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高中数学必修二


高中数学必修二
一、选择题

圆与方程练习题
2 2

1. 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为( A. ) C.

?3或7

B.

?

2或8

0或10

D.

1或11


) ) 1 ,且与点 B( 3 , 1 2 的直线共有( 2. 在坐标平面内,与点 A( 1 , 2 距离为 距离为
A.
2

1条
2

B.

2条

C.

3条

D.

4条


3. 圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为( A. C.

x ? 3y ? 2 ? 0 x ? 3y ? 4 ? 0

B. D.

x ? 3y ? 4 ? 0 x ? 3y ? 2 ? 0

二、填空题

x ? y ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上的截 ) 1. 若经过点 P(? 1 , 0 的直线与圆
2 2

距是________________.
2 2 B 60 , PB 2. 由动点 P 向圆 x ? y ? 1引两条切线 P A ,切点分别为 A, B,? A P ? ,则动点

0

P 的轨迹方为________________.
, 4B ), ? ( 0, ,则圆 2 )C 的方程 3. 圆心在直线 2 x ? y ? 7? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A( 0 ?
为 ________________. 4.
2 2 OP ? OQ 已知圆 ? x ? 3? ? y ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P, Q 则 的值为

________________. 5.

, PB 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, P A 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切
2 2

线, A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 P A C B 面积的最小值是________________. 三、解答题 1. 点

P? a , b ?

2 2 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,求 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 的最小值.

1

一、选择题 1. A 直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2 x ? y ? ? ? 2 ? 0

圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心为
2 2

C (?1, 2), r ? 5, d ?

?2 ? ? 5

? 5, ? ? ?3, 或? ? 7

2. 3.

B 两圆相交,外公切线有两条 D (x ? 2) ? y ? 4 的在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为 (1 ? 2)( x ? 2) ? 3 y ? 4
2 2

二、填空题 1. 2. 3.
2 2 ) x ? y ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,即切线为 x ? y ? 1 ? 0 1 点 P(? 1 , 0 在圆

x2 ? y 2 ? 4

OP ? 2
圆心既在线段 AB 的垂直平分线即 y ? ?3 ,又在

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

, 3 )r? 5 2 x ? y ? 7? 0 上,即圆心为 ( 2 ? ,
4. 5 5.

O P ? O Q? 设切线为 OT ,则

OT? 5

2

2 2

当 CP 垂直于已知直线时,四边形 P A C B 的面积最小

三、解答题 1. 解:

(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2

x ? y ? 1 ? 0 的距离 ) 的最小值为点 ( 1 , 1 到直线

d?


3 3 2 3 2 ? ( a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 2) min ? 2 , 2 2 .

2

一、选择题 1
王新敞
奎屯 新疆

直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一

王新敞
奎屯

新疆

第二

王新敞
奎屯

新疆

第四象限,则 a、b、c 应满足( ) D. ab ? 0, bc ? 0 ) D.相交但不过圆心

A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0 2 直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是(
2 2

王新敞
奎屯

新疆

A.相交且过圆心 3
王新敞
奎屯 新疆

B.相切

C.相离

2 2 b、 c 已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为 a 、

的三角形( ) A.是锐角三角形 4
2 2
王新敞
奎屯 新疆

B.是直角三角形

C.是钝角三角形

D.不存在 )

动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( A. ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

B. ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

C. (2 x ? 3) ? 4 y ? 1
2 2

D. ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 2

5

王新敞
奎屯

新疆

参数方程 ? ?

x ? 3 ? 3 cos? 表示的图形是( ? y ? ?3 ? 3 sin ?

) B.圆心为 (?3,3) ,半径为 3 的圆 D.圆心为 (3,?3) ,半径为 3 的圆

A.圆心为 (?3,3) ,半径为 9 的圆 C.圆心为 (3,?3) ,半径为 9 的圆 二、解答题 6
王新敞
奎屯 新疆

求到两个定点 A(?2,0), B(1,0) 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程

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7

王新敞
奎屯

新疆

已知圆 C 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3 ) ,
2 2
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求圆 C 的方程

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3

一、 题号 答案 二、 6 设 M ( x, y ) 为所求轨迹上任一点,则有 1 A 2 D 3 4 B C 5 D

MA MB

王新敞
奎屯

新疆

?2

?
7

( x ? 2) 2 ? y 2 ( x ? 1) ? y
2 2

? 2 ? x 2 ? 4x ? y 2 ? 0

王新敞
奎屯

新疆

设圆 C 的圆心为 (a, b) ,

?b ? 3 ? 3 ? ? a?3 a ? 4或?a ? 0 ?? ? r ? 2或r ? 6 则? ? ? b a ? 3b ? ? 0 ?b ? ?4 3 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 4或x ? ( y ? 4 3 ) ? 36
2 2 2 2
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4

一、选择题 1.(文)如果直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,则直 线 l 的斜率的取值范围是 ( ) A.[0,1] 1? ? C.?0, ? 2? ? 1.[答案] [解析] D 由题意知 l 过圆心(1,2),由图知 k∈[0,2]. ?1 ? B.? ,1? ?2 ? D.[0,2]

