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江西省丰城中学2015-2016学年高二上学期数学周练试题(理科尖子班1.11)

时间:2016-07-13


丰城中学 2015-2016 学年上学期高二周练试卷 数 学
命题人:任小枝 班型:理科 1——13 班 总分:150 分; 考试时间:2016.1.11 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知空间中三点 A (-2, 0, 2) , B (-1, 1, 2) , C (-3, 0, 4) , 设 a ? AB ,b ? AC . 若
? ? ? ?

k a ? b 与 k a ? 2 b 互相垂直,则实数 k 的值为(

?

?

?

?



A. B. C. 或 D. 或 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

1 ?? A. 3 1 ? 2? 3 C.

2 ?? B. 3 2 ? 2? 3 D.


3.下列说法中正确的是 (

2 2 A.若命题 p : ?x ? R 有 x ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 有 x ? 0 ;

B.直线 a , b 为异面直线的充要条件是直线 a , b 不相交; C.若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的充分不必要条件;
2 D.方程 ax ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ?

1 2

4.已知点 A(1, 3) , B (?2, ? 1) ,若直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 1 与线段 AB 没有交点,则 k 的 取值范围是( A. k > 2 ) B. k < 2

1

1

C. k > 2 或 k <-2

1

D.-2< k < 2

1

5.已知点 A(1,0)和圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 上一点 P,动点 Q 满足 PA ? 2 AQ ,则点 Q 的轨 迹方程为( A. ( x ? )
2 B. x ? ( y ?

3 2 ) ? y2 ? 1 2 3 2 2 C. x ? ( y ? ) ? 1 2

3 2 ) ?1 2

2 2 D. ( x ? ) ? y ? 1

3 2

2 2 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在

一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ?



4 3

B. k <0 或 k >

4 3

C.

3 4 ?k? 4 3

D. k ? 0 或 k >

4 3

7. 棱长均为 3 的三棱锥 S ? ABC , 若空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1)

则 SP 的最小值为( A、 6 B、

)

6 3

C、

3 6

D、 1

8.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A、B,使

??? ? ??? ? AF ? BF ? 0 ,则直线 AB 的斜率 k ? (
A



2

B

2 2

C

3

D

3 3

9.设 F1、F2 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a >0,b>0)的焦点, A、B 分别为双曲线的 a 2 b2

左 右 顶 点 , 以 F1 F2 为 直 径 的 圆 与 双 曲 线 的 渐 近 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 M , 且 满足

?MAB ? 300 ,则该双曲线的离心率为
(A)2 (B) 3 (C)

3 2

(D)

21 3

10.已知 x 轴上一点 M ? m , 0? , 抛物线 y 2 ? 16 x 上任意一点 N , 满足 MN ? m , 则 m 的取值 范围是( ) A. ? ?? , 0 ? B. ? ?? , 8? C. ? 0 , 8? D. ? 0 , 8 ?

11.已知三棱锥 ? ? ?C? , ?? , ?? , ? C 两两垂直且长度均为 6 ,长为 2 的线段 ?? 的一个端点 ? 在棱 ?? 上运动,另一个端点 ? 在 ?? C? 内运动(含边界) ,则 ?? 的中点 ? 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为( ) A.

? 6

B.

? ? 或 36 ? 6 6

C. 36 ?

?

6

D.

? ? 或 36 ? 6 6

12.如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( ) A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)

13. P 是 双 曲 线

x2 ? y 2 ? 1 的 右 支 上 一 动 点 ,F 是 双 曲 线 的 右 焦 点 , 已 知 A(3,1), 则 3
.
2 2

PA ? PF 的最小值是

14. 直线 2 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直 角三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为________. 15.已知 F1、F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 使得 a2 b2

| PF2 | 2 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是 | PF1 |
16.在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E , F 分别是 AB, BC 的中点,沿 DE, DF 以及 EF 把

?ADE, ?CDF 和 ?BEF 都向上折起,使 A, B, C 三点重合,设重合后的点为 A ' ,那么对于四
面体 A '? DEF 中的下列命题: ①点 A ' 在平面 DEF 上的射影是 ?DEF 的垂心; ②四面体 A '? DEF 的外接球的表面积是 6? . ③在线段 DE 上存在一点 G ,使得直线 FG 与直线 EA ' 所成的角是 60 ; 其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 小题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分.解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2 17、 设 p : 函数 f ( x) ? lg(ax ? 4x ? a) 的值域为 R; q :不等式 2 x ? x ? 2 ? ax , 对? x
o

∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实 数 a 的取值范围.

