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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练2 新人教A版


名校专题----圆锥曲线培优训练 2
1、设 F 1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 5 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直 线

l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:易知 a ? 5, b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0) …………2 分

2 2 设 P(x,y) ,则 PF 1 ? PF 2 ? (?1 ? x,? y) ? (1 ? x,? y) ? x ? y ? 1

x2 ? 4 ?

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5

………………4 分

? x ? [? 5, 5 ] , ?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最小值 3;
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最大值 4 ……6 分 (Ⅱ)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭 圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5) ………8 分

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0,得 ?
2

5 5 ?k? 5 5

…………10 分

当?

5 5 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D( x2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x0 , y0 ) , ?k? 5 5
x1 ? x2 50k 2 25k 2 , x ? ? 0 2 5k 2 ? 4 5k 2 ? 4
? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k ( 25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

则 x1 ? x 2 ?

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

? k ? k F2 R

20k ) 2 20k 2 5 k ? 4 ?k? ? ? ?1 …………13 分 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?
2 2 2

∴20k =20k -4,而 20k =20k -4 不成立,

2

所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D|
1

综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D| …………14 分 2、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 X 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y ?

1 2 x 的焦点,离心率为 4

2 5 .(1)求椭圆 C 的标准方程; 5
B 两点, (2) 过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 交 Y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF
求证: ?1 ? ?2 ? ?10 .

????

??? ? ????

??? ?



解:设椭圆 C 的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 (a >b >0 ) ,……1 分 a 2 b2

抛物线方程化为 x ? 4 y ,其焦点为 (0,1) , ………………2 分 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,即 b ? 1 ………………3 分

x2 c a 2 ? b2 2 5 2 ? y 2 ? 1 ………6 分 由e ? ? ,∴ a ? 5 ,所以椭圆 C 的标准方程为 ? 2 5 a a 5
(2)证明:易求出椭圆 C 的右焦点 F (2, 0) , ………………7 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入方程 得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 并整理, 5
………………9 分

∴ x1 ? x2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 x x ? , 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

………………10 分

又, MA ? ( x1 , y1 ? y0 ) , MB ? ( x2 , y2 ? y0 ) , AF ? (2 ? x1 , ? y1 ) , BF ? (2 ? x2 , ? y2 ) , 而 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 即 ( x1 ? 0, y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 ? 0, y2 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 ) ∴ ?1 ?

????

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

x1 x2 , ?2 ? ,………………12 分 2 ? x1 2 ? x2 x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ?10 ………14 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

所以

?1 ? ?2 ?

2

3、已知点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,直线 AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 ? (1)求点 M 轨迹 C 的方程;

1 . 2

F( E 在 D 、 F 之间) (2) 若过点 D ? 2,0? 的直线 l 与 (1) 中的轨迹 C 交于不同的两点 E 、 , 试求 ?ODE
与 ?ODF 面积之比的取值范围( O 为坐标原点) . 解: (1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,∵ k AM ? k BM ? ?

1 y ?1 y ?1 1 ? ? ? .…………2 分 ,∴ 2 x x 2

整理,得

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0 ) ,这就是动点 M 的轨迹方程.……………………4 分 2
1 ) … ①……5 分 2

(2)方法 1:如图,由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ( k ? ? 将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ,………………6 分 2
1 .…………………………………………………………7 分 2

2 由 ? ? 0 ,解得 0 ? k ?

? 8k 2 x ? x ? , 2 ? 2 ? 1 2 k ? 1 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? …… ② ……………………8 分 2 ? x x ? 8k ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
令? ?

??? ? ??? ? | BE | S?OBE ,则 ? ? ,即 BE ? ? ? BF ,即 x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2? ,且 0 ? ? ? 1. ……9 分 | BF | S?OBF

?4 ?4 ? ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 2 , 1 ? ? ?? x2 ? 2 ? ? 2 , ? ? ? ? ? 2k ? 1 2k ? 1 由②得, ? 即? ? x ? 2) ? ( x ? 2) ? x x ? 2( x ? x ) ? 4 ? 2 . ?? ? x ? 2 ?2 ? 2 . ( 1 2 1 2 1 2 2 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? ?
?

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? , 即k 2 ? ? .…………………11 分 2 2 (1 ? ? ) 8 (1 ? ? ) 2

?0 ? k2 ?