5.由直线 y=x-1 上的一点向圆 x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长的最 小值为 ( A.1 [答案] [解析] A 圆 C:(x-3)2+y2=1, B. 2 C. 3 D.2 )

的圆心 C(3,0),半径为 1,P 在直线 x-y-1=0 上. 切线 PQ⊥CQ(Q 为切点), 则切线长|PQ|= |PC|2-|QC|2= |PC|2-1.
5

|PC|的最小值为点 C 到直线 x-y+1=0 的距离

|3-0-1| = 2. 2

所以|PQ|min= ( 2)2-1=1. 6.过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为 A、B,O 为坐标原 点,则△OAB 的外接圆方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20 [答案] [解析] A

由条件知 O、A、B、P 四点共圆,从而 OP 中点(2,1)为所求圆的圆 1 心,半径 r= |OP|= 5,故选 A. 2 7.过点 P 作圆(x+1)2+(y-2)2=1 的切线,切点为 M,若|PM|=|PO|(O 为 原点),则|PM|的最小值是 ( ) A. 2 5 5 A B. 5 2 C. 3 5-5 5 D.1

[答案]

[解析] 设点 P 坐标为(x,y),则由条件得|PM|2=(x+1)2+(y-2)2-1= |PO|2=x2+y2,化简为 x-2y+2=0,从而|PM|的最小值即为|PO|的最小值,也 2 5 即 O 到直线 x-2y+2=0 的距离 ,故选 A. 5 8.直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于 3,则 直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积等于 ( ) A. 3 2 A
6

B.

1 2

C.1 或 3

1 3 D. 或 2 2

[答案]

?a+b= 3 x y [解析] 设直线 l 的方程为 + =1,则满足? |ab| a b =1 ? a2+b2
1 3 或 1(舍去),从而所围成三角形的面积 S= |ab|= ,故选 A. 2 2

?ab=-3

9.如图,在平面直角坐标系中,Ω 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴 分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D 是该圆的四等分 点.若点 P(x,y)、点 P′(x′,y′)满足 x≤x′且 y≥y′,则称 P 优于 P′. 如果 Ω 中的点 Q 满足:不存在 Ω 中的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成 的集合是劣弧 ( )

A. AB [答案] [解析] D

B. BC

C. CD

D. DA

首先若点 M 是 Ω 中位于直线 AC 右侧的点,则过 M,作与 BD 平行

的直线交 ADC 于一点 N,则 N 优于 M,从而点 Q 必不在直线 AC 右侧半圆内;其 次,设 E 为直线 AC 左侧或直线 AC 上任一点,过 E 作与 AC 平行的直线交 AD 于

F.则 F 优于 E,从而在 AC 左侧半圆内及 AC 上(A 除外)的所有点都不可能为 Q

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题 中横线上) 13.过点 A(-2,0)的直线交圆 x2+y2=1 交于 P、Q 两点,则→ AP?→ AQ的值为 ________. [答案] 3

7

设 PQ 的中点为 M,|OM|=d,则|PM|=|QM|= 1-d2,|AM|= 4-d2.∴|→ AP|= 4-d2- 1-d2,|→ AQ|= 4-d2+ 1-d2, [解析] ∴→ AP?→ AQ=|→ AP||→ AQ|cos0°=( 4-d2- 1-d2)( 4-d2+ 1-d2)=(4- d2)-(1-d2)=3.

15. 已知向量 a=(2cosα , 2sinα ), b=(2cosβ , 2sinβ ), 且直线 2xcosα 2 2 -2ysinα +1=0 与圆(x-cosβ ) +(y+sinβ ) =1 相切, 则向量 a 与 b 的夹角 为________. [答案] [解析] 60° 根据题设知圆心到直线的距离为

|2cosα cosβ +2sinα sinβ +1| |2cos(α -β )+1| = =1,解得 2 2 1 3 cos(α -β )= 或- (舍去), 2 2

d=

∴cos〈a,b〉=

a?b 4cosα cosβ +4sinα sinβ 1 = =cos(α -β )= , |a||b| 4 2

∴向量 a 与 b 的夹角为 60°.故填 60°. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9 =0 表示一个圆. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围; (3)求圆心的轨迹方程. (1)∵方程表示圆,∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4 1 +9)=4(-7m2+6m+1)>0,∴- <m<1. 7 [解析]
8

(2)r=

1 2 4(-7m +6m+1) 2



3? 16 4 7 4 7 ? -7?m- ?2+ ≤ ,∴0<r≤ . 7 7 7 ? ? 7 ,

?x=m+3 (3)设圆心坐标为(x,y),则? 2 ?y=4m -1 消去 m 得,y=4(x-3)2-1. 1 20 ∵- <m<1,∴ <x<4, 7 7 即轨迹为抛物线的一段, 即 y=4(x-3)2-1 ?20 ? ? <x<4?. ?7 ?