18、已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A-ED-B 的正弦值.

19.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点, PF1 ? PF2

???? ? ?????

5 ? ? ,求点 P 的坐标; 4

(2)设过定点 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

20.正 ? ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的高, E 、 F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现 将 ? ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (Ⅰ)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求异面直线 AD 和 EF 的距离 (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ? 证明你的结论. 21、 如图, 已知四边形 AAC 平面 AA 1 1C 和 AA 1B 1B 都是菱形, 1B 1B 和平面 AAC 1 1C 互相垂直,
? 且 ?ACC1 ? ?BAA 1 ? 60 , AA 1 ? 2.

(Ⅰ)求证: AA 1 ? BC1; (Ⅱ)求四面体 A ? CC1B1 的体积; (Ⅲ)求 与平面 CAB 所成角的正弦值.

22.已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的焦距为 2 7 ,其一条渐近线的倾斜角为 ? , a 2 b2

且 tan? ?

3 ,以双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆为 E . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 A 是椭圆 E 的左顶点, P, Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点,若直线 AP, AQ 的 斜率之积为 ? 说明理由.

1 ,问直线 PQ 是否恒过定点?若横过定点,求出该点坐标;若不横过定点, 4

答案为: CACCD AABDB DD

26 ? 2 3
三、解答题

.

(1,3]

.

2 -1 .

①②③

.

17、试题解析:解:对于 p : u( x) ? ax 2 ? 4 x ? a 取到 (0, ??) 的所有值.

a ? 0 时符合题意.
a ? 0 时二次函数 u( x ) 的图象开口向下,不符合题意; a ? 0 时需 ? ? 0 ,解得 0 ? a ? 2
2 ? 1 ,对 ?x ? (??,?1) 恒成立. x 2 2 而 y ? 2 x ? ? 1 在 ( ??, ?1) 上为增函数.因此 q 真 ? a ? 2 ?1 ? ? 1 ? 1 . 1 x 命题“ p ? q ”为真命题等价于 p, q 至少一个为真命题. 命题“ p ? q ”为假命题等价于 p, q 至少一个为假命题.因此 p, q 必然一真一假.
从而 p 真 ? a ? [0,2] .对于 q : a ? 2 x ?

p 真 q 假 ? a ? 2 且 a ? 1 ,无解. p 假 q 真 ? a ? 2 且 a ? 1 ,解得 a ? [1,2] .
综合可得 a 的取值范围为 [1,2] .

1 18、试题解析: (1)? AC⊥平面 BCE, 则 V ? ? S BCED ? AC ? 16 ∴几何体的体积 V 为 16. 3 (2)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE,∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成
的角.在△BAF 中,AB= 4 2 ,BF=AF= 2 5 .∴ cos ?ABF ?

10 5



∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 5

(3)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG, 从而 AG⊥DE,∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角. 在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=

8 5 5

,∴ tan ?AGC ?

5 2

.∴ sin ?AGC ?

5 3



∴二面角 A-ED-B 的的正弦值为

5 3



x2 ? y2 ? 1 c? 19 试 题 解 析 :( 1 ) 因 为 椭 圆 方 程 为 4 , 知 a ? 2 ,b ? 1 ,

3 ,

? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,
???? ???? ? 5 PF1 ?PF2 ? (? 3 ? x, ? y )? ( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? 4, 设 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) ,则

7 ? 2 x ? y2 ? ? ? x ?1 ? x2 ? 1 ? 4 ? ? ? 2 ? 2 3?? 3 x2 3 ? x ? y2 ? 1 y ? y? ? y2 ? 1 ? P (1, ) ? ? 4 ? 2 , 2 ? 4 又 4 ,联立 ? ,解得 ?
分 (2)显然 x ? 0 不满足题意,所直线的斜率存在,可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

6

? x2 2 ? ? y ?1 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ?4 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立 ? ? y ? kx ? 2 设
? x1 x2 ? 12 16k , x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ,

8分

? (16k ) 2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0,? k 2 ?
且△

3 4

10 分

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 又 ?AOB 为锐角,?OA ? OB ? 0 ,

??? ? ??? ?

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 )
?k2 ?

12 16k 4(4 ? k 2 ) ? 2 k ( ? ) ? 4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? k ? 4, 又
2

3 3 3 3 ? ? k 2 ? 4 ? k ? (?2, ? ) ? ( , 2) 2 2 4, 4 ,

20、 (Ⅰ)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF.∴AB∥平面 DEF. (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,
则 A(0,0,2)D(0,0,0) 设同时垂直 AD 和 EF 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则 即 ,则 ,

?