1 1 4? 1 1 4? 1 1 2 且 k ? ?0 ? ? ? 且 ? ? . 2 2 4 2 (1 ? ? ) 2 2 (1 ? ? ) 2 4

1 ……………………13 分 3 1 ? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ? . 3
解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ? ∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? .……………14 分

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?

3

方法 2:如图,由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 x ? sy ? 2 ( s ? ?2) …… ①…………5 分

将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 (s 2 ? 2) y 2 ? 4sy ? 2 ? 0 ,…………6 分 2

2 由 ? ? 0 ,解得 s ? 2 .……………………………7 分

4s ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? s ?2 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? …… ② ……………………8 分 ?y y ? 2 . ? 1 2 s2 ? 2 ?
令? ?

S?OBE S?OBF

1 OB ? y1 y ? 2 ? 1 ,且 0 ? ? ? 1 .…………………………………9 分 1 OB ? y2 y2 2

4s ? ? ? 1? y2 ? ? 2 , ? ? ? s ?2 将 y1 ? ? y2 代入②,得 ? ?? y 2 ? 2 . 2 ? s2 ? 2 ?

? ? ? 1? ∴
?
2

2

2 ? ? ? 1? 8s 2 .即 s 2 ? .……………………………………11 分 ? 2 s ?2 6? ? ? 2 ? 1
2 2 2
2

2 ? ? ? 1? 2 ? ? ? 1? ∵ s ? 2 且 s ? 4 ,∴ ? 2且 ? 4. 2 6? ? ? ? 1 6? ? ? 2 ? 1
2 即 ? ? 6? ? 1 ? 0 且 ? ?

1 . 3

1 .……………………………………………13 分 3 1 ? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ? . 3
解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ? 故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? .……………14 分 4、已知直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0与抛物线 x ? 4 y 交于 A、B 两点,过 A、B 两点的圆与抛物线在 A(其中 A
2

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?

点在 y 轴的右侧)处有共同的切线. (1)求圆 M 的方程; (2)若圆 M 与直线 y=mx 交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,求证: OP ? OQ 为定值.

4

解: (1)由 ?

? x ? 2 y ? 12 ? 0 , 得A(6,9), B(?4,4). …………2 分 2 ?x ? 4 y

抛物线在 A 处的切线斜率为 y ? ? 3 ,设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 由切线性质得

b?9 1 ?? , a?6 3



又圆心在 AB 的中垂线上,即 b ?

13 ? ?2(a ? 1), ② …………6 分 2 3 23 2 125 , 由①②得圆心 M (? , ), r ? 2 2 2 3 2 23 2 125 ) ? . ………………8 分 圆 M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2 2 2

(2)由 ?

?y ? m x ? ……10 分 3 2 23 2 125 2 2 ( x ? ) ? ( y ? ) ? , 得 ( 1 ? m ) x ? ( 3 ? 23 m ) x ? 72 ? 0 ? 2 2 2 ?
72 ,…………11 分 1 ? m2

设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ), 则x1 x 2 ? 又 | OP |?

x12 ? y12 ? 1 ? m 2 | x1 |,| OQ |? 1 ? m 2 | x 2 | ,…………13 分

OP ? OQ ?| OP || OQ |? 72. …………14 分
5、椭圆 G:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,短轴两端点 B1、B2,已知 F1、F2、B1、B2 四点共 a2 b2

圆,且点 N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2 . (1)求此时椭圆 G 的方程; (2)设斜率为 k(k≠0)的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F,Q 为 EF 的中点,问 E、F 两点能否 关于过点 P(0,

3 ) 、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请说明理由. 3

解: (1)根据椭圆的几何性质,线段 F1F2 与线段 B1B2 互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 ……1 分,故该椭圆中 a ? 设 H(x,y)为椭圆上一点, 则

2b ? 2c, 即椭圆方程可为 x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2

3分

| HN |2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? ?( y ? 3) 2 ? 2b 2 ? 18, 其中? b ? y ? b ……4 分
2 若 0 ? b ? 3 ,则 y ? ?b时, | HN | 有最大值 b ? 6b ? 9
2

5分 6分
5

由 b ? 6b ? 9 ? 50得b ? ?3 ? 5 2 (舍去)
2

若 b ? 3,当y ? ?3时, | HN | 2 有最大值2b 2 ? 18 由 2b ? 18 ? 50得b ? 16 ∴所求椭圆方程为
2 2

7分

x2 y2 ? ?1 32 16

8分

(2)设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), Q( x0 , y0 ) ,则由

? x12 y12 ? ?1 ? ? 32 16 两式相减得 x0 ? 2ky0 ? 0 ……③ ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ? 32 16
又直线 PQ⊥直线 m ∴直线 PQ 方程为 y ?