?x≥0 18. (本小题满分 12 分)已知平面区域?y≥0 ?x+2y-4≤0
覆盖. (1)当圆 C 的面积最小时,求圆 C 的方程;

被圆 C 及其内部所

(2)若斜率为 1 的直线 l 与(1)中的圆 C 交于不同的两点 A、 B, 且满足 CA⊥CB, 求直线 l 的方程. [解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)构成 的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. ∴圆心是(2,1),半径是 5, ∴圆 C 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5. (2)设直线 l 的方程是:y=x+b. ∵CA⊥CB,∴圆心 C 到直线 l 的距离是 10 , 2

9



|2-1+b| 10 = .解之得,b=-1± 5. 2 2

∴直线 l 的方程是:y=x-1± 5. 20.(本小题满分 12 分)圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+ (m+1)y=7m+4 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒相交于两点; (2)求⊙C 与直线 l 相交弦长的最小值. [解析] (1)将方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,变形为(2x+y-7)m+(x +y-4)=0. 直线 l 恒过两直线 2x+y-7=0 和 x+y-4=0 的交点, ?2x+y-7=0 由? ?x+y-4=0 得交点 M(3,1).

又∵(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点 M(3,1)在圆 C 内,∴直线 l 与圆 C 恒有 两个交点. (2)由圆的性质可知,当 l⊥CM 时,弦长最短. 又|CM|= (3-1)2+(1-2)2= 5, ∴弦长为 l=2 r2-|CM|2=2 25-5=4 5. 21.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的方程为:x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),→ ON=(0,y0),若向量→ OQ=→ OM+→ ON,求动点 Q 的轨迹方程. [解析] (1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1),则由 |2-k| 4 =2 得,k1=0,k2=- ,故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y-10=0. 2 3 k +1

10

(2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标 为(1, 3)和(1,- 3),这两点的距离为 2 3,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d,则 2 3=2 4-d2,∴d |-1+2| 3 =1,∴1= ,∴k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0,综上所述,所 2 4 k +1 求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. (3)设 Q 点的坐标为(x,y), ∵M(x0,y0),→ ON=(0,y0),→ OQ=→ OM+→ ON, ∴(x,y)=(x0,2y0),∴x=x0,y=2y0.

x y ?y? ∵x +y =4,∴x +? ?2=4,即 + =1, 4 16 ?2?
2 2 2 0 2 0 2

∴Q 点的轨迹方程是 + =1 4 16 22.(本小题满分 14 分)(文)已知圆 C 经过点 A(1,3)、B(2,2),并且直线 m: 3x-2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (ⅰ)求实数 k 的取值范围; (ⅱ)若→ OM?→ ON=12,求 k 的值. 3-2 ?3 5? (1)线段 AB 的中点 E? , ?,kAB= =-1,故线段 AB 的中垂线 1-2 ?2 2? 5 3 方程为 y- =x- ,即 x-y+1=0. 2 2 [解析] 因为圆 C 经过 A、B 两点,故圆心在线段 AB 的中垂线上. 又因为直线 m:3x-2y=0 平分圆 C,所以直线 m 经过圆心.

x2

y2

11

?x-y+1=0 由? ?3x-2y=0

?x=2 解得,? ?y=3

,即圆心的坐标为 C(2,3),而圆的半径 r

=|CB|= (2-2)2+(2-3)2=1, 所以圆 C 的方程为:(x-2)2+(y-3)2=1. (2)直线 l 的方程为 y=kx+1. 圆心 C 到直线 l 的距离 d= |2k-3+1| , 1+k2

(ⅰ)由题意得 d=

|2k-3+1| 2 <1,两边平方整理得:3k -8k+3<0, 2 1+k

解之得:

4- 7 4+ 7 <k< . 3 3

(ⅱ)将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组得, ?y=kx+1 ① ? 2 2 ?(x-2) +(y-3) =1 ② 将①代入②得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),则由根与系数的关系可得:

x1+x2=

4(1+k) 7 , 2 ,x1x2= 1+k 1+k2

而 y1y2=(kx1+1)?(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 7 所以→ OM?→ ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(1+k2)? + 1+k2 4(1+k) 4k(1+k) k? +8, 2 +1= 1+k 1+k2 4k(1+k) +8=12,整理 k(1+k)=1+k2,解得 k=1.经检验知,此时 1+k2 有 Δ >0,所以 k=1. 故有 (理)已知定点 A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),动点 P 满足→ AP?→ BP=k|→ PC|2. (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线.

12

[解析]

(1)设动点的坐标为 P(x,y),则

→ AP=(x,y-1),→ BP=(x,y+1),→ PC=(1-x,-y). ∵→ AP?→ BP=k|→ PC|2, ∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], ∴(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线.

k ?2 2 ? 1 ?2 ? ? k ? ,0?为圆心,以 ? +y =? ? ,表示以? 若 k≠1,则方程化为?x+ 1-k? ? ?1-k? ?k-1 ? ? 1 ? ? ?为半径的圆. ?1-k?

13


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