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高二文科数学试卷


2015-2016 学年度第二学期期中调研测试 高二数学 (文)
时间:120 分钟 分值:160 分

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) 。本卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请

将答题纸交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填涂在答题纸规定 位置上。 3.请在答题纸上按照顺序在对应的答题区域内作答, 在其他位置作答一律无效。 作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 5.请保持答题纸纸面清洁,不要折叠、破损。

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题纸相应的位 ....... 置上 . .. 1、集合 A ? {?2,?1,0,2,3, } ,集合 B ? {x || x |? 1, x ? R} ,集合 A ? B = 2、已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 5 ?i是虚数单位? , 则 z = 3、函数 f ( x) ? log2 (3 ? 1) 的值域为
x

.

1? ? 4、设 a ? ? ?1, 1, ? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为 2? ?



5、命题 “存在实数 x , x ? 1 ? ax ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
2

6、若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

.

7 、函数 f ( x) 在 R 上增函数,图像过 A(?2, ?2), B(1, 2) ,则不等式 | f ( x ? 2) |? 2 的解集 ________. 8、方程 log 3 x ? 6 ? x 的根在区间 (k , k ? 1) ,则整数 k 的值为
3 2



9、已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? ? m ? 6? x ?1 存在极大值和极小值,则实数 m 的取值范围 是 10、已知函数 y ? log2
( ax ?1)

在?1,2?上单调递增,则 a取值范围
1

11、已知 f ( n ) ? 1 ?

3 5 1 1 1 ? ? ? ? ( n ? N *) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 2 2 3 n 7 ,由此推测:当 n ? 2 时,有 2

f (16) ? 3 , f (32) ?

12、若函数 f ( x) ?

k ? 2x ( k 为常数)在定义域上是奇函数,则 k 的值为 1? k ? 2x

? x ? 1,0 ? x ? 1 ? 13、已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0, 若 f (a ) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围 2 ? , x ?1 ? ? 2

是 14、已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? 1 ,且 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,则不等式 [ f (2 x) ? 4 x2 ? 4 x ? 1 的解集为 二、 .

解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出

文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 已知 p : 2 x2 ? 9 x ? a ? 0 ,q : ? 值范围.
? x2 ? 4x ? 3 ? 0
2 ? x ? 6x ? 8 ? 0

且 ? p 是 ? q 的充分条件, 求实数 a 的取

16、 (本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对于任意的实数 x ,恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 当

x ? ?0,2? 时, f ( x) ? 2x ? x 2 .
(1)求证: f ( x) 是周期函数,并求出周期 (2)当 x ? [?4,0] 时,求 f ( x) 的解析式;

2

17、 (本小题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) ? ?1, f (?1) ? ?1 且 f ( x) 的最大值为 8 (1) 求二次函数 f ( x) 的解析式 (2) 求 f ( x) 在 [t , t ? 1] 上的最小值 g (t )

18、 (本题满分 16 分) 如图所示的直角梯形是一个简易水槽的横断面,下底边边长为 a ,非直角边的腰长为

2 a 且 与 水 平 线 所 成 角 为 ? , 已 知 水 槽 的 最 大 流 量 f (? ) 与 横 断 面 的 面 积 S 满 足

f (? ) ? k S ( k? 0 )
(1)试求函数 f (? ) 的解析式 (2)求当 ? 多大时,水槽的最大流量最大。

19、(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ?

?
x

,常数 ? ? 0 .

3

(1)若 ? ? 1 ,判断 f ( x) 在区间 ?1, 4? 上的单调性,并用定义证明; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? x ln x ,若 g ( x) 在区间 ?1, 4? 上的单调递减,求 ? 的取值范围

20、(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

mx ? n (m, n ? R) .其中( e 是自然对数的底数) ex

(1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 n ? 1, m ? R 时,若对于任意 x ? [ , 3] ,都有 f ( x) ? x 恒成立,求实数 m 的最小值

1 3

4

2015-2016 学年度第二学期期中调研测试 高二数学 (文)
参考答案: 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题纸相应的位 ....... 置上 . .. 1、集合 A ? {?2,?1,0,2,3, } ,集合 B ? {x || x |? 1, x ? R} ,集合 A ? B = 2、已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 5 ?i是虚数单位? , 则 z = 3、函数 f ( x) ? log2 (3 ? 1) 的值域为
x

{?2, 2,3}

5

.

( 0 ?? , )
1 .

1? ? 4、设 a ? ? ?1, 1, ? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为 2? ?

5、命题 “存在实数 x , x ? 1 ? ax ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
2

[?2.2]

x2 ? a 6、若函数 f ( x) ? 在 x ? 1 处取极值,则 a ? 3 x ?1

.