1 3 x? k 3
11 分

将点 Q( x0 , y0 )代入上式得, y 0 ? ?

1 3 ……④ x0 ? k 3

2 2 x0 y0 2 3 3 ? ? 1, 由③④得 Q( )……12 分而 Q 点必在椭圆内部? k ,? 32 16 3 3

由此得 k ?
2

47 94 94 , 又k ? 0,? ? ? k ? 0或0 ? k ? 2 2 2 94 94 ,0) ? (0, ) 时,E、F 两点关于点 P、Q 的直线对称 2 2
14 分

故当 k ? (? 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作 2 4
y A F1 B O F2 x P

倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值。 解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ) , PF1 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,……………………2 分
2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 2 4

2 2 4 ? y0 4 ? y0 2 ,从而 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) . ……………………5 分 2 2 (2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,………6 分
2 ∴ x0 ?

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 则 BP 的直线方程为: y ? 2k ( x ? 1) .由 ? x 2 y 2 得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4

6

设 B( xB , y B ) ,则 1 ? x B ? 同理可得 x A ?

2k ( k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 , x ? ? 1 ? , B 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2

k 2 ? 2 2 k ? 2) 4 2k 8k ,则 x A ? x B ? , y A ? yB ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? .……9 分 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 y ? yB 所以:AB 的斜率 k AB ? A ? 2 为定值. ………………10 分 y x A ? xB A

(3)设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .

F1 B O F2

P

? y ? 2x ? m ? 由 ? x2 y 2 ,得 4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4 由 ? ? (2 2m) 2 ? 16(m2 ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2 ,P 到 AB 的距离为 | m| ,………12 分 d? 3 |m| 1 1 1 (4 ? m 2 ) ? 3 ? 则 S ?PAB ? | AB | ?d ? 2 2 2 3
? 1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (? m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2

x

当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号 ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。………………14 分 7、椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1-e, 直 2

?

?

线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP (1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

?? ?

?? ? =? PB .

?? ?

?? ?

?? ?

解:(1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0),设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= ∴a=1,b=c= 2 x 2 ,故 C 的方程为:y + =1 2 1 2
2

y2 x2 a b

2

2

2

2 c 2 , = , 2 a 2

…………4 分

(2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ ( OB - OP ),(1+λ ) OP = OA +λ OB , ∴λ +1=4,λ =3 ………6 分 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)
? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?
2

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0
2 2 2 2

2

2

2

Δ =(2km) -4(k +2) (m -1)=4(k -2m +2)>0 (*) -2km m -1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴?
2

………………………………………………9 分
?x1+x2=-2x2 ? ? ?x1x2=-3x2
2

7

-2km 2 m -1 2 2 2 2 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0,整理得 4k m +2m -k -2=0……11 分 k +2 k +2
2

2

1 1 2-2m m = 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1
2

2

2-2m 1 1 2 因 λ =3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2 容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2 8、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 ………………………14 分
2 2

2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点. a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

(2)在(1)的椭圆中,设椭圆的左焦点为 F1,求△ABF1 的面积。 解: (1)? e ?

3 c 3 ,2c ? 2, 即 ? 3 a 3
x2 y2 ? ?1 3 2

? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2

(3 分)

∴椭圆的方程为

(4 分)

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 则x1 ? x 2 ? 6 3 , x1 x 2 ? ? 5 5

(5 分)

(8 分)

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5

(10 分)

(2)由(1)可知椭圆的左焦点坐标为 F1(-1,0) ,直线 AB 的方程为 x+y-1=0, 所以点 F1 到直线 AB 的距离 d=

| ?1 ? 0 ? 1| 12 ? 12

? 2 , (12 分)

又|AB|=

1 1 8 3 4 6 8 3 ? 2? , ∴△ABF1 的面积 S= | AB | ?d = ? 2 2 5 5 5

(14 分)

8

9、已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点,M、N 两点在椭 2 3 a b

圆 C 上,且 MF ? ? FN(? ? 0) ,定点 A(-4,0). (1)求证:当 ? ? 1 时., MN ? AF ; (2)若当 ? ? 1 时有 AM ? AN ?