=

(Ⅲ)设 P( x, y,0), 则AP ? DE ? 3 y ? 2 ? 0 ? y ? 又 BP ? ( x ? 2, y,0), PC ? (?x,2 3 ? y,0) ,

??? ? ????

2 3 3

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? BP / / PC ?( x ? 2)(2 3 ? y) ? ? xy ? 3x ? y ? 2 3
把y?

? 1 ??? ? 2 3 4 ??? 代入上式得x ? ,? BP ? BC , 3 3 3
4 2 3 , 0) ,使 AP ? DE 3 3

∴在线段 BC 上存在点 P( ,

21、 (1)设 AA1 的中点为 O ,连接 OB , OA1 ,
因为四边形 AAC 1 1C 和 AA 1B 1B 都是菱形, 且 ?ACC1 ? ?BAA 1 ? 60? , 所以三角形 AA1 B 和三角形 AAC 1 1 都是等边三角形,所以 OB ? OC1 又 OB ? OC1 ? O ,所以 AA 1 ? 平面OBC1 所以 AA 1 ? BC1 (2)因为三角形 CC1B1和CC1B 面积相等, 所以 VA?CC1B1 = VA?CC1B ? VB ?CC1 A ?

1 S ACC1 OB ? 1 ,所以四面体 A ? CC1B1 的体积为 1 . 3

(3)由(1)知 AA1 ? OB ,又因为平面 AA 1B 1B 和平面 AAC 1 1C 互相垂直, 所以 OB ? 平面AAC 三条直线两两垂直, ,OB, 1 1C ,所以 OA 1 , OC1 以 O 为坐标原点,分别以 OA1 , OC1,OB 为 x 轴, y 轴, z 轴建立坐标系,

A(?1 , 0,, 0) B(0, 0,3),C(?2,3,0)



C1 (0,3,0)



??? ? ??? ? ???? ? AB ? (1 , 0,3), AC ? (?1 ,3,0), AC1 ? (1 ,3,0)
设平面 ABC 的法向量 的坐标分别为 , (a,b,c) 由 m ? AB, m ? AC 可得 a ? 3c ? 0, ?a ? 3b ? 0 ,所以可取 m ? ( 3,1, ?1) ,

??

??? ? ??

??? ?

??

,所以

与平面 CAB 所成角的正弦值

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 b 22. (1)双曲线 a 的焦距 2c ? 2 7 ,则 c ? 7 ,? a ? b ? 7 ,①分
y??
渐近线方程

b b 3 x tan? ? ? 2 2 a ,由题知 a 2 ,② 由①②解得 a ? 4, b ? 3 ,∴椭圆 E

x2 y2 ? ?1 4 3 的方程为 .
(2)在(1)的条件下,当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 y2 ? ? ?1 ?4 3 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? ,消去 y 得: 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ?12 ? 0 ,

?

?

? 8km 4m 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 . 又 A?? 2,0? , 由 题 知 设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? , 则
k AP ? k AQ ? y1 y 1 ? 2 ?? x1 ? 2 x2 ? 2 4,

则 ?x1 ? 2??x2 ? 2? ? 4 y1 y2 ? 0, 且x1 , x2 ? ?2 , 则 x1 ? x2 ? 2?x1 ? x2 ? ? 4 ? 4?kx1 ? m??kx2 ? m? = 1 ? 4k x1 ? x2 ? ?2 ? 4km??x1 ? x2 ? ? 4m ? 4
2 2

?

?

?1 ? 4k ??4m
2

2

? 12

=

3 ? 4k

2

? ? ?2 ? 4km? ? 8km ? 4m
3 ? 4k
2

2

?4?0


2 2 则 m ? km ? 2k ? 0 . ∴ ?m ? 2k ??m ? k ? ? 0,? m ? 2k或m ? ?k . 当 m ? 2 k 时, 直线 PQ

的方程为 y ? kx ? 2k ? k ?x ? 2?, 此时直线 PQ 过点 ?? 2,0? ,显然不适合题意. 当 m ? ? k 时,直线 PQ 的方程为 y ? kx ? k ? k ?x ? 1?,此时直线 PQ 过点 ?1,0? . 当 直 线 PQ 的 斜 率 不 存 在 时 , 若 直 线 PQ 过 点 ?1,0? , P、Q 点 的 坐 标 分 别 是

3? ? 3? ? 1 ?1, ? ?1,? ? k AP ? k AQ ? ? 2 ? ,满足 ? 2? ,? 4 ,综上,直线 PQ 恒过点 ?1,0? .


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