7 、函数 f ( x) 在 R 上增函数,图像过 A(?2, ?2), B(1, 2) ,则不等式 | f ( x ? 2) |? 2 的解集 ___ (0,3) _____. 8、方程 log 3 x ? 6 ? x 的根在区间 (k , k ? 1) ,则整数 k 的值为
3 2

4



9、已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? ? m ? 6? x ?1 存在极大值和极小值,则实数 m 的取值范围是
m ? 6 或 m ? ?3

10、已知函数 y ? log2 11、已知 f ( n ) ? 1 ?

( ax ?1)

在?1,2?上单调递增,则 a取值范围

( 1 ?? , )

3 5 1 1 1 ? ? ? ? ( n ? N *) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 2 2 3 n 7 ,由此推测:当 n ? 2 时,有 2
f (2n ) ? n ? 2 2

f (16) ? 3 , f (32) ?

12、若函数 f ( x) ?

k ? 2x ( k 为常数)在定义域上是奇函数,则 k 的值为 1? k ? 2x

k ? ?1

? x ? 1,0 ? x ? 1 ? 13、已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0, 若 f (a ) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围 2 ? , x ?1 ? ? 2



[3 , 2 ) 4
5

14、已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? 1 ,且 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,则不等式 [ f (2 x) ? 4 x2 ? 4 x ? 1 的解集为 三、

(??,1)

.

解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出

文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 已知 p : 2 x2 ? 9 x ? a ? 0 ,q : ? 值范围. 解: q : ?
?1 ? x ? 3 ?2 ? x ? 3 ,记集合 A ? (2,3) , B ? {x | 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0} (3 分) 2 ? x ? 4 ?

? x2 ? 4x ? 3 ? 0
2 ? x ? 6x ? 8 ? 0

且 ? p 是 ? q 的充分条件, 求实数 a 的取

由“ ? p 是 ? q 的充分条件”可知, q 是 p 的充分条件, 则A? B (4 分) 记函数 f ( x) ? 2 x2 ? 9 x ? a ,则由二次函数的图像可知
? f (2) ? 0 ? 8 ? 18 ? a ? 0 ?a ? 10 ?? 即? 所以实数 a 的取值范围是 a ? 9 (7 分) ? ? f (3) ? 0 ?18 ? 27 ? a ? 0 ?a ? 9

16、 (本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对于任意的实数 x ,恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 当

x ? ?0,2? 时, f ( x) ? 2x ? x 2 .
(1)求证: f ( x) 是周期函数,并求出周期 (2)当 x ? [?4,0] 时,求 f ( x) 的解析式; 解: (1) f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? ?[? f ( x)] ? f ( x) , 所以 f ( x) 是周期为 4 的周期函数(4 分) (2)设 ?x ?[?4, ?2], x ? 4 ?[0, 2], f ( x ? 4) ? 2( x ? 4) ? ( x ? 4) ? ? x ? 6x ? 8
2 2

? f ( x ? 4) ? f ( x),? f ( x) ? ? x2 ? 6x ? 8 (4 分) 2 2 设 ?x ?[?2,0], ? x ?[0, 2], f (? x) ? 2(? x) ? (? x) ? ? x ? 2 x ? f (? x) ? ? f ( x),? f ( x) ? x2 ? 2x (4 分)
?? x 2 ? 6 x ? 8, ?4 ? x ? ?2 ? ? f ( x) ? ? 2 (2 分) ? ? x ? 2 x, ?2 ? x ? 0
17、 (本小题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) ? ?1, f (?1) ? ?1 且 f ( x) 的最大值为 8 (3) 求二次函数 f ( x) 的解析式 (4) 求 f ( x) 在 [t , t ? 1] 上的最小值 g (t ) 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

6

? ?4a ? 2b ? c ? ?1 ?a ? ?4 ? ? ? ? ?a ? b ? c ? ?1 ? ?b ? 4 ? f ( x) ? ?4 x2 ? 4 x ? 7 (6 分) ? 4ac ? b 2 ?c ? 7 ? ? ?8 ? ? 4a t ? (t ? 1) 1 ? 即 t ? 0 时, (2)当 2 2
最小值为 f (t ) ? ?4t 2 ? 4t ? 7 (3 分) 当

t ? (t ? 1) 1 ? 即 t ? 0 时, 2 2
2 最小值为 f (t ? 1) ? ?4(t ? 1) ? 4(t ? 1) ? 7 ? ?4t ? 4t ? 7 (3 分)
2
2 ? ??4t ? 4t ? 7, t ? 0 ? g (t ) ? ? 2 (2 分) ? ??4t ? 4t ? 7, t ? 0

18、 (本题满分 16 分) 如图所示的直角梯形是一个简易水槽的横断面, 下底边边长为 a , 非直角边的腰长为 2 a 且 与 水 平 线 所 成 角 为 ? , 已 知 水 槽 的 最 大 流 量 f (? ) 与 横 断 面 的 面 积 S 满 足

f (? )? k S ( k ? 0)
(1)试求函数 f (? ) 的解析式 (2)求当 ? 多大时,水槽的最大流量最大。

解: (1) f (? ) ? k ?

