女排继续保持现有水平,夺冠的概率有0.9。 那么,男、女排双双夺冠的概率有多大? P(A? B) 变式1:只有女排夺冠的概率有多大? 变式2:恰有一队夺冠的概率有多大?

P(A? B)

P (A ? B ? A ? B)
1? P(A ? B)

变式3:至少有一队夺冠的概率有多大?
变式4:至少有一队不夺冠的概率有多大?

1 ? P( A) ? P(B)

概率

意义

P( A ? B)
P( A ? B)
P( A ? B)

P( A ? B ? A ? B) A、B中恰有一个发生 1 ? P( A ? B) A、B中至少有一个发生 1 ? P( A ? B) A、B中至多有一个发生

P( A ? B)

A、B同时发生 A不发生B发生 A发生B不发生 A不发生B不发生

例6.某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂, 但在检验时也可能出现差错,将合格产品不能通过检验或将不合

格产品通过检验,对于两名检验员,合格品不能通过检验的概率
分别为?1、?2,不合格产品通过检验的概率分别为?1、?2,两名检 验员的工作独立.

求:(1)一件合格品不能出厂的概率,
(2)一件不合格产品能出厂的概率 (2)“一件不合格品能通过第i名检验员检验”记为事件Bi(i=1、

2),
“一件不合格品能出厂”即不合格品通过两名检验员检验 事件B1·B2发生,所求概率为:

P(B1· B2)=P(B1)· P(B2)=?1· ?2

动手做一做
?

?

1.猎人在距100米处射击一只野兔,其命中 率为 ,如果第一次射击未中,则猎人进行 1 2 第二次射击,但距离为 150米,如果第二未 中,则猎人第三次射击,且距离200米,已 知猎人的命中率与距离平方成反比,求猎人 命中野兔的概率。 2.每门高射炮射击飞机的命中率为0.6则至 少要多少门高射炮独立地对飞机同时进行一 次射击就可以使击中飞机的概率超过0.98?

小结
* 条件概率: 当事件B发生时,事件A发生的概率: P( A ? B ) 当 P( B ) ? 0 时,P( A B ) ? 。 P( B ) * 独立事件的概率: 若A的发生与B的发生互不影响,称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率: P( AB ) ? P( A) P( B )

对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )


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