106 ,求椭圆 C 的方程; 3

(3)在(2)的条件下,当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,当 AM ? AN ? tan?MAN 的值为 6 3 时, 求 出直线 MN 的方程. 解: (1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), F (c,0) ,则 MF ? (c ? x1 ,? y1 ), NF ? ( x2 ? c, y2 ) , 当 ? ? 1 时, MF ? FN,? ? y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2c ,
2 1 2

(2 分)

2 y12 y2 2 2 2 2 由 M,N 两点在椭圆上,? x ? a (1 ? 2 ), x 2 ? a (1 ? 2 ),? x1 ? x 2 b b

若 x1 ? ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ? 2c (舍去) ,? x1 ? x2

(4 分)

(5 分) ? MN ? (0,2 y2 ), AF ? (c ? 4,0),? MN ? AF. 。 (2)当 ? ? 1 时,不妨设 M (c, 又 a2?

b2 b2 b4 ), N (c,? ),? AM ? AN ? (c ? 4) 2 ? 2 (6 分) a a a

3 2 2 c2 5 106 ,? c ? 2 , (8 分) c , b ? ,? c 2 ? 8c ? 16 ? 2 2 6 3

椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 。 (9 分) 6 2

(3)因为 AM ? AN ? tan?MAN ? 2S ?AMN ?| AF || y M ? y N | =6 3 , (10 分) 由(2)知点 F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 3 当 MN⊥x 轴时, |yM-yN|=|MN|= (11 分)

2b2 2 ? 2 ? ? 3 , 故直线 MN 的斜率存在, (12 分) a 6

不妨设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2), (k ? 0)
? y ? k ( x ? 2) 2 2 2 联立 ? 2 ,得 (1 ? 3k ) y ? 4ky ? 2k ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

9

? | y M ? y N |?

24k 4 ? 24k 2 = 3 , 解得 k=±1。 1 ? 3k 2

此时,直线的 MN 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 。 (14 分) 10、抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与到定点 N 的距 离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 解: (1)因为抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1? -----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d ? -------7 分

2k ? 1

4 ? 1 ,解得 k ? 0或 , 3 1? k2

-------------------------------8 分

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ? 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y ? ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l .

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分

10

方法 2:由 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 A 坐标为 ? , ?, ? k ?1 k ?1 ? ?y?x

------7 分

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ?, 1? k ? ? 1? k ? y ? ?x
4k ? 1 4k ? 1 ? ? 8 ,解得 k ? 4 , k ?1 k ?1

------------8 分

因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分 ----13 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) , 因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) , 又点 B 在直线 y ? ? x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

-------------------------------------14 分

-------------8 分

----------------------------9 分

-----------------------------10 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l . 11、已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON ,求 动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 , 其距离为 2 3 满足题意 ……… 1分 ----------------------------------------14 分

????

???? ? ????

? ? ?

?

11

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ∴1 ? …………3 分

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 ,故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4
…………7 分

综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ) , Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? …………9 分 ∵ OQ ? OM ? ON ,∴ ? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ?
2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ?
2

??? ?

???? ? ????

即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2

…11 分

y2 ? 4( y ? 0) 4
…………13 分 …………14 分

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , ∴ Q 点的轨迹方程是 4 16
轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

12、抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与到定点 N 的 距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2;
2 解: (1)因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1?

-----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, -------7 分

12

即d ?

2k ? 1

4 ? 1 ,解得 k ? 0或 , 3 1? k
2

-------------------------------8 分

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ? 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y ? ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 2:由 ?

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分 ------7 分

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 A 坐标为 ? , ?, ? k ?1 k ?1 ? ?y?x

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ?, 1? k ? ? 1? k ? y ? ?x
4k ? 1 4k ? 1 ? ? 8 ,解得 k ? 4 , k ?1 k ?1

------------8 分

因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分 ----13 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) , 因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) , 又点 B 在直线 y ? ? x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

-------------------------------------14 分

-------------8 分

----------------------------9 分

-----------------------------10 分

13

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l . ----------------------------------------14 分

13、已知曲线 ? 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 (1)求曲线 ? 的方程;

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

(2)设过 ? 0, ?2 ? 的直线 l 与曲线 ? 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程. 解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,………………………………1 分 其中 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? a2 ? c2 ? 1.………………………………………2 分 所以动点 M 的轨迹方程为

??? ? ????

x2 ? y 2 ? 1.………………………………………………4 分 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.………………………………………5 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .……………………………………………7 分 ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .………… ① …………………………9 分

??? ? ????

? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
则 x1 ? x2 ?

2 2 得 1 ? 4k x ? 16kx ? 12 ? 0 .……………11 分

?

?

16k 12 12 16k 2 ? 2k ? ?4?0. , x1 ? x2 ? ,代入①,得 ?1 ? k ? ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 即 k ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 .…………………13 分

所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .…………………14 分 14、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
14

????

???? ? ????

解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 , 其距离为 2 3 ,满足题意…………………… 2 分 ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ∴1 ? ……3 分 ,k ?

? ? ?

?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

3 , 4

………………5 分 …………………… 6 分 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ……… 7 分

综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? ∵ OQ ? OM ? ON ,∴ ? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ?
2 又∵ x ? y ? 4 ,∴ x ?

??? ?

???? ? ????

即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2

…………9 分

2 0

2 0

y2 ? 4 …………………………… 4

10 分

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ? 0 ,…………………………… 11 分

∴ Q 点的轨迹方程是

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) ,…………………… 12 分 16 4

轨迹是焦点坐标为 F 1 (0, ?2 3), F 2 (0,2 3) ,长轴为 8 的椭圆,并去掉 ( ?2, 0) 两点。…………… 14 分 15、设动点 P( x , y) ( y ? 0) 到定点 F (0 , 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1,记点 P 的轨迹为曲线 C 。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A (0, 2) ,且圆心 M 在曲线 C 上, EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试探究当 M 运动时, 弦长 EG 是否为定值?为什么? 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (0 , 1) 的距离等于 P 到直线 y ? ?1 的距离,曲线 C 是以原点为顶点,

F (0 , 1) 为焦点的抛物线………………2 分


y
2

p ?1 2

∴ p?2

∴ 曲线 C 方程是 x ? 4 y ………4 分
M E A

x 2 =4y

(2)设圆的圆心为 M (a, b) ,∵圆 M 过 A (0, 2) , ∴圆的方程为

x
G o

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ? (b ? 2)2 …………7 分

15

令 y ? 0 得: x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0
2

设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 ,0) , ( x2 ,0) 方法 1:不妨设 x1 ? x2 ,由求根公式得

x1 ?

2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 , x2 ? ……………10 分 2 2
4a 2 ? 16b ? 16
又∵点 M (a, b) 在抛物线 x2 ? 4 y 上,∴ a ? 4b ,
2

∴ x1 ? x2 ? ∴

x1 ? x2 ? 16 ? 4 ,即 EG =4----------13 分

∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4…………………………14 分 〔方法 2:∵ x1 ? x2 ? 2a , x1 ? x2 ? 4b ? 4 ∴

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2 ? (2a)2 ? 4(4b ? 4) ? 4a2 ?16b ? 16
2

又∵点 M (a, b) 在抛物线 x2 ? 4 y 上,∴ a ? 4b , ∴ ∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4〕

( x1 ? x2 )2 ? 16

x1 ? x2 ? 4

16、在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0) 、 B(?2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、

3 PB 的斜率之积为 ? . 4
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

?1 ? (Ⅱ)过点 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的 ?2 ?
取值范围. 解: (Ⅰ)依题意,有 kPA ? kPB ?

y y 3 ,化简得 ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4 x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) , 4 3

这就是动点 P 的轨迹 C 的方程;

? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ?1 ? ? 4 3 (Ⅱ)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有 ? , 2 2 ? ( x ? m) ? ( y ? n) ? 1 ? 3 ? 4

16

两式相减, 得

4mx 4n n 3x y ? 0 , 由此得点 M 的轨迹方程为 6 x2 ? 8 y 2 ? 3x ? 0 (x?0) . ? ? 0 ? kEF ? ? ? ? 4 3 m 4y x ? 1 2

设直线 MA : x ? my ? 2 (其中 m ?

? x ? my ? 2 1 ) ,则 ? 2 ? (6m2 ? 8) y 2 ? 21my ? 18 ? 0 , 2 k ?6 x ? 8 y ? 3x ? 0
1 ? 1 1? ? 8 ,解之得 k 的取值范围是 ? ? , ? . k ? 8 8?

故由 ? ? (21m)2 ? 72(6m2 ? 8) ? 0 ?| m |? 8 ,即

17


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