1 ? (a ? a ? 2a cos ? ) ? 2a sin ? ? 2ka 2 (cos ? ? 1) sin ? , ? ? (0, ) (4 分) 2 2
2

(2) f ?(? ) ? ka [(? sin ? )sin ? ? (cos? ? 1)cos? )

? ka2 (? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos? ) ? 0 (4 分)

? ? ? f (? ) 在 (0, ) 上递增,在 ( , ) 上递减 3 2 3
7

? 1 2 cos 2 ? ? cos ? ? 1 ? 0,? cos ? ? 或 cos ? ? ?1 (舍)?? ? (3 分) 3 2

所以当 ? ? 答:当 ? ?

?
3

时, f (? ) 取最大值(4 分)

?
3

时,水槽的最大流量最大

19、(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ?

?
x

,常数 ? ? 0 .

(1)若 ? ? 1 ,判断 f ( x) 在区间 ?1, 4? 上的单调性,并用定义证明; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? x ln x ,若 g ( x) 在区间 ?1, 4? 上的单调递减,求 ? 的取值范围 解: (1)当 ? ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 在区间 ?1, 4? 是单调递增函数(1 分) x

证明:设 ?x1 , x2 ?[1, 4], x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

1 1 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ?

x2 ? x1 ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) (3 分) ? x1 x2 x1 x2

? x1 , x2 ?[1, 4], x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x) ? x ? 1 在区间 ?1, 4? 是单调递增函数(3 分) x

(2)由题意可知: g ?( x) ? 0 在区间 ?1, 4? 上恒成立(1 分)

? g ( x) ? x ?
2

?
x

? x ln x,? g ?( x) ? 1 ?

?
x
2

? (ln x ? 1) ? ?

?
x2

? ln x ? 0

即 ? ? ? x ln x (2 分) ,记 h( x) ? ? x2 ln x,? h?( x) ? ?2 x ln x ? x ? 0,

? x ? [1, 4],? 2ln x ? 1 ? 0,? x ?

1 e

? h( x) 在区间 ?1, 4? 是单调递减函数(5 分) ? ? ? h(1) ? 0
所以实数 ? 的取值范围 [0, ??) (1 分) 20、(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

mx ? n (m, n ? R) .其中( e 是自然对数的底数) ex

(1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 n ? 1, m ? R 时,若对于任意 x ? [ , 3] ,都有 f ( x) ? x 恒成立,求实数 m 的最小值

1 3

8

解: (1) f ?( x) ?

me x ? (mx ? n)e x m ? mx ? n ? (e x )2 ex

n 1 ? ? ,? n ? ?1 e e 2 m?n 2 x ?1 ? ,? m ? 1? f ( x) ? x 又 f (1) ? ,? e e e e ?x 则 f ?( x) ? x ? 0,? x ? 0 e f ?(1) ?

? f ( x) 的单调递增区间是 (??, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) (6 分)
(2) n ? 1, f ( x) ?

mx ? 1 1 ,? ?x ? [ , 2], f ( x) ? x 恒成立 x e 2 1 x x 即 mx ? 1 ? xe ,? m ? e ? (2 分) x
令 F ( x) ? e ?
x
2 x

1 1 x 2e x ? 1 ,? m ? Fmax ( x),? F ?( x) ? e x ? 2 ? ? 0, x x x2

即 x e ? 1 ? 0 (2 分) 令 g ( x) ? x2e x ?1, g ?( x) ? 2xe x ? x2e x ? (2x ? x 2 )e x ? 0 ,? x ? 0 或 x ? ?2

1 1 ? g ( x) 在区间 [ , 3] 上单调递增函数, (2 分)又 g ( ) ? 0, g (3) ? 0 3 3 1 1 ??x0 ? [ ,3], 使得 F ( x) 在区间 [ , x0 ] 单调递减,在区间 [ x0 ,3] 单调递增(2 分) 3 3

1 ? 1 1 ?m ? F ( ) 3 ? Fmax ( x) ? max{F ( ), F (3)} ,? ? 3 ,? m ? e ? 3 3 ? ?m ? F (3)
1 ? 实数 m 的最小值为 e3 ? (2 分) 3

